Ortogonala polynom

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 november 2021; verifiering kräver 1 redigering .

I matematik är en sekvens av ortogonala polynom en oändlig sekvens av reella polynom

p_{0}(x),\ p_{1}(x),\ p_{2}(x),\ \ldots

där varje polynom har grad , och även två olika polynom i denna sekvens är ortogonala mot varandra i betydelsen av någon skalär produkt som ges i rymden . $p_n(x)$ $n$ $L^{2}$

Begreppet ortogonala polynom introducerades i slutet av 1800-talet. i verk av P. L. Chebyshev om fortsatta bråk och senare utvecklad av A. A. Markov och T. I. Stiltjes och hittade olika tillämpningar inom många områden av matematik och fysik .

Definition

Ortogonalitet med vikt

Låta vara ett intervall på den reella axeln (ändlig eller oändlig). Detta gap kallas ortogonalitetsintervallet . Låta $(a,b)$

w : ~(a,b) \to \mathbb{R}

en given kontinuerlig strikt positiv funktion inom intervallet. En sådan funktion kallas vikt eller helt enkelt vikt . Funktionen är relaterad till det funktionsutrymme för vilket integralen konvergerar $(a,b)$ $w(x)$ $L_{{2}}$

\int_{a}^{b} \left[f(x)\right]^2 w(x) \; dx < \infty

I det resulterande utrymmet kan du ange den skalära produkten med formeln

\langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x) g(x) w(x) \; dx

för riktiga funktioner,

\langle f, g \rangle = \int_{a}^{b} f(x) \overline{g(x)} w(x) \; dx

för komplext värderade funktioner.

Om skalärprodukten av två funktioner är lika med noll , kallas sådana funktioner ortogonala med vikt . Som regel betraktas endast reella funktioner bland ortogonala polynom. $\langle f,g\rangle =0$ $w(x)$

Klassisk formulering

Polynomsystem

p_{0}(x),p_{1}(x),\cdots ,p_{n}(x),\cdots

kallas ortogonal if

$p_n(x)$ är ett gradpolynom , $n$
$\langle p_m,p_n \rangle = \delta_{mn} h_{n}$ , där är Kronecker-symbolen , är normaliseringsfaktorn. $\delta _{{mn}}$ $h_{{n}}$

En ortogonal bas sägs vara ortonormal om alla dess element har enhetsnorm . Vissa av de klassiska polynomen som presenteras nedan kan normaliseras enligt någon annan regel. För sådana polynom skiljer sig värden från enhet och listas i tabellen nedan. $||p_n||=h_n=1$ $h_{n}$

Allmänna egenskaper för sekvenser av ortogonala polynom

Återkommande relationer

Alla ortogonala polynom uppfyller följande återkommande formel som relaterar tre på varandra följande polynom från systemet:

{p_{n+1}(x)\ =\ (A_nx+B_n)\ p_n(x)\ -\ C_n\ p_{n-1}(x)},

var

A_n=\frac{k_{n+1}}{k_n},\quad B_n=A_n \left(r_{n+1}-r_n \right), \quad C_n= \frac {A_n h_n} {A_{n -1}h_{n-1}},

r_n=\frac{k'_n}{k_n}, \quad h_n= \langle p_n(x),p_n(x) \rangle

k_n

och är koefficienterna vid termerna och i polynomet

{\displaystyle k'_{n))

x^n

x^{{n-1}}

p_{n}(x).

Denna formel förblir giltig för , om vi sätter . $n=0$ $p_{-1}(x)=0$

Bevis

Låt oss bevisa att det för varje n finns sådana koefficienter a , b och c som det sista återkommande förhållandet gäller.

Vi väljer a så att koefficienten på i polynomet försvinner $x^{n+1}$ $p_{n+1}(x)$

a\ x\ p_n(x)\ -\ p_{n+1}(x)

är ett polynom av n :e graden.

Vi väljer b så att koefficienten för at i polynomet försvinner $x^n$ $p_{n+1}(x)$

(ax+b)\ p_n(x)\ -\ p_{n+1}(x)

- polynom (n-1) -e graden.

Vi expanderar polynomet till en serie (detta är möjligt eftersom systemet med ortogonala polynom är komplett)

(ax+b)\ p_n(x)\ -\ p_{n+1}(x)\ =\ \sum_{i=0}^{n-1} {\lambda}_i p_i(x)

Det resulterande uttrycket multipliceras skalärt med potenserna $p_j(x)$ $j\le n-1$

a\ \langle x\ p_n, p_j \rangle - b\ \langle p_n, p_j\rangle\ =\ \sum_{i=0}^{n-1} {\lambda}_i \langle p_i, p_j \rangle

Reducera uttrycket med hjälp av ortogonaliteten hos polynom och permutationsegenskapen för den skalära produkten

a\ \langle p_n,\ xp_j \rangle\ =\ {\lambda}_j \langle p_j,\ p_j \rangle

Om , Då har polynomet fortfarande grad mindre än n och är ortogonalt mot . Därför, för . $j < n-1$ $xp_j(x)$ $p_n(x)$ $\lambda_j = 0$ $j < n-1$

Således är koefficienten som inte är noll endast för och, inställning , får vi den önskade relationen

j=n-1

c = \lambda_{n-1}

p_{n+1}(x)\ =\ (ax+b)\ p_n(x)\ -\ c\ p_{n-1}(x)

Christoffel - Darboux formel

$\sum_{k=0}^{n}\frac{p_k(x)p_k(y)}{h_k}=\frac{k_n}{k_{n+1}h_n}\frac{p_{n+1} (x)p_n(y)-p_{n+1}(y)p_n(x)}{xy}$ ,

eller när $y\till x$

$\sum_{k=0}^{n}h_k^{-1}\left[p_k(x)\right]^2=\frac{k_n}{k_{n+1}h_n}\left[p'_ {n+1}(x)p_n(x)-p_{n+1}(x)p'_n(x)\höger]$

Rötter av polynom

Alla rötter av polynomet är enkla, verkliga och alla ligger inom ortogonalitetsintervallet . $p_n(x)$ $\left[a;b\right]$

Bevis

Låt oss anta att inuti ortogonalitetsintervallet byter den endast tecken vid punkter. Sedan finns det ett polynom av grad så att . Å andra sidan kan ett polynom representeras som en linjär kombination av polynom , vilket betyder att det är ortogonalt , det vill säga . Den resulterande motsägelsen bevisar vårt påstående. $p_n(x)$ $m<n$ $s_{m}(x)$ $m$ $p_{n}(x)s_{m}(x)\geq 0$ $s_{m}(x)$ $p_{0}(x),p_{1}(x),\cdots ,p_{m}(x)$ $s_{m}(x)$ $p_n(x)$ $\langle p_{n}(x),s_{m}(x)\rangle =0$

Mellan två på varandra följande rötter av polynomet finns det exakt en rot av polynomet och minst en rot av polynomet , för . $p_n(x)$ $p_{n+1}(x)$ $p_{m}(x)$ $m>n$

Minimalitet av normen

Varje polynom i en ortogonal sekvens har miniminormen bland alla polynom av samma grad och med samma första koefficient. $p_n(x)$ $P_n(x)$

Bevis

Givet n kan vilket polynom som helst p(x) av grad n med samma första koefficient representeras som

p(x) = p_n(x) + \sum_{i=0}^{n-1} {\alpha}_i\ p_i(x).

Med ortogonalitet uppfylls kvadratnormen p(x) .

||p(x)||^2 = \langle p(x),p(x)\rangle = ||p_n(x)||^2 + \sum_{i=0}^{n-1} { \alpha}_i^2||p_i(x)||^2 \ge ||p_n(x)||^2.

Eftersom normerna är positiva måste du ta kvadratrötterna på båda sidorna, och du får resultatet.

Systemets fullständighet

Systemet med ortogonala polynom är komplett. Detta innebär att vilket polynom som helst av grad n kan representeras som en serie $p_i(x)$ $S(x)$

S(x)=\sum_{i=0}^n {\alpha}_i\ p_i(x)

var finns expansionskoefficienterna. $\alfa$

Bevis

Bevisade med matematisk induktion. Vi väljer så att det är ett polynom med grad mindre än . Vidare om induktion. $\ {\alpha}_n$ $\ S(x)-{\alpha}_n P_n(x)$ $n$

Differentialekvationer som leder till ortogonala polynom

En mycket viktig klass av ortogonala polynom uppstår när man löser en differentialekvation av följande form:

${Q(x)}\,f''+{L(x)}\,f'+{\lambda }f=0,$

där och ges polynom av andra respektive första ordningen och är okända funktioner och koefficienter. Denna ekvation kallas Sturm-Liouville-problemet och kan skrivas om i sin mer standardform $Q(x)$ $L(x)$ $f(x)$ $\lambda$

$(R(x)y')'+W(x)\,\lambda \,y=0,$

där Lösningen av denna ekvation leder till en uppsättning egenvärden och en uppsättning egenfunktioner med följande egenskaper: $R(x)=e^{\int {\frac {L(x)}{Q(x)))\,dx},\,W(x)={\frac {R(x)} {Q(x)}}.$ ${\lambda}_0, {\lambda}_1, {\lambda}_2, \dots$ $P_{0},P_{1},P_{2},\dots$

$P_n(x)$ är ett polynom av grad n beroende på ${\lambda}_n$

sekvensen är ortogonal med viktfunktionen $P_{0},P_{1},P_{2},\dots$ $W(x)$

Ortogonalitetsintervallet beror på rötterna av polynomet Q , och roten L är inom ortogonalitetsintervallet

Tal och polynom kan erhållas från formler $\lambda_n$ $P_n(x)$

{\lambda}_n = - n \left( \frac{n-1}{2} Q'' + L' \right)

P_{n}(x)={\frac {1}{e_{n}\,W(x)}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\ vänster(W(x)[Q(x)]^{n}\höger)

Rodrigues formel .

En differentialekvation har icke-triviala lösningar endast om ett av följande villkor är uppfyllt. I alla dessa fall, när man ändrar skalan och/eller ändrar definitionsdomänen och väljer normaliseringsmetoden, reduceras lösningspolynomen till en begränsad uppsättning klasser, som kallas klassiska ortogonala polynom

1. Jacobilika polynom Q är ett polynom av andra ordningen, L är av första ordningen. Rötterna till Q är distinkta och verkliga, roten till L ligger strikt mellan Q :s rötter . De första koefficienterna Q och L har samma tecken. Med hjälp av en linjär transformation reduceras ekvationen till med ett ortogonalitetsintervall . Lösningarna är Jacobi polynom eller deras speciella fall , Gegenbauer , Legendre eller Chebyshev polynom av båda typerna .

Q(x)=1-x^2

[-1,1]

P_n^{(\alpha, \beta)}(x)

C_n^{(\alpha)}(x)

P_n(x)

T_{n}(x)

U_{n}(x)

2. Laguerre-liknande polynom Q och L är första ordningens polynom. Rötterna till Q och L är olika. De första koefficienterna Q och L har samma tecken om roten av L är mindre än roten av Q och vice versa. Minskar till och intervallet för ortogonalitet . Lösningarna är generaliserade Laguerre-polynom eller deras speciella fall, Laguerre-polynom .

Q(x)=x

[0,\infty)

L_n^{(\alpha)}(x)

L_n(x)

3. Hermitiska polynom Q är en konstant som inte är noll, L är ett första ordningens polynom. De första koefficienterna Q och L har motsatt tecken. Minskar till och intervallet för ortogonalitet . Lösningarna är hermitpolynom .

Q(x)=1

(-\infty,\infty)

H_n(x)

Derivator av ortogonala polynom

Beteckna som den m -te derivatan av polynomet . Derivatan är ett gradpolynom och har följande egenskaper: $P_n^{m}(x)$ $P_n(x)$ $P_n^{m}(x)$ $nm$

ortogonalitet

För en given m är sekvensen av polynom ortogonal med viktfunktionen

P_m^{m}, P_{m+1}^{m}, P_{m+2}^{m}, \dots

W(x)[Q(x)]^m

Rodrigues formel

P_n^{m} = \frac{1}{e_nW(x)[Q(x)]^m} \ \frac{d^{nm}}{dx^{nm}}\left(W(x)[ Q(x)]^m\höger)

differentialekvation

{Q(x)}\,y'' + (m\,Q'(x)+L(x))\,y' + [{\lambda}_n-{\lambda}_m]\ y = 0

, var

y(x)=P_n^{m}(x)

differentialekvation av det andra slaget

(R(x)[Q(x)]^m\ y')' + [\lambda_n-\lambda_m]W(x)[Q(x)]^{m}\ y = 0

, var

y(x)=P_n^{m}(x)

återfallsrelationer (för enkelhetens skull, koefficienterna a , b och c om indexen n och m )

P_{n}^{m}(x)=aP_{n+1}^{m+1}(x)+bP_{n}^{m+1}(x)+cP_{n-1 }^{m+1}(x),

P_{n}^{m}(x)=(ax+b)P_{n}^{m+1}(x)+cP_{n-1}^{m+1}(x),

Q(x)P_{n}^{m+1}(x)=(ax+b)P_{n}^{m}(x)+cP_{n-1}^{m}(x ).

Klassiska ortogonala polynom

De klassiska ortogonala polynomen, som härrör från differentialekvationen som beskrivs ovan, har många viktiga tillämpningar inom områden som matematisk fysik, numeriska metoder och många andra. Deras definitioner och huvudegenskaper ges nedan.

Jacobi polynom

Jacobipolynom betecknas , där parametrarna och reella tal är större än −1. Om och inte är lika, är polynomen inte längre symmetriska med avseende på punkten . $P_n^{(\alpha, \beta)}(x)$ $\alfa$ $\beta$ $\alfa$ $\beta$ $x=0$

Viktfunktion på ortogonalitetsintervallet $W(x)=(1-x)^\alfa(1+x)^\beta$ $[-1,1]$

Differentialekvationer

(1-x^2)\,y'' + (\beta-\alpha-[\alpha+\beta+2]\,x)\,y' + {\lambda}\,y = 0

Egenvärden

\lambda_n = n(n+1+\alfa+\beta)

Återkommande formel

P_{n+1}(x)=(A_{n}\,x+B_{n})\,P_{n}(x)-C_{n}\,P_{n-1}( x),

var

A_{n}={\frac {(2n+1+\alpha +\beta )(2n+2+\alpha +\beta )}{2(n+1)(n+1+\alpha + \beta )}},

B_{n}={\frac {({\alpha }^{2}-{\beta }^{2})(2n+1+\alpha +\beta )}{2(n+1) (2n+\alpha +\beta )(n+1+\alpha +\beta )}},

C_{n}={\frac {(n+\alpha )(n+\beta )(2n+2+\alpha +\beta )}{(n+1)(n+1+\alpha +\beta )(2n+\alpha +\beta )}}

Normalisering

P_n^{(\alpha, \beta)}(1)=\frac{\Gamma(n+1+\alpha)}{n!\,\Gamma(1+\alpha)}, \qquad h_n=\frac {2^{\alpha+\beta+1}\,\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!1)\,\Gamma(n\!+\!\beta\!+\!1 )} {n!(2n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\!1)\Gamma(n\!+\!\alpha\!+\!\beta\!+\ !1)}, \qquad k_n=\frac{\Gamma(2n+1+\alpha+\beta)}{n!\,2^n\,\Gamma(n+1+\alpha+\beta)}, \ qquad e_n=(-2)^n\,n!

Gegenbauer polynom

Gegenbauer-polynom betecknas med , där parametern är ett reellt tal större än −1/2. Det härleds från Jacobi polynom för lika parametrar och $C_n^{(\alpha)}(x)$ $\alfa$ $\alfa$ $\beta$

$C_n^{(\alpha)}(x) = \frac{\Gamma(2\alpha\!+\!n)\,\Gamma(\alpha\!+\!1/2)} {\Gamma(2) \alpha)\,\Gamma(\alpha\!+\!n\!+\!1/2)}\! \P_n^{(\alpha-1/2, \alpha-1/2)}.$

De återstående Jacobi-liknande polynomen är ett specialfall av Gegenbauer-polynomen med en vald parameter och motsvarande normalisering. $\alfa$

Viktfunktion på ortogonalitetsintervallet $W(x)=(1-x^2)^{\alpha-1/2}$ $[-1,1]$

Differentialekvationer

(1-x^2)\,y'' - (2\alpha+1)\,x\,\,y' + {\lambda}\,y = 0

Egenvärden

\lambda_n = n(n+2\alfa)

Återkommande formel

(n+1)\,C_{n+1}^{(\alpha )}(x)=2(n+\alpha )x\,C_{n}^{(\alpha )}(x) -(n+2\alfa -1)\,C_{n-1}^{(\alpha )}(x)

Normalisering

C_{n}^{(\alpha )}(1)={\frac {\Gamma (n+2\alpha )}{n!\,\Gamma (2\alpha )))

\alpha\ne0,\qquad

h_n=\frac{\pi\,2^{1-2\alpha}\Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)(\Gamma(\alpha))^2}, \qquad k_n=\frac{\Gamma(2n+2\alpha)\Gamma(\frac{1}{2}+\alpha)}{n!\,2^n\,\Gamma(2\alpha)\Gamma( n+\frac{1}{2}+\alpha)}, \qquad e_n = \frac{(-2)^n\,n!\,\Gamma(2\alpha)\,\Gamma(n+\frac{ 1}{2}+\alpha)} {\Gamma(n+2\alpha)\Gamma(\alpha+\frac{1}{2})}

Övriga fastigheter

C_n^{(\alpha+1)}(x) = \frac{1}{2\alpha}\! \ \frac{d}{dx}C_{n+1}^{(\alpha)}(x)

Legendre polynom

Legendre polynom betecknas och är ett specialfall av Gegenbauer polynom med parameter $P_n(x)$ $\alpha=1/2$

$P_{n}(x)=C_{n}^{(1/2)}(x).$

Viktfunktion på ortogonalitetsintervallet $W(x)=1$ $[-1,1]$

Differentialekvationer

(1-x^2)\,y'' - 2x\,y' + {\lambda}\,y = 0, \qquad ([1-x^2]\,y')' + \lambda\, y=0

Egenvärden

\lambda_n = n(n+1)

Återkommande formel

(n+1)\,P_{n+1}(x)=(2n+1)x\,P_{n}(x)-n\,P_{n-1}(x)

Normalisering

P_n(1)=1, \qquad h_n=\frac{2}{2n+1}, \qquad k_n=\frac{(2n)!}{2^n\,(n!)^2}, \qquad e_n=(-2)^n\,n!

De första polynomen

P_{0}(x)=1;

P_{1}(x)=x;

P_2(x)=(3x^2-1) / 2;

P_3(x)=(5x^3-3x) / 2;

P_4(x)=(35x^4-30x^2+3) / 8;

Chebyshev polynom

Chebyshevpolynomet används ofta för att approximera funktioner som ett gradpolynom som avviker minst från noll över intervallet $T_{n}(x)$ $n$ $[-1,1]$

$T_{n}(x)=\cos(n\,arccos(x)).$

Är ett specialfall av det normaliserade Gegenbauer-polynomet för parametern $\alfa \till 0$

$T_{n}(x)=\lim _{\alpha \to 0}n\,\Gamma (\alpha )\,C_{n}^{(\alpha )}.$

Viktfunktion på ortogonalitetsintervallet $W(x)=(1-x^2)^{-1/2}$ $[-1,1]$

Differentialekvation

(1-x^2)\,y'' - x\,y' + {\lambda}\,y = 0

Egenvärden

\lambda_n = n^2

Återkommande formel

T_{n+1}(x)=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x)

Normalisering

T_n(1)=1, \qquad h_n=\left\{ \begin{matrix} \pi &:~n=0 \\ \pi/2 &:~n\ne 0 \end{matris}\höger. ,\qquad k_n = 2^{n-1}, \qquad e_n=(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+1/2)}{\sqrt{\pi))

Chebyshev-polynomet av det andra slaget karakteriseras som ett polynom, vars integral av absolutvärdet avviker minst av alla från noll i intervallet $U_{n}(x)$ $[-1, +1]$

$U_{n}={\frac {1}{n+1}}\,T_{n+1}'$

Viktfunktion på ortogonalitetsintervallet $W(x)=(1-x^2)^{1/2}$ $[-1,1]$
Differentialekvation

(1-x^2)\,y'' - 3x\,y' + {\lambda}\,y = 0

Normalisering

U_n(1)=n+1, \qquad h_n=\pi / 2, \qquad k_n = 2^n, \qquad e_n=2(-2)^n\,\frac{\Gamma(n+3/2 )}{(n+1)\,\sqrt{\pi}}

Laguerre polynom

Associerade eller generaliserade Laguerre-polynom betecknas där parametern är ett reellt tal större än -1. För generaliserade polynom reduceras till vanliga Laguerre-polynom $L_n^{(\alpha)}(x)$ $\alfa$ $\alfa = 0$

$L_{n}(x)=L_{n}^{(0)}(x).$

Viktfunktion på ortogonalitetsintervallet $W(x)=x^{\alpha}e^{-x}$ $[0,\infty)$

Differentialekvationer

x\,y''+(\alpha +1-x)\,y'+{\lambda }\,y=0\,\qquad (x^{\alpha +1}\,e^{ -x}\,y')'+{\lambda }\,x^{\alpha }\,e^{-x}\,y=0

Egenvärden

\lambda_n = n

Återkommande formel

(n+1)\,L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=(2n+1+\alpha -x)\,L_{n}^{(\alpha )} (x)-(n+\alpha )\,L_{n-1}^{(\alpha )}(x)

Normalisering

k_n=\frac{(-1)^n}{n!}, \qquad h_n=\frac{\Gamma(n+\alpha+1)}{n!}, \qquad e_n=n!

Övriga fastigheter

L_n^{(\alpha+1)}(x) = - \frac{d}{dx}L_{n+1}^{(\alpha)}(x)

Hermitpolynom

Viktfunktion på ortogonalitetsintervallet $W(x)=e^{-x^2}$ $[-\infty,\infty]$

Differentialekvationer

y''-2xy'+{\lambda }\,y=0\,\qquad (e^{-x^{2}}\,y')'+e^{-x^{2} }\,\lambda \,y=0

Egenvärden

\lambda_n = 2n

Återkommande formel

H_{n+1}(x)=2x\,H_{n}(x)-2n\,H_{n-1}(x)

Normalisering

k_n = 2^n, \qquad h_n=2^n\,n!\,\sqrt{\pi}, \qquad e_n=(-1)^n

De första polynomen

H_{0}(x)=1

H_{1}(x)=2x

H_{2}(x)=4x^{2}-2

H_{3}(x)=8x^{3}-12x

H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12

Konstruktion av ortogonala polynom

Gram-Schmidt ortogonaliseringsprocess

Ett system av ortogonala polynom kan konstrueras genom att tillämpa Gram-Schmidt-processen på ett system av polynom enligt följande. Låt oss definiera en projektor som $f_1, f_2, \ldots, f_k$ $g_k(x)=x^k$

\mathrm{proj}_{f}\,(g) = {\langle f, g\rangle\over\langle f, f\rangle}f = { \int_{x_1}^{x_2} f(x) g (x) W(x) \; dx \över \int_{x_1}^{x_2} (f(x))^2 W(x) \; dx} f(x)

sedan beräknas de ortogonala polynomen successivt enligt schemat

\begin{align} f_1 & = g_1, \\ f_2 & = g_2-\mathrm{proj}_{f_1}\,(g_2), \\ f_3 & = g_3-\mathrm{proj}_{f_1}\, (g_3)-\mathrm{proj}_{f_2}\,(g_3), \\ & {}\ \ \vdots \\ f_k & = g_k-\sum_{j=1}^{k-1}\mathrm {proj}_{f_j}\,(g_k). \end{align}

Denna algoritm tillhör numeriskt instabila algoritmer. Vid beräkning av expansionskoefficienterna ackumuleras avrundningsfel och numeriska integrationsfel med ökande polynomtal.

Efter ögonblick av viktfunktionen

Viktfunktionen som definieras på intervallet bestämmer unikt systemet av ortogonala polynom upp till en konstant faktor. Ange med siffror $w(x)$ $\left[a;b\right]$ $\{p_n(x)\}_{n=0}^{\infty}$

\mu_n=\int_a^b{w(x)x^ndx}

moment av viktfunktionen, då kan polynomet representeras som: $p_n(x)$

p_n(x) = \det\left[ \begin{matrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_ {n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \\ 1 & x & x^2 & \cdots & x^n \end{matrix} \right]

Komplexiteten för att beräkna ortogonala polynom bestäms av komplexiteten i att beräkna matrisdeterminanten . Befintliga algoritmiska implementeringar av beräkningen kräver ett minimum av operationer. $O(n^{3})$

Bevis

Låt oss bevisa att polynomet som definieras på detta sätt är ortogonalt mot alla polynom med grad mindre än n . Överväg att den skalära produkten är på för . $p_n(x)$ $p_n(x)$ $x^{k}$ $k<n$

\begin{align} \int_\mathbb{R} x^k p_n(x)\,d\mu & {} = \int_\mathbb{R} x^k \det\left[ \begin{matrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{ n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_{n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \ \ 1 & x & x^2 & \cdots & x^n \end{matrix} \right] \,d\mu \\ \\ & {} = \int_\mathbb{R} \det\left[ \begin {matris} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \ cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_{n+1} & \cdots & \mu_{ 2n-1} \\ x^k & x^{k+1} & x^{k+2} & \cdots & x^{k+n} \end{matris} \right] \,d\mu \ \ \\ & {} = \det\left[ \begin{matrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+ 1 } \\ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \ mu_{n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \\ \displaystyle \int_\mathbb{R} x^k \, d\mu & \displaystyle \int_\mathbb{R} x^{k+1} \, d\mu & \displaystyle \int_\mathbb{R } x^{k+2} \, d\mu & \cdots & \displaystyle \int_\mathbb{R} x^{k+n} \, d\mu \end{matrix} \right] \\ \\ & {} = \det \left[ \begin{matrix} \mu_0 & \mu_1 & \mu_2 & \cdots & \mu_n \\ \mu_1 & \mu_2 & \mu_3 & \cdots & \mu_{n+1} \ \ \mu_2 & \mu_3 & \mu_4 & \cdots & \mu_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \mu_{n-1} & \mu_n & \mu_{ n+1} & \cdots & \mu_{2n-1} \\ \mu_k & \mu_{k+1} & \mu_{k+2} & \cdots & \mu_{k+n} \end{matris } \right] \\ \\ & {} = 0. \end{align}

Eftersom matrisen har två matchande rader för . $k<n$

Genom återkommande formler

Om vi väljer normaliseringen av polynomet på ett sådant sätt att koefficienten för huvudtermen är lika med en, kan återkommande relationen skrivas om i följande form: $p_n(x)$ $k_n$

{p_{n+1}(x)\ =\ (x-\alpha_n)\ p_n(x)\ -\ \gamma_n\ p_{n-1}(x)},

var

\alpha_n = \frac{\langle x p_n, p_n\rangle}{\langle p_n, p_n\rangle}, \qquad \gamma_n = \frac{\langle x p_n, p_{n-1}\rangle}{\langle p_{n-1}, p_{n-1}\rangle}

Tillämpningar av ortogonala polynom

Ortogonala polynom används för att konstruera exakta kvadraturformler

$\int\limits_{\Omega} f(x) w(x) dx \approx \sum\limits_{i=1}^{n} w_i f(x_i),$

var och är noderna och vikterna för kvadraturformeln. Kvadraturformeln är exakt för alla polynom upp till och med graden . I det här fallet är noderna rötterna till det n :e polynomet från sekvensen av polynom som är ortogonala med viktfunktionen . Vikterna är beräknade från Christoffel-Darboux formel. $x_{i}$ $w_{i}$ $f(x)$ $2n-1$ $x_{i}$ $p_0(x),p_1(x), ...$ $w(x)$ $w_{i}$

Dessutom används Chebyshev-polynom av den första och andra typen ofta för att approximera funktioner. $T_{n}(x)$ $U_{n}(x)$

Anteckningar

Länkar

Gabor Szego. Ortogonala polynom (obestämda) . - Colloquium Publications - American Mathematical Society, 1939. - ISBN 0-8218-1023-5 .
Dunham Jackson. Fourierserier och ortogonala polynom . - New York: Dover, 1941, 2004. - ISBN 0-486-43808-2 .
Refaat El Attar. Specialfunktioner och ortogonala polynom . — Lulu Press, Morrisville NC 27560, 2006. — ISBN 1-4116-6690-9 .
Theodore Seio Chihara. En introduktion till ortogonala polynom . - Gordon and Breach, New York, 1978. - ISBN 0-677-04150-0 .

För vidare läsning

Ismail, Mourad EH Klassiska och kvantortogonala polynom i en variabel . - Cambridge: Cambridge University Press , 2005. - ISBN 0-521-78201-5 .
Vilmos Totik Ortogonala polynom (obestämda) // Surveys in Approximation Theory. - 2005. - T. 1 . - S. 70-125 .
Bateman G., Erdeyi A. . Besselfunktioner, paraboliska cylinderfunktioner, ortogonala polynom // Högre transcendentala funktioner. T. 2. / Per. från engelska. N. Ya. Vilenkina. — M .: Nauka , 1966. — 296 sid.

Ortogonala polynom
Bessel polynom Gegenbauer polynom Kravchuk polynom Laguerre polynom Legendre polynom Polachek polynom Rogers polynom Zernike polynom Chebyshev polynom Charlier polynom Hermitpolynom Jacobi polynom