Generaliserade Fibonacci-tal

Fibonacci-tal bildar en rekursionsdefinierad sekvens

F_{0}=0,

F_{1}=1,

{\displaystyle F_{n}=F_{n-1}+F_{n-2))

för ett heltal .

n>1

Det vill säga, med utgångspunkt från två initiala värden är varje tal lika med summan av de två föregående.

Fibonacci-sekvensen har studerats och generaliserats mycket på många sätt, som att börja sekvensen med andra tal än 0 eller 1, eller genom att lägga till fler än två föregående tal för att bilda nästa nummer. Den här artikeln beskriver olika förlängningar och generaliseringar av Fibonacci-tal.

Tillägg till negativa tal

Om du använder rekursion kan du utöka Fibonacci-talen till negativa tal. Vi får: ${\displaystyle F_{n-2}=F_{n}-F_{n-1))$

... −8, 5, −3, 2, −1, 1, 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, ...

med den allmänna termformeln . ${\displaystyle F_{-n}=(-1)^{n+1}F_{n))$

Se även Negafibonacci-siffror .

Utvidgning till reella och komplexa tal

Det finns många möjliga generaliseringar som utökar Fibonacci-talen till de reella talen (och ibland till de komplexa talen ). De använder det gyllene snittet φ och är baserade på Binets formel

F_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}.

Analytisk funktion

\operatorname {Fe} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}

har egenskapen att för jämna heltal n [1] . På samma sätt för den analytiska funktionen $\operatörsnamn {Fe} (n)=F_{n}$

\operatorname {Fo} (x)={\frac {\varphi ^{x}+\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}}

gäller för alla udda heltal n . $\operatörsnamn {Fo} (n)=F_{n}$

Lägger vi ihop allt får vi den analytiska funktionen

\operatorname {Fib} (x)={\frac {\varphi ^{x}-\cos(x\pi )\varphi ^{-x}}{\sqrt {5}}},

för vilket gäller för alla heltal n [2] . ${\displaystyle \operatörsnamn {Fib} (n)=F_{n))$

Eftersom för alla komplexa tal z ger denna funktion också en förlängning av Fibonacci-sekvensen för hela det komplexa planet. Således kan vi beräkna den generaliserade Fibonacci-funktionen för en komplex variabel, till exempel, $\operatörsnamn {Fib} (z+2)=\operatörsnamn {Fib} (z+1)+\operatörsnamn {Fib} (z)$

\operatorname {Fib} (3+4i)\approx -5248{,}5-14195{,}9i.

Vektor utrymme

Termen Fibonacci-sekvens kan appliceras på vilken funktion g som helst som mappar en heltalsvariabel till något fält, för vilket . Dessa funktioner är exakt funktioner i formen , så Fibonacci-sekvenserna bildar ett vektorrum vars grund är funktionerna och . $g(n+2)=g(n)+g(n+1)$ $g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)$ $F(n)$ $F(n-1)$

Vilken Abelisk grupp som helst (som betraktas som en Z -modul ) kan tas som domän för funktionen g . Sedan bildar Fibonacci-sekvenserna en 2-dimensionell Z - modul.

Liknande heltalssekvenser

Heltals Fibonacci-sekvenser

Den 2-dimensionella Z - modulen av sekvenser av Fibonacci-heltal består av alla heltalssekvenser som uppfyller förhållandet . Uttryckt i termer av de två första initialvärdena får vi $g(n+2)=g(n)+g(n+1)$

g(n)=F(n)g(1)+F(n-1)g(0)=g(1){\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{ -n}}{\sqrt {5}}}+g(0){\frac {\varphi ^{n-1}-(-\varphi )^{1-n}}{\sqrt {5}}} ,

där φ är det gyllene snittet.

Förhållandet mellan två på varandra följande element konvergerar till det gyllene snittet, förutom i fallet med en sekvens som består av nollor och sekvenser där förhållandet mellan de två första termerna är lika med . ${\displaystyle (-\varphi )^{-1))$

Sekvensen kan skrivas som

a\varphi ^{n}+b(-\varphi )^{-n},

där om och endast om . I den här formen är det enklaste icke-triviala exemplet och denna sekvens består av Lucas-tal : $a=0$ $b=0$ $a=b=1$

L_{n}=\varphi ^{n}+(-\varphi )^{-n}.

Vi har och . Genomförde: $L_{1}=1$ $L_{2}=3$

{\begin{aligned}\varphi ^{n}&=\left({\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\right)^{n}={\frac { L(n)+F(n){\sqrt {5}}}{2}},\\L(n)&=F(n-1)+F(n+1).\end{aligned}}

Varje icke-trivial sekvens av Fibonacci-heltal (möjligen efter en förskjutning med ett ändligt antal positioner) är en av raderna i Wythoff-tabellen . Själva Fibonacci-sekvensen är den första raden, och den förskjutna Lucas-sekvensen är den andra raden [3] .

Se även Sekvenser av Fibonacci-tal modulo n .

Luke-sekvenser

En annan generalisering av Fibonacci- sekvenser är Lucas-sekvenser , definierade enligt följande:

U(0)=0

U(1)=1

U(n+2)=PU(n+1)-QU(n)

där den vanliga Fibonacci-sekvensen är ett specialfall med och . En annan Luke-sekvens börjar med , . Sådana sekvenser har tillämpningar inom talteori och primatitetstestning . $P=1$ $Q=-1$ $V(0)=2$ $V(1)=P$

I fallet när kallas denna sekvens P -Fibonacci-sekvensen . Till exempel kallas Pell-sekvensen också för Fibonacci 2-sekvensen . $Q=-1$

3-Fibonacci-sekvens

0, 1, 3, 10, 33, 109, 360, 1189, 3927, 12970, 42837, 141481, 467280, 1543321, 5097243, 16835052, 1697243, 168355602, 168355602, 69 sekvens , 5097243 , 168355602, 69 5020, 69 5020, ...

4-Fibonacci-sekvens

0, 1, 4, 17, 72, 305, 1292, 5473, 23184, 98209, 416020, 1762289, 7465176 , 31622993 .

5-Fibonacci-sekvens

0, 1, 5, 26, 135, 701, 3640, 18901, 98145, 509626, 2646275, 13741001 , 71351280 .

6-Fibonacci-sekvens

0, 1, 6, 37, 228, 1405, 8658, 53353, 328776, 2026009, 12484830, 76934989 , 474094764 .

n -Fibonacci-konstanten är det värde till vilket förhållandet mellan intilliggande tal i n - Fibonacci-sekvensen tenderar. Det kallas också det n : te förhållandet av värdefull metall och är den enda positiva roten av ekvationen. Till exempel, i falletär konstanten, eller det gyllene snittet , och i falletär konstanten 1 + √ 2 , eller silversektionen . För det allmänna fallet är n -konstanten. $x^{2}-nx-1=0$ $n=1$ ${\tfrac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ $n=2$ ${\tfrac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}$

I det allmänna fallet kan det kallas - Fibonacci-sekvensen , eller det kan kallas Lucas -sekvensen . $Fn)$ $(P,-Q)$ $V(n)$ $(P,-Q)$

(1,2)-Fibonacci-sekvens

0 1 1 3 5 11 21 43 85 171 341 683 1365 2731 5461 10923 21845 43691 87381 174763 349525 6991825 6991051 3111 371 341 261 241 349 240 240 369 250 2400 2600 2400 2400 2400 24000

(1,3)-Fibonacci-sekvens

sekvens A006130 i OEIS

(2,2)-Fibonacci-sekvens

0, 1, 2, 6, 16, 44, 120, 328, 896, 2448, 6688, 18272, 49920, 136384, 372608, 1017984, 27811984, 27811984, 705, 705, 701, 605, 601, 601, 605, 601, 601, 601, 601, 501, 501, 501, 601, 600, 601, 601, 600, 601, 600, 500, 500, 500, 500, 500, 500 , 500

(3,3)-Fibonacci-sekvens

0, 1, 3, 12, 45, 171, 648, 2457, 9315, 35316, 133893, 507627, 1924560, 7296561, 276663363, 104879772, 397629405, 1507527531, 5715470808, ... sequence A030195 in OEIS

Hög ordning Fibonacci-nummer

Fibonacci-sekvensen av ordning n är en sekvens av heltal där varje element är summan av de föregående n elementen (exklusive de första n elementen i sekvensen). Vanliga Fibonacci-nummer är av ordning 2. Fallen och är noggrant utredda. Antalet faktoriseringar av icke-negativa heltal till delar som inte överstiger n är Fibonacci-sekvensen av ordningen n . Efterföljaren till antalet strängar av 0 och 1 av längden m som innehåller högst n på varandra följande nollor är också en Fibonacci-sekvens av ordningen n . $n=3$ $n=4$

Dessa sekvenser, deras termrelationsgränser och deras termrelationsgränser studerades av Mark Barr 1913 [4] .

Tribonacci-nummer

Tribonacci-tal liknar Fibonacci-tal, men istället för två fördefinierade tal börjar sekvensen med tre tal, och varje nästa term är summan av de tre föregående:

0 , 0 , 1 , 1 , 2 , 4 , 7 , 13 , 24 , 44 , 81 , 149 , 274 , 504 , 927 , 1705 , 3136 , 5768 , 10609 , 10619 , 0 5 0 , 0 5 0 , 0 5 0 , 0 , 10 , 6 , 6 , 6 , 10

Tribonacci konstant

{\frac {1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33))))+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33)) }}}{3}}\approx 1,839286755214161,

sekvens A058265 i OEIS

är det värde som förhållandet mellan två angränsande tribonaccital tenderar mot. Talet är roten till polynomet och uppfyller även ekvationen . Tribonacci-konstanten är viktig i studiet av snubbkuben . $x^{3}-x^{2}-x-1=0$ $x+x^{-3}=2$

Den reciproka av tribonacci-konstanten , uttryckt som ett förhållande , kan skrivas som: $\xi ^{3}+\xi ^{2}+\xi =1$

\xi ={\frac {{\sqrt[{3}]{17+3{\sqrt {33))))-{\sqrt[{3}]{-17+3{\sqrt {33 }}}}-1}{3}}={\frac {3}{1+{\sqrt[{3}]{19+3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3} ]{19-3{\sqrt {33}}}}}}\approx 0,543689012.

Tribonacci-tal ges också av formeln [5]

T(n)=\left\lfloor 3b{\frac {\left({\frac {1}{3}}\left(a_{+}+a_{-}+1\right)\right) ^{n}}{b^{2}-2b+4}}\right\rceil

där ⌊ • ⌉ betyder närmaste heltal och

{\begin{aligned}a_{\pm }&={\sqrt[{3}]{19\pm 3{\sqrt {33))))\\b&={\sqrt[{3}] {586+102{\sqrt {33}}}}\end{aligned}}

. Tetranacci-nummer

Tetranaccitalen börjar med fyra fördefinierade termer, och varje nästa term beräknas som summan av de föregående fyra termerna i sekvensen. De första tetranacci-talen:

0,0,0,1,1,2,4,8,15,29,56,108,208,401,773,1490,2872,5536,10671,20569,39648,76424,147312,283953_4_ 7_ 3953_5 _ _ _ _ _ _ (sekvens A000078 i OEIS )

Tetranacci-konstanten är det värde till vilket förhållandet mellan angränsande medlemmar av tetranacci-sekvensen tenderar. Denna konstant är roten till polynomet och är ungefär lika med 1,927561975482925 A086088 och uppfyller ekvationen . $x^{4}-x^{3}-x^{2}-x-1=0$ $x+x^{-4}=2$

Tetranacci-konstanten uttrycks i termer av radikaler [6]

\left(p_{1}+{\tfrac {1}{4}}\right)+{\sqrt {\left(p_{1}+{\tfrac {1}{4}}\right) ^{2}-{\frac {2\lambda _{1}}{p_{1}}}\left(p_{1}+{\tfrac {1}{4}}\right)+{\frac { 7}{24p_{1}}}}+{\tfrac {1}{6}}}}

var

{\begin{aligned}p_{1}&={\sqrt {\lambda _{1}+{\tfrac {11}{48))))\\\lambda _{1}&={\ frac {{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {1689}}-65}}-{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {1689}}+65}}}{12{\ sqrt[{3}]{2}}}}.\end{aligned}}

Högre order

Antalet pentanacci (5:e ordningen), hexanacci (6:e ordningen) och heptanacci (7:e ordningen) beräknades.

Pentanacci-nummer (5:e ordningen):

0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 31, 61, 120, 236, 464, 912, 1793, 3525, 6930, 13624, ... OEIS - sekvens A001591

Hexanacci-tal (6:e ordningen):

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 63, 125, 248, 492, 976, 1936, 3840, 7617, 15109, ... OEIS sekvens A0015

Heptanacci-tal (7:e ordningen):

0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 253, 504, 1004, 2000, 3984, 7936, 15808, ... 218 sekvens A1

Octanacci-tal (8:e ordningen):

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 255, 509, 1016, 2028, 4048, 8080, 16128, ... sekvens A079262 i OEIS

Nonacci-nummer (9:e ordningen):

0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 511, 1021, 2040, 4076, 8144, 16272,. .sekvens A104144 i OEIS

Gränsen för förhållandet mellan successiva termer i en n -nacci-sekvens tenderar mot roten av ekvationen ( A103814 , A118427 , A118428 ). $x+x^{-n}=2$

Alternativ rekursiv formel för gränsen för förhållandet r för två på varandra följande n -nacci- tal

{\displaystyle r=\sum _{k=0}^{n-1}r^{-k))

Ett specialfall är den traditionella Fibonacci-sekvensen och ger det gyllene snittet . $n=2$ $\varphi =1+{\tfrac {1}{\varphi }}$

Ovanstående kvotformler är giltiga för n -nacci-sekvenser genererade från godtyckliga tal. Gränsen för detta förhållande är 2 eftersom n tenderar mot oändligheten. Talföljden "oändligt-nacci", om du försöker beskriva den, ska börja med ett oändligt antal nollor, varefter det ska finnas en sekvens

[..., 0, 0, 1,] 1, 2, 4, 8, 16, 32, …,

det vill säga helt enkelt tvåpotenser.

Sekvensgränsen för någon är en positiv rot av den karakteristiska ekvationen r [6] $n>0$

x^{n}-\sum _{i=0}^{n-1}x^{i}=0.

Roten r ligger i intervallet . Den negativa roten av den karakteristiska ekvationen ligger i intervallet (−1, 0) om n är jämnt. Denna rot och varje komplex rot i den karakteristiska ekvationen har en modul [6] . $2(1-2^{-n})<r<2$ $3^{-n}<\vert r\vert <1$

Sekvens för en positiv rot r för någon [6] $n>0$

2-2\sum _{i>0}{\frac {1}{i}}{\binom {(n+1)i-2}{i-1}}{\frac {1}{ 2^{(n+1)i}}}.

Det finns ingen lösning av den karakteristiska ekvationen i termer av radikaler om [6] . $5\leqslant n\leqslant 11$

det k -te elementet i n -nacci-sekvensen ges av formeln

F_{k}^{(n)}=\left\lfloor {\frac {r^{k-1}(r-1)}{(n+1)r-2n))\right\rceil ,

där ⌊ • ⌉ betyder närmaste heltal och r är n -nacci-konstanten som är roten närmast 2 [7] . $x+x^{-n}=2$

Myntkastningsproblemet är relaterat till n -nacci-sekvensen. Sannolikheten att svansar inte kommer upp n på varandra följande gånger i m kast av ett idealiskt mynt är [8] . ${\displaystyle {\tfrac {1}{2^{m}}}F_{m+2}^{(n)))$

Fibonacci-ordet

I analogi med den numeriska analogen definieras ordet Fibonacci som

F_{n}:=F(n):={\begin{cases}{\text{b}}&,n=0;\\{\text{a}}&,n=1;\ \F(n-1)+F(n-2)&,n>1.\\\end{fall}}

där + betyder sammanlänkningen av två strängar. Fibonacci-strängsekvensen börjar med

b, a, ab, aba, abaab, abaababa, abaababaabaab, … OEIS - sekvens A106750

Längden på varje Fibonacci-sträng är lika med Fibonacci-talet och för varje Fibonacci-nummer finns det en Fibonacci-sträng.

Fibonacci-strängar visar sig vara värsta tänkbara indata för vissa algoritmer .

Om "a" och "b" representerar två olika material eller atombindningslängder, är strukturen som motsvarar Fibonacci-strängen en Fibonacci -kvasikristall , en icke-periodisk kvasikristallstruktur med ovanliga spektrala egenskaper.

Vikta Fibonacci-sekvenser

Den vikta Fibonacci-sekvensen erhålls genom att tillämpa veckoperationen på Fibonacci-sekvensen en eller flera gånger. Definiera [9] :

F_{n}^{(0)}=F_{n}

och

{\displaystyle F_{n}^{(r+1)}=\summa _{i=0}^{n}F_{i}F_{ni}^{(r)))

De första sekvenserna

r = 1: 0, 0, 1, 2, 5, 10, 20, 38, 71, ... A001629 . r = 2: 0, 0, 0, 1, 3, 9, 22, 51, 111, ... A001628 . r = 3: 0, 0, 0, 0, 1, 4, 14, 40, 105, ... A001872 .

Sekvenser kan beräknas med den rekursiva formeln

F_{n+1}^{(r+1)}=F_{n}^{(r+1)}+F_{n-1}^{(r+1)}+F_{n} ^{(r)}

Den genererande funktionen för den r:e faltningen är

s^{(r)}(x)=\sum _{k=0}^{\infty }F_{n}^{(r)}x^{n}=\left({\frac { x}{1-xx^{2}}}\höger)^{r}.

Sekvenserna är relaterade till sekvensen av Fibonacci-polynom relationen

F_{n}^{(r)}=r!F_{n}^{(r)}(1)

var är den r:e derivatan av . Motsvarande är en koefficient när den expanderas som summan av potenserna av . $F_{n}^{(r)}(x)$ $F_{n}(x)$ ${\displaystyle F_{n}^{(r)))$ ${\displaystyle (x-1)^{r))$ $F_{n}(x)$ $(x-1)$

Den första faltningen kan skrivas i termer av Fibonacci- och Lucas-tal ${\displaystyle F_{n}^{(1)))$

F_{n}^{(1)}={\frac {nL_{n}-F_{n}}{5}}

och tillfredsställer återfallsrelationen

F_{n+1}^{(1)}=2F_{n}^{(1)}+F_{n-1}^{(1)}-2F_{n-2}^{(1 )}-F_{n-3}^{(1)}.

Ett liknande uttryck kan hittas för r > 1 , med ökande komplexitet när r växer . Siffrorna är summorna över raderna i Hosoya-triangeln . ${\displaystyle F_{n}{(1)))$

Precis som med Fibonacci-tal finns det några kombinatoriska tolkningar av dessa sekvenser. Till exempel är antalet sätt att skriva n − 2 som en ordnad summa av talen 0, 1 och 2, där 0 används exakt en gång. Speciellt och 4 - 2 = 2 kan skrivas som 0 + 1 + 1 , 0 + 2 , 1 + 0 + 1 , 1 + 1 + 0 , 2 + 0 . [tio] ${\displaystyle F_{n}^{(1)))$ $F_{4}^{(1)}=5$

Andra generaliseringar

Fibonacci-polynom är en annan generalisering av Fibonacci-tal.

Padovansekvensen bildas av återfallsrelationen . $P(n)=P(n-2)+P(n-3)$

Den slumpmässiga Fibonacci-sekvensen kan definieras som att kasta ett mynt för varje position n i sekvensen och ett valnär det gäller huvuden ochsvansar. Enligt Furstenbergs och Kestens arbete växer denna sekvens nästan säkert exponentiellt i konstant takt. Tillväxthastighetskonstanten beräknades 1999 av Diwakar Viswanath och är känd som " Viswanath-konstanten ". $F(n)=F(n-1)+F(n-2)$ $F(n)=F(n-1)-F(n-2)$

Repfigit , eller Keiths nummer , är ett heltal som är resultatet av Fibonacci-sekvensen som börjar med en sekvens av tal som representerar siffrorna i numret. Till exempel, för talet 47, börjar Fibonacci-sekvensen med 4 och 7 och innehåller 47 som den sjätte termen ( (4, 7, 11, 18, 29, 47) ). Valnumret kan erhållas som en tribonacci-sekvens om det innehåller 3 siffror, som en tetranacci-sekvens om numret innehåller 4 siffror, etc. Valens första siffror är:

14, 19, 28, 47, 61, 75, 197, 742, 1104, 1537, 2208, 2580, 3684, 4788, 7385, 7647, 7909, ... OEIS sekvens A007

Eftersom uppsättningen av sekvenser som uppfyller relationen är stängd under elementvis addition och multiplikation med en konstant, kan den betraktas som ett vektorrum . Varje sådan sekvens bestäms unikt av ett val av två element, så vektorutrymmet är tvådimensionellt. Om vi betecknar en sådan sekvens med (de första två termerna i sekvensen), kommer Fibonacci-talen och de förskjutna Fibonacci-talen att vara den kanoniska grunden för detta utrymme $S(n)=S(n-1)+S(n-2)$ $(S(0),S(1))$ $F(n)=(0,1)$ $F(n-1)=(1,0)$

S(n)=S(0)F(n-1)+S(1)F(n)

för alla sådana sekvenser S . Till exempel, om S är Lucas-sekvensen 2, 1, 3, 4, 7, 11, ... , har vi

L(n)=2F(n-1)+F(n)

N -genererad Fibonacci-sekvens

Vi kan definiera en N -genererad Fibonacci-sekvens (där N är ett positivt rationellt tal).

Om en

N=2^{a_{1}}\cdot 3^{a_{2}}\cdot 5^{a_{3}}\cdot 7^{a_{4}}\cdot 11^{a_{ 5}}\cdot 13^{a_{6}}\cdot ...\cdot P_{r}^{a_{r}},

där P r är det r: te primtal, definierar vi

F_{N}(n)=a_{1}F_{N}(n-1)+a_{2}F_{N}(n-2)+a_{3}F_{N}(n- 3)+a_{4}F_{N}(n-4)+a_{5}F_{N}(n-5)+...

Om , vi antar , och i fall , vi antar . $n=r-1$ $F_{N}(n)=1$ $n<r-1$ $F_{N}(n)=0$

Efterföljd	N	OEIS -sekvens
Fibonacci-sekvens	6	A000045
Pell sekvens	12	A000129
Jacobsthal sekvens	arton	A001045
Tribonacci-sekvens	trettio	A000073
Tetranacci-sekvens	210	A000288
Padovan sekvens	femton	A000931

Semi-Fibonacci-sekvens

Den semi-fibbonacianska sekvensen ( A030067 ) definieras av samma rekursiva formel för termer med udda index och , men för jämna index krävs , . De distingerade udda termerna ( A030068 ) uppfyller ekvationen och ökar strikt. De ger många semi-fibonacci-tal $a(2n+1)=a(2n)+a(2n-1)$ $a(1)=1$ $a(2n)=a(n)$ $n\geqslant 1$ $s(n)=a(2n-1)$ $s(n+1)=s(n)+a(n)$

1, 2, 3, 5, 6, 9, 11, 16, 17, 23, 26, 35, 37, 48, 53, 69, 70, 87, 93, 116, 119, 145, 154, ... sekvens A030068 i OEIS _

för vilken formeln är sann . $s(n)=a(2^{k}(2n-1)),k=0,1,...$

Anteckningar

↑ Vad är ett Fibonacci-nummer?
↑ Pravin Chandra, Eric W. Weisstein . Fibonacci Number (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Morrison, 1980 , sid. 134–136.
↑ Gardner, 1961 , sid. 101.
↑ Simon Plouffe, 1993 . Hämtad 20 juli 2022. Arkiverad från originalet 11 juli 2022. (obestämd)
↑ 1 2 3 4 5 Wolfram, 1998 .
↑ Du, Zhao Hui, 2008
↑ Eric W. Weisstein Myntkastning på Wolfram MathWorld .
↑ Hoggatt, Bicknell-Johnson, 1977 , sid. 117-122.
↑ Sloane's A001629 Arkiverad 12 oktober 2017 på Wayback Machine . The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences . Stiftelsen OEIS.

Litteratur

Morrison DR En Stolarsky-array av Wythoff-par // En samling manuskript relaterade till Fibonacci-sekvensen . - Santa Clara, CA: The Fibonacci Association, 1980. - S. 134-136. Arkiverad 4 mars 2016 på Wayback Machine
Martin Gardner. The Scientific American Book of Mathematical Puzzles and Diversions, Vol. II. - Simon och Schuster, 1961. - S. 101.
Wolfram DA Lösning av generaliserade Fibonacci-recidiv // Fib. Quart .. - 1998. - T. 36 , nr. 2 .
Hoggatt VE Jr., Bicknell-Johnson M. Fibonacci Convolution Sequences // Fib. Quart. - 1977. - T. 15 .

Länkar

Hazewinkel, Michiel, red. (2001), Tribonacci nummer , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4

fibonacci
Böcker	Boken om kulramen (1202) Bok med rutor (1225)
teorier	Fibonacci-siffror Girig algoritm för egyptiska bråk
Relaterade ämnen	Fibonacci-tal i kulturen Lista över objekt uppkallade efter Fibonacci Generalisering av Fibonacci-tal Fibonacci Association kvartalsvis