Oreducerbart polynom

Ett irreducerbart polynom är ett polynom som inte kan dekomponeras i icke-triviala (det vill säga inte konstanta) polynom. Irreducerbara polynom är irreducerbara element i en polynomring .

Egenskapen irreducerbarhet beror på ringen (fältet) av koefficienter (se avsnittet med exempel).

Definition

Ett polynom i variabler över ett fält sägs vara irreducible över ett fält om det är ett enkelt element i ringen , det vill säga det är inte en konstant och kan inte representeras som en produkt , där och är polynom med koefficienter från , som skiljer sig från konstanter. $p(x_{1},x_{2},..,x_{n})$ $n$ $k$ $k$ $k[x_{1},x_{2},..,x_{n}]$ $p=qr$ $q$ $r$ $k$

Ett polynom som är irreducerbart över en integralring definieras på liknande sätt .

Ett polynom sägs vara absolut irreducerbart om det är irreducerbart över den algebraiska stängningen av koefficientfältet. Absolut irreducerbara polynom av en variabel är polynom av 1:a graden och bara de. I fallet med flera variabler finns det absolut irreducerbara polynom av godtyckligt hög grad - till exempel vilket polynom som helst av formen

p(x_{1},x_{2},..,x_{{n-1}})+x_{n}

absolut irreducerbar.

Rötterna till ett irreducerbart polynom kallas konjugat .

Egenskaper

Polynomringen är faktoriell : vilket polynom som helst bryts ned till en produkt av irreducerbara polynom, och denna nedbrytning är unikt definierad upp till konstanta faktorer och faktorernas ordning. $k[x_1,x_2..,x_n]$
Över fältet av reella tal har varje irreducerbart polynom i en variabel grad 1 eller 2, och ett 2: a gradens polynom är irreducerbart om och endast om det har en negativ diskriminant . Faktum är att varje reellt polynom som inte har reella rötter (vilket är möjligt endast för jämna grader) har åtminstone en rent komplex rot , och då är roten av detta polynom elementet konjugat till denna rot ; därför är detta polynom delbart med det verkliga polynomet , vilket för ett polynom av grad 3 eller högre betyder reducerbart. $z$ ${\overline {z}}\neq z$ $(xz)(x-{\overline {z)))$
Över vilket fält som helst av algebraiska tal finns det ett irreducerbart polynom av vilken som helst förutbestämd grad; till exempel är polynomet , där och är något primtal, irreducible på grund av Eisenstein-kriteriet . $x^{n}+px+p$ $n>1$ $sid$
Ett irreducerbart polynom över ett fält med karakteristisk 0 kan inte ha flera rötter varken i detta fält eller i någon av dess förlängningar.
Om är ett ändligt fält av element och är ett naturligt tal, så finns det minst ett irreducerbart polynom av grad n från . $k=F_{q}$ $q$ $n$ $k[x]$
Antag att det är en integrerat sluten ring med ett fält av kvotienter (till exempel , och ) och är ett polynom av en variabel med ledande koefficient 1, sedan i , och och har ledande koefficient 1, då . $A$ $k$ $A=\mathbb{Z}$ $k={\mathbb Q}$ $p\in A[x]$ $p=qr$ $k[x]$ $q$ $r$ $q,r\in A[x]$
Reduktionskriterium för irreducerbarhet. Låt en homomorfism av integritetsdomäner ges . Om graden av polynomet sammanfaller med graden av polynomet och är irreducible över fältet av kvoter , då finns det ingen nedbrytning där och skiljer sig från en konstant. $\sigma :A\till B$ $\sigma (p)$ $sid$ $\sigma (p)$ $B$ $p=qr$ $p,r\in A[x]$
- Till exempel är ett polynom med en ledande koefficient enkel i (och därför irreducerbar i ) om polynomet som erhålls från reduktionen av koefficienterna modulo ett primtal är enkelt. $sid$ $ett$ $\mathbb {Z} [x]$ ${\mathbb Q}[x]$ $\sigma (p)$ $sid$

Exempel

Följande fem polynom visar några elementära egenskaper hos irreducerbara polynom:

p_{1}(x)=x^{2}+4x+4\,={(x+2)^{2))

p_{2}(x)=x^{2}-4\,={(x-2)(x+2)}

p_{3}(x)=x^{2}-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3)

p_{4}(x)=x^{2}-2\,=(x-{\sqrt {2)))(x+{\sqrt {2)))

p_{5}(x)=x^{2}+1\,={(xi)(x+i)}

, var .

i^{2}

={-1}

Över ringen av heltal är de två första polynomen reducerbara, de två sista är irreducerbara. (Den tredje är inte alls ett polynom över heltal). $\mathbb {Z}$

Över fältet för rationella tal är de tre första polynomen reducerbara, de andra två är irreducerbara. $\mathbb {Q}$

Över fältet av reella tal är de fyra första polynomen reducerbara, men är irreducerbara. Inom området reella tal är linjära polynom och kvadratiska polynom utan reella rötter irreducerbara. Till exempel har expansionen av ett polynom i fältet reella tal formen . Båda faktorerna i denna expansion är irreducerbara polynom. $\mathbb {R}$ $p_{5}(x)$ $x^{4}+1$ $(x^{2}+{\sqrt {2}}x+1)(x^{2}-{\sqrt {2}}x+1)$

Över fältet av komplexa tal är alla fem polynomen reducerbara. Faktum är att varje icke-konstant polynom över kan faktoriseras i formen: $\mathbb {C}$ $p(x)$ $\mathbb {C}$

p(x)=a(x-z_{1})\cdots (x-z_{n})

där är graden av polynomet , är den ledande koefficienten, är rötterna till . Därför är de enda irreducerbara polynomen över linjära polynom ( Fundamental Theorem of Algebra ). $\n$ $\a$ $\ z_{1},\ldots ,z_{n}$ $\p(x)$ $\mathbb {C}$

Slutfält

Polynom med heltalskoefficienter som är irreducerbara över ett fält kan reduceras över ett ändligt fält . Till exempel är polynomet irreducerbart över , men över ett fält med två element har vi: $\mathbb {Q}$ $x^{2}+1$ $\mathbb {Q}$ $\mathbb {F} _{2}$

(x^{2}+1)=(x+1)^{2}.

Litteratur

Van der Waerden B. L. Algebra. — M .: Mir, 1976. — 648 sid.
Leng S. Algebra. — M .: Mir, 1968.
Zarissky O., Samuel P. Kommutativ algebra. — M .: IL, 1963.