Dödningsfält

Killing-fältet (i relativitetsteorin, ofta bara Killing-vektorn ) är ett vektorhastighetsfält av en (lokal) enparametersgrupp av rörelser av ett Riemann- eller pseudo-Riemann-manifold .

Med andra ord, flödet som genereras av Killing-vektorfältet definierar en kontinuerlig enparametersfamilj av rörelser i grenröret, det vill säga transformationer under vilka den metriska tensorn förblir invariant.

I synnerhet, om den metriska tensorn i något system är oberoende av en av koordinaterna , kommer vektorfältet längs den koordinaten att vara ett dödande fält. $g_{\mu \nu }$ $x^{\mu}$ ${\hat {e}}_{\mu }(x)\equiv \partial _{\mu }$

Dödande vektorer i fysiken indikerar symmetrin hos en fysisk modell och hjälper till att hitta bevarade kvantiteter som energi , momentum eller spinn . I relativitetsteorin , till exempel, om den metriska tensorn inte är beroende av tid, så finns det i rumtid en tidsliknande dödande vektor, med vilken en bevarad kvantitet är associerad - gravitationsfältets energi.

Namnet ges för att hedra den tyske matematikern Wilhelm Killing , som upptäckte Lie-grupper och många av deras egenskaper parallellt med Sophus Lie .

Definition

Ett vektorfält på kallas ett dödande fält om det uppfyller följande ekvation: $X$ $M$

{\mathcal {L}}_{X}g=0,

där är Lie-derivatan med avseende på , a är Riemann-måttet på . ${\mathcal {L}}_{X}$ $X$ $g$ $M$

Denna ekvation kan skrivas om i termer av Levi-Civita-kopplingen :

g(\nabla _{Y}X,Z)+g(Y,\nabla _{Z}X)=0

för alla fält och . $Y$ $Z$

När det gäller lokala koordinater:

\nabla _{i}X_{j}+\nabla _{j}X_{i}=0.

Egenskaper

Ett vektorfält är ett dödande fält om och endast om begränsningen till någon geodetisk är ett Jacobi-fält . $X$ $X$
För att specificera ett Killing-fält räcker det att specificera dess värde, plus värdena för alla dess ( kovarianta ) första ordningens derivator, på bara en punkt. Från denna punkt kan vektorfältet utökas till hela grenröret.
Lie-parentesen , eller kommutatorn, av två Killing-fält ger återigen ett Killing-fält. Sålunda bildar Killing-fälten en subalgebra av den oändligt dimensionella Lie-algebra av alla (differentierbara) vektorfält på mångfalden . Denna subalgebra är Lie-algebra för gruppen av rörelser i grenröret.
En linjär kombination av Killing-fält är också ett Killing-fält.
- Illustration av tillägget av Killing fields på ett plan. Rotationsfält kring origo + fält för parallell translation längs y -axeln = rotationsfält kring ett centrum förskjutet från origo längs x -axeln : Alla tre fälten är rörelsefält för planet.
Om Ricci-krökningen för ett kompakt grenrör är negativ, så finns det inga icke-triviala (det vill säga inte identiskt noll) dödande fält på den.
Om sektionskrökningen för ett kompakt grenrör är positiv och dimensionen är jämn, måste Killing-fältet ha noll.

Exempel

Det finns tre linjärt oberoende dödande fält på det euklidiska planet:

{\displaystyle \xi _{1}=\mathbf {e} _{x))

... _

{\displaystyle \xi _{2}=\mathbf {e} _{y))

\xi _{3}=-x\mathbf {e} _{y}+y\mathbf {e} _{x}.

De första två dödande fälten motsvarar enparameters undergrupper av skift längs axlarna och , och det sista, en undergrupp av rotationer runt origo. Olika kombinationer av dessa tre undergrupper tar ut planets möjliga rörelser .

x

y

Det finns sex linjärt oberoende dödande fält i tredimensionell euklidisk rymd : $\mathbb {R} ^{3}$

{\displaystyle \xi _{x}=\mathbf {e} _{x))

... _

{\displaystyle \xi _{y}=\mathbf {e} _{y))

\xi _{z}=\mathbf {e} _{z},

\zeta _{x}=-y\mathbf {e} _{z}+z\mathbf {e} _{y},

\zeta _{y}=-z\mathbf {e} _{x}+x\mathbf {e} _{z},

\zeta _{z}=-x\mathbf {e} _{y}+y\mathbf {e} _{x}.

De tre sista fälten , och är också dödande fält på sfären (detta blir uppenbart om vi anser att det är nedsänkt i tredimensionellt utrymme ). $\zeta _{x}$ $\zeta _{y}$ $\zeta _{z}$ ${\displaystyle \mathbf {S} ^{2))$
Den univalenta hyperboloiden som ges av ekvationen , nedsänkt i Minkowski-utrymmet med metrisk , har tre linjärt oberoende Killing-fält, liknande Killing-fälten på sfären: $x^{2}+y^{2}-z^{2}=1$ ${\displaystyle ds^{2}=dx^{2}+dy^{2}-dz^{2))$

\zeta _{x}=y\mathbf {e} _{z}+z\mathbf {e} _{y},

\zeta _{y}=z\mathbf {e} _{x}+x\mathbf {e} _{z},

\zeta _{z}=-x\mathbf {e} _{y}+y\mathbf {e} _{x}.

Variationer och generaliseringar

De konforma Killing-fälten definieras av formeln

{\mathcal {L}}_{X}g=\lambda g

för något skalärt . De härrör från enparameterfamiljer av konforma mappningar .

\lambda

Konforma tensor Dödande fält : symmetriska tensorfält så att symmetriseringen är noll. $T$ $\nabla T$
Det antisymmetriska Killing-Yano-tensorfältet , ofta representerat som "kvadratroten av det symmetriska Killing-tensorfältet". Symmetrin som beskrivs av Killing- och Killing-Yano-tensorerna finns i roterande Kerr-svarta hål , såväl som några av deras generaliseringar. Förekomsten av en sådan symmetri förklarar varför variablerna är separerade i rörelseekvationerna för klassisk och kvantrelativistisk mekanik : Hamilton-Jacobi , wave , Klein-Gordon , Dirac , etc. [1]
The Killing tensorfältet .

Anteckningar

↑ Alexey Borisovich Gaina . Kvantpartiklar i Einstein-Maxwell-fält/Kishinev. Shtiintsa. 1989.

Litteratur

Rashevsky P. K. Riemann geometri och tensoranalys - M .: Nauka, 1967.
Eisenhart L.P. Riemannsk geometri - M .: Izd-vo inostr. lit., 1948.
Xelgason S. Differentialgeometri och symmetriska utrymmen - M.: Mir, 1964.
Kobayashi Sh., Nomizu K. Fundamentals of differential geometry - M.: Nauka, 1981.