Plan

Planet är ett av de grundläggande begreppen inom geometri . I en systematisk presentation av geometri tas begreppet plan vanligtvis som ett av de initiala begreppen, vilket endast indirekt bestäms av geometrins axiom . I nära anslutning till planet är det vanligt att betrakta de därtill hörande punkter och linjer ; de introduceras också som regel som odefinierade begrepp, vars egenskaper specificeras axiomatiskt [1] .

Några karakteristiska egenskaper hos planet

Ett plan är en yta som helt innehåller varje linje som förbinder någon av dess punkter ;
Två plan är antingen parallella eller skär varandra i en rät linje.
En rät linje är antingen parallell med ett plan, eller skär den vid en punkt, eller är på ett plan.
Två linjer vinkelräta mot samma plan är parallella med varandra.
Två plan vinkelräta mot samma linje är parallella med varandra.

Planekvationer

Först funnen i A. K. Clairaut ( 1731 ).

Ekvationen för planet i segment, uppenbarligen, möttes av G. Lame ( 1816-1818 ) .

Normalekvationen introducerades av L. O. Hesse ( 1861 ).

Ett plan är en första ordningens algebraisk yta : i ett kartesiskt koordinatsystem kan ett plan definieras av en ekvation av första graden.

Allmän ekvation (komplett) för planet

Axe+By+Cz+D=0\qquad (1)

där och är dessutom konstanter och är inte lika med noll samtidigt; i vektorform : $A,B,C$ $D$ $A,B$ $C$

({\mathbf {r)),{\mathbf {N)))+D=0

där är radievektorn för punkten , vektorn är vinkelrät mot planet (normalvektor). Kosinus för vektorriktning : $\mathbf {r}$ $M(x,y,z)$ ${\mathbf {N}}=(A,B,C)$ ${\mathbf {N}}$

\cos \alpha ={\frac {A}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))},

\cos \beta ={\frac {B}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))},

\cos \gamma ={\frac {C}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))}.

Om en av koefficienterna i planekvationen är noll, sägs ekvationen vara ofullständig . För , planet passerar genom ursprunget för koordinater , för (eller , ) planet är parallellt med axeln (respektive , eller ). För ( , eller ) är planet parallellt med planet ( eller , respektive ). $D=0$ $A=0$ $B=0$ $C=0$ $Oxe$ $Oj$ $Oz$ $A=B=0$ $A=C=0$ $B=C=0$ $Oxy$ $Oxz$ $Oyz$

Ekvation för ett plan i segment:

{\frac {x}{a}}+{\frac {y}{b}}+{\frac {z}{c}}=1,

där , , är segmenten avskurna av planet på axlarna och . $a=-D/A$ $b=-D/B$ $c=-D/C$ $Ox,Oy$ $Oz$

Ekvation för ett plan som går genom en punkt vinkelrät mot normalvektorn : $M(x_{0},y_{0},z_{0})$ ${\mathbf {N}}(A,B,C)$

A(x-x_{0})+B(y-y_{0})+C(z-z_{0})=0;

i vektorform:

(({\mathbf {r}}-{\mathbf {r_{0}}}),{\mathbf {N}})=0.

Ekvation för ett plan som passerar genom tre givna punkter som inte ligger på en rät linje : $M(x_{i},y_{i},z_{i})$

(({\mathbf {r}}-{\mathbf {r_{1}}}),({\mathbf {r_{2}}}-{\mathbf {r_{1}}}),({\mathbf {r_{3}}}-{\mathbf {r_{1}}}))=0

(blandad produkt av vektorer), annars

\left|{\begin{matrix}x-x_{1}&y-y_{1}&z-z_{1}\\x_{2}-x_{1}&y_{2}-y_{1}&z_{2 }-z_{1}\\x_{3}-x_{1}&y_{3}-y_{1}&z_{3}-z_{1}\\\end{matris}}\right|=0.

Normal (normaliserad) planekvation

x\cos \alpha +y\cos \beta +z\cos \gamma -p=0\qquad (2)

i vektorform:

({\mathbf {r)),{\mathbf {N^{0}}}){\mathbf {-p}}=0,

där - enhetsvektor, - avstånd P. från origo. Ekvation (2) kan erhållas från ekvation (1) genom att multiplicera med normaliseringsfaktorn ${\mathbf {N^{0))}$ $sid$

\mu =\pm {\frac {1}{{\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))}

(tecken och är motsatta). $\mu$ $D$

Definition av punkt och normalvektor

I det tredimensionella rummet är ett av de viktigaste sätten att definiera ett plan att specificera en punkt på planet och normalvektorn till den.

Låt oss säga är radievektorn för en punkt definierad på planet, och låt oss säga att n är en vektor som inte är noll vinkelrät mot planet (normal). Tanken är att en punkt med radievektor r är på planet om och endast om vektorn från till är vinkelrät mot n . $r_{0}$ $P_0$ $P$ $P_0$ $P$

Låt oss återgå till det faktum att två vektorer är vinkelräta om och endast om deras punktprodukt är lika med noll. Det följer att planet vi behöver kan uttryckas som mängden av alla punkter r så att:

\mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0})=0.

(Här betyder punkten punktprodukt, inte multiplikation.)

När vi utökar uttrycket får vi:

n_{x}(x-x_{0})+n_{y}(y-y_{0})+n_{z}(z-z_{0})=0,

vilket är den välbekanta ekvationen för planet.

Till exempel: Givet: en punkt på planet och en normalvektor . $P(2,6,-3)$ $N(9,5,2)$

Planekvationen skrivs så här:

$9(x-2)+5(y-6)+2(z+3)=0$

$-18+9x-30+5y+6+2z=0$

$9x+5y+2z-42=0$

Avstånd från en punkt till ett plan

Avståndet från en punkt till ett plan är det minsta av avstånden mellan den punkten och punkterna på planet. Det är känt att avståndet från en punkt till ett plan är lika med längden av den vinkelräta som tappas från denna punkt till planet.

Avvikelse för en punkt från planet som ges av den normaliserade ekvationen $M_{1}(x_{1},y_{1},z_{1})$ $(2)$

\delta =x_{1}\cos \alpha +y_{1}\cos \beta +z_{1}\cos \gamma -p;

\delta>0

, om och ursprunget ligger på motsatta sidor av planet, annars . Avståndet från en punkt till ett plan är

M_{1}

\delta<0

|\delta |.

Avståndet från punkten till planet som ges av ekvationen beräknas med formeln: $\rho$ $M_{0}(x_{0},y_{0},z_{0})$ $axe+by+cz+d=0$

\rho ={\frac {\mid ax_{0}+by_{0}+cz_{0}+d\mid }{{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2} }}}}

Avstånd mellan parallella plan

Avståndet mellan planen som ges av ekvationerna och : $Axe+By+Cz+D_{1}=0$ $Ax+By+Cz+D_{2}=0$

d={\frac {\mid D_{2}-D_{1}\mid }({\sqrt {A^{2}+B^{2}+C^{2))))}

Avståndet mellan planen som ges av ekvationerna och : ${\bar n}({\bar r}-{\bar {r_{1))})=0$ ${\bar n}({\bar r}-{\bar {r_{2))})=0$

d={\frac {\mid [{\bar r}_{2}-{\bar r}_{1},{\bar n}]\mid }{\mid {\bar n}\mid ))

Relaterade begrepp

Vinkel mellan två plan. Om P.-ekvationerna ges i formen (1), då

\cos \varphi ={\frac {A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}}{{\sqrt {(A_{1}^{2} +B_{1}^{2}+C_{1}^{2})(A_{2}^{2}+B_{2}^{2}+C_{2}^{2})}}} };

Om i vektorform, då

\cos \varphi ={\frac {({\mathbf {N_{1}}},{\mathbf {N_{2}}})}{|{\mathbf {N_{1}}}||{\mathbf {N_{2}}}|}}.

Planen är parallella om

{\frac {A_{1}}{A_{2}}}={\frac {B_{1}}{B_{2}}}={\frac {C_{1}}{C_{2}}}

eller (korsprodukt)

[{\mathbf {N_{1}}},{\mathbf {N_{2}}}]=0.

Planen är vinkelräta om

A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}+C_{1}C_{2}=0

eller . (Skalär produkt)

({\mathbf {N_{1}}}),{\mathbf {N_{2}}})=0

Planbunt - alla plan som passerar genom skärningslinjen mellan två plan. Ekvationen för en bunt av plan, det vill säga varje plan som passerar genom skärningslinjen mellan två plan, har formen [2] :222 :

\alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z +D_{2})=0,

där och är alla tal som inte samtidigt är lika med noll. Ekvationen för denna linje kan hittas från strålekvationen genom att ersätta α=1, β=0 och α=0, β=1.

\alfa

\beta

Ett gäng plan - alla plan passerar genom skärningspunkten mellan tre plan [2] :224 . Ekvationen för ett gäng plan, det vill säga varje plan som passerar genom skärningspunkten för tre plan, har formen:

\alpha (A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_{1})+\beta (A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z +D_{2})+\gamma (A_{3}x+B_{3}y+C_{3}z+D_{3})=0,

där , och är alla tal som inte är lika med noll samtidigt. Denna punkt i sig kan hittas från buntsekvationen genom att ersätta α=1, β=0, γ=0; α=0, β=1, γ=0 och α=0, β=0, γ=1 och lösa det resulterande ekvationssystemet.

\alfa

\beta

\gamma

Variationer och generaliseringar

Plan i icke-euklidiskt utrymme

Planmetriken behöver inte vara euklidisk . Beroende på de introducerade förekomstförhållandena av pekar och linjer, särskiljs projektiva , affina , hyperboliska och elliptiska plan [1] .

Flerdimensionella plan

Låt ett n-dimensionellt affint-ändligt dimensionellt utrymme ges över fältet av reella tal. Den har ett rektangulärt koordinatsystem . Ett m-plan är en uppsättning punkter vars radievektorer uppfyller följande relation — en matris vars kolumner bildar det styrande delrummet i planet, — en vektor av variabler, — en radievektor för en av planets punkter. Det specificerade förhållandet kan översättas från en matris-vektorform till en vektor etta: - vektorekvationen för m-planet. Vektorerna bildar ett vägledande delrum. Två m-plan kallas parallella om deras styrutrymmen är lika och . $K^{n}(V,P)$ $O,{\vec {e_{1}}},...,{\vec {e_{n}}}$ $\alfa$ $\alpha =\{x\mid x=A_{nm}{\vec {t_{m}}}+{\vec {d}}\}.$ $A_{{nm}}$ ${\vec {t}}$ ${\vec {d}}$

$x={\vec {a_{1}}}t_{1}+\ldots +{\vec {a_{m}}}t_{m}+d,{\vec {a_{i}}} \i V$
${\vec {a_{i))}$ $\alfa ,\beta$ $\exists x\i \alpha :x\notin \beta$

Ett (n-1)-plan i n-dimensionellt utrymme kallas ett hyperplan eller helt enkelt ett plan . För ett hyperplan finns det en generell ekvation för ett plan. Låt vara normalvektorn för planet, vara vektorn för variabler, vara radievektorn för en punkt som hör till planet, då: vara den allmänna ekvationen för planet. Med en matris av riktningsvektorer kan ekvationen skrivas på följande sätt: , eller: . Vinkeln mellan plan är den minsta vinkeln mellan deras normalvektorer. ${\vec {n}}$ ${\vec {r}}=(x^{1},...,x^{n})$ ${\vec {r_{0))}$
$({\vec {r}}-{\vec {r_{0}}},{\vec {n}})=0$
$\det({\vec {r}}-{\vec {r_{0}}}|A_{n,n-1})=0$
${\begin{vmatrix}x^{1}-x_{{0}}^{1}&a_{{1}}^{1}&a_{{2}}^{1}&...&a_{{n -1}}^{1}\\x^{2}-x_{{0}}^{2}&a_{{1}}^{2}&a_{{2}}^{1}&... &a_{{n-1}}^{2}\\...&...&...&...\\x^{n}-x_{{0}}^{n}&a_{{ 1}}^{n}&a_{{2}}^{n}&...&a_{{n-1}}^{n}\end{vmatrix}}=0$

Ett exempel på ett 1-plan i tredimensionellt rum (n=3) är en rät linje . Dess vektorekvation har formen: . I fallet n = 2 är linjen ett hyperplan. $\alpha =\{a_{x},a_{y},a_{z}\}t+\{b_{x},b_{y},b_{z}\}$

Ett hyperplan i tredimensionellt rum motsvarar det vanliga konceptet med ett plan.

Se även

Anteckningar

↑ 1 2 Encyclopedia of Mathematics, 1984 .
↑ 1 2 Gusyatnikov P.B., Reznichenko S.V. Vektoralgebra i exempel och problem . - M . : Högre skola , 1985. - 232 sid.

Litteratur

Ilyin V. A., Poznyak E. G. Analytisk geometri. - M. : Fizmatlit, 2002. - 240 sid.
Plane // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer). - M .: Soviet Encyclopedia , 1984. - T. 4. - S. 318-319.

Länkar

Wikimedia Commons har media relaterade till Plane

Ordböcker och uppslagsverk	Stor norsk Stor ryss Skrivbord