Modifierad Pöschl-Teller potential

Den modifierade Pöschl-Teller potentialen är en funktion av den potentiella energin i ett elektrostatiskt fält, föreslagen av fysikerna Hertha Pöschl och Edward Teller [1] som en approximation för energin hos en diatomisk molekyl, alternativ till Morsepotentialen

U(x)={\frac {-U_{0}}{\mathrm {ch} ^{2}ax}}=-U_{0}\,\mathrm {sech} ^{2}ax

Det potentiella brunnsdjupet parametreras vanligtvis som: $U_{0}$

U_{0}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}a^{2}\lambda (\lambda -1)

Lösningen av Schrödinger-ekvationen med potentiell energi i form av en modifierad Pöschl-Teller-brunn representeras med hjälp av Legendre-funktionerna .

Schrödinger-ekvationen med modifierad Pöschl-Teller-potential

Den stationära Schrödinger-ekvationen med den modifierade Pöschl-Teller-potentialen har formen:

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Psi ''(x)-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}a^{2}{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\mathrm {ch} ^{2}ax}}\Psi (x)=E\Psi (x).

Om du anger notationen kommer den att ha följande form: ${\displaystyle k={\sqrt {2mE/\hbar ^{2))))$

\Psi ''(x)+\left(k^{2}+a^{2}{\frac {\lambda (\lambda -1)}{\mathrm {ch} ^{2}ax} }\right)\Psi(x)=0.

Lösning via hypergeometriska funktioner

Efter förändring av variabler

y=\mathrm {ch^{2}}ax

vi får

y(1-y)\Psi ''(y)+\left({\frac {1}{2}}-y\right)\Psi '(y)-\left({\frac {k ^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {\lambda (\lambda -1)}{4y}}\right)\Psi (y)=0.

Om vi ersätter lösningen i formuläret

\Psi (y)=y^{\frac {\lambda }{2}}v(y)

sedan reduceras ekvationen till den hypergeometriska formen

y(1-y)v''(y)+\left(\left(\lambda +{\frac {1}{2}}\right)-(\lambda -1)y\right)v '(y)-{\frac {1}{4}}\left(\lambda ^{2}+{\frac {k^{2}}{a^{2}}}\right)v=0

betecknar

a={\frac {1}{2}}\left(\lambda +i{\frac {k}{a}}\right)\qquad b={\frac {1}{2}}\ vänster(\lambda -i{\frac {k}{a}}\höger)

den allmänna lösningen kommer att ha formen

v(y)=A\;_{2}F_{1}\left(a,b;{\frac {1}{2));1-y\right)+iB(1-y) ^{\frac {1}{2}}\;_{2}F_{1}\left(a+{\frac {1}{2}},b+{\frac {1}{2}});{ \ frac {3}{2}};1-y\right)

Som ett grundläggande system av lösningar till den ursprungliga ekvationen är det bekvämt att välja en jämn och udda lösning, det vill säga egenfunktionerna för paritetsoperatorn :

{\hat {P}}\Psi _{\pm }(x)=\pm \Psi _{\pm }(x),

En jämn lösning motsvarar och $A=1$ $B=0$

\Psi _{+}(x)=\mathrm {ch} ^{\lambda }ax\;_{2}F_{1}\left(a,b;{\frac {1}{2} };-\mathrm {sh} ^{2}ax\right)

Den udda lösningen motsvarar och $A=0$ $B=1$

\Psi _{-}(x)=\mathrm {ch} ^{\lambda}ax\;\mathrm {sh} ax\;_{2}F_{1}\left(a+{\frac { 1}{2)),b+{\frac {1}{2));{\frac {3}{2));-\mathrm {sh} ^{2}ax\right)

Energi för bundna tillstånd

För enkelhetens skull betecknar vi , då skrivs energin som $k=i\kappa$

E=-{\frac {\hbar ^{2}\kappa ^{2}}{2m}}.

Parametrarna för de hypergeometriska funktionerna tar formen

a={\frac {1}{2}}\left(\lambda -{\frac {\kappa }{a}}\right)\qquad b={\frac {1}{2}}\ vänster(\lambda +{\frac {\kappa }{a}}\höger).

För att erhålla normaliserade funktioner är det nödvändigt att eliminera termerna för asymptotikerna som är obegränsade i oändligheten; för udda funktioner tar detta tillstånd formen

{\frac {\kappa }{a}}=\lambda -2-2k

För även

{\frac {\kappa }{a}}=\lambda -1-2k

Genom att kombinera dessa förhållanden får vi energinivåerna:

E_{n}=-{\frac {\hbar ^{2}a^{2}}{2m}}(\lambda -1-n)^{2},\qquad n\leqslant \lambda - 1,\;n\in \mathbb {Z} _{+}

Reflektion och transmissionskoefficienter

Reflexions- och transmissionskoefficienterna har formen:

R={\frac {1}{1+p^{2}}},\qquad T={\frac {p^{2}}{1+p^{2}}},

där notationen

p={\frac {\mathrm {sh} {\frac {\pi k}{a))}{\sin \pi \lambda )).

När vi får det och ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {Z} _{+))$ $p=\infty$

R=0,\qquad T=1.

Således, vid , blir den modifierade Pöschl-Teller-potentialen reflekterande. $\lambda \in \mathbb {N}$

Lösning via Legendre-funktioner

Genom substitution kan Schrödinger-ekvationen reduceras till ekvationen $u=\mathrm {th} ax$

((1-u^{2})\Psi '(u))'+\lambda (\lambda -1)\Psi (u)+\left({\frac {k}{a}}\ höger)^{2}{\frac {1}{1-u^{2}}}\Psi (u)=0.

Lösningen på denna ekvation kan representeras i termer av Legendre-funktionerna

\Psi (u)=AP_{\lambda -1}^{\mu}(u)+BQ_{\lambda -1}^{\mu}(u),

var . $\mu=ik/a$

Se även

Pöschl-Teller potential

Anteckningar

↑ G. Poschl, E. Teller. Bemerkungen zur Quantenmechanik des anharmonischen Oszillators (tyska) // Zeitschrift für Physik. - 1933. - Bd. 83 , nr. 3-4 . — S. 143–151 . - doi : 10.1007/BF01331132 .

Litteratur

Z. Flügge. Problem inom kvantmekaniken. - Förlag LKI, 2008. - T. 1.

IG Kaplan. Intermolekylära interaktioner . – 2006.

Paul Harrison. Kvantbrunnar, ledningar och prickar . — 2005.

Modeller av kvantmekanik
Endimensionell utan snurr	fri partikel Grop med ändlösa väggar Rektangulär kvantbrunn deltapotential Triangulär kvantbrunn Harmonisk oscillator Potentiell språngbräda Pöschl-Teller potential väl Modifierad Pöschl-Teller potentialbrunn Partikel i en periodisk potential Dirac potentialkam Partikel i ringen
Flerdimensionell utan snurr	cirkulär oscillator Vätemolekyljon Symmetrisk topp Sfäriskt symmetriska potentialer Woods-Saxon potential Keplers problem Yukawa potential Morsepotential Hulthen potential Kratzers molekylära potential Exponentiell potential
Inklusive spinn	väteatom Hydridjon heliumatom