Vändbart element

Ett inverterbart element  är ett element i ringen med enhet för vilket det finns ett inverst element med avseende på multiplikation. Ett annat namn är enhetsdelare . Också, främst i översättningar från engelska, finns namnet enhet , vilket kan orsaka förväxling med ett enda element (i engelska källor används två olika termer: enhetselement och Identitetselement [1] ).

Med andra ord sägs ett element i en ring vara inverterbart om det finns ett sådant element

var  är ringens identitetselement.

Uppsättningen av alla inverterbara beståndsdelar i en ring bildar en multiplikativ grupp , kallad gruppen av inverterbara element (mindre vanligt , gruppen av ettor ). Denna grupp är alltid icke-tom, eftersom den innehåller åtminstone ringens identitet.

Associerade element

If  är ett inverterbart element, då de element som kan representeras som eller kallas associerade med .

Vanligtvis används termen enhetsdelare och begreppet tillhörande element för områden med integritet .

Grupp av enheter

De inverterbara elementen i ringen R bildar gruppen U ( R ) genom multiplikation, enhetsgruppen för ringen R. Andra vanliga symboler är R × , R * och E ( R ) (från tyskan Einheit ).

I en kommutativ ring R verkar enhetsgruppen U ( R ) på R via multiplikation. Banorna för dessa åtgärder kallas uppsättningar av associerade element ; med andra ord finns det en ekvivalensrelation ~ på R som kallas association , där

betyder att det finns en enhet u sådan att r = us .

Det kan visas att U  är en funktion från kategorin ringar till kategorin grupper : varje ringhomomorfism f  : R → S genererar en grupphomomorfism U ( f ) : U ( R ) → U ( S ) eftersom f kartlägger enheter till enheter.

En ring R är en ring om och endast om U ( R ) = R \{0}.

Exempel

• Det finns två enhetsdelare i ringen av heltal : +1 och −1.
• I ringen av rester modulom är de inverterbara elementen rester som primeras med modulom . De bildar den multiplikativa gruppen av restringen .
• Det finns fyra enhetsdelare i ringen av Gaussiska heltal : .
• I en polynomring över ett fält är varje element som inte är noll i koefficientfältet (som ett polynom med grad noll) en enhetsdelare.

Anteckningar

1. ↑ Jämför Unit divisor Arkiverad 19 december 2021 på Wayback Machine och Unital ring Arkiverad 19 december 2021 på Wayback Machine

Litteratur

• Van der Waerden B. L. Algebra. — M .: Nauka, 1975.
• Zarissky O., Samuel P. Kommutativ algebra. - M. : IL, 1963. - T. 1.
• Leng S. Algebra. — M .: Mir, 1967.