Elementordning

Ordningen för ett element i gruppteorin är det minsta positiva heltal så att -faldig gruppmultiplikation av ett givet element i sig själv ger ett neutralt element : $m$ $m$ $g\in G$

\underbrace {gg\dots g}_{{m}}=g^{m}=e

Med andra ord är antalet olika element i den cykliska undergruppen som genereras av detta element. Om det inte finns något sådant (eller, på motsvarande sätt, antalet element i en cyklisk undergrupp är oändligt), så sägs den ha oändlig ordning. Indikeras som eller . $m$ $m$ $g$ ${\mathrm {ord}}(g)$ $|g|$

Att studera ordningen för elementen i en grupp kan ge information om dess struktur. Flera djupa frågor om förhållandet mellan elementordning och gruppordning finns i olika Burnside-problem , av vilka några förblir öppna.

Grundläggande egenskaper

Ordningen för ett element är en om och endast om elementet är neutralt .

Om varje icke-neutralt element i sammanfaller med dess invers (det vill säga ), då är det abeliskt , eftersom . Det omvända är inte sant i allmänhet: till exempel är den (additiva) cykliska gruppen av heltal modulo 6 Abelian, men siffran 2 har ordning 3: $G$ $g^{2}=e$ ${\mathrm {ord}}(a)=2$ $G$ $ab=(ab)^{{-1}}=b^{{-1}}a^{{-1}}=ba$ $\mathbb{Z } _{6}$

2+2+2=6\ekvivalent 0{\pmod {6}}

För alla heltal gäller identiteten om och endast om delar . $k$ $g^{k}=e$ ${\mathrm {ord}}(g)$ $k$

Alla krafter i ett element av oändlig ordning har också oändlig ordning. Om den har en ändlig ordning, är ordningen lika med ordningen dividerat med den största gemensamma divisorn av talen och . Ordningen för det inversa elementet är densamma som ordningen för själva elementet ( ). $g$ $g^{k}$ $g$ ${\mathrm {ord}}(g)$ $k$ ${\mathrm {ord}}(g)={\mathrm {ord}}(g^{{-1}})$

Förhållande med gruppordning

Ordningen för alla element i gruppen delar ordningen i gruppen . Till exempel, i en symmetrisk grupp av sex element har det neutrala elementet (per definition) ordning 1, de tre elementen som är rötter av ordning 2 och ordning 3 har de återstående två elementen som är rötter till element av ordning 2: att är att alla ordningselement är divisorer av gruppens ordning. $S_{3}$ $e$ $e$

En partiell motsats är sant för ändliga grupper ( gruppteoretisk Cauchy-sats ): om ett primtal delar ordningen på gruppen , så finns det ett element för vilket . Påståendet gäller inte för sammansatta beställningar, så Klein fyra-gruppen innehåller inte ett element av ordning fyra. $sid$ $G$ $g\in G$ ${\mathrm {ord}}(g)=p$

Produktionsordning

I vilken grupp som helst . ${\mathrm {ord}}(ab)={\mathrm {ord}}(ba)$

Det finns ingen generell formel som relaterar produktens ordning till ordningen på faktorerna och . Det är möjligt att och , och har ändliga ordningar, medan produktens ordning är oändlig, är det också möjligt att och , och har oändlig ordning, medan ändlig. Ett exempel på det första fallet är i den symmetriska gruppen över heltal permutationer som ges av formlerna , då . Ett exempel på det andra fallet är permutationer i samma grupp vars produkt är ett neutralt element (en permutation som lämnar elementen på sina ställen). Om då kan det hävdas att det delar den minsta gemensamma multipeln av talen och . En konsekvens av detta faktum är att i en ändlig abelisk grupp delar ordningen på vilket element som helst upp den maximala ordningen för gruppens element. $ab$ $a$ $b$ $a$ $b$ $ab$ $a$ $b$ ${\mathrm {ord}}(ab)$ $a(x)=2-x, b(x)=1-x$ $ab(x)=x-1$ $a(x)=x+1, b(x)=x-1$ $ab(x)={\mathrm {id}}$ $ab=ba$ ${\mathrm {ord}}(ab)$ ${\mathrm {ord}}(a)$ ${\mathrm {ord}}(b)$

Räkna efter elementordning

För en given finit grupp av ordning , antalet element med ordning ( är en divisor ) är en multipel av , där är Euler-funktionen , vilket ger antalet positiva tal som inte överstiger och relativt prime till den. Till exempel, i fallet med , och det finns exakt två delar av ordning 3; detta uttalande ger dock ingen användbar information om element av ordning 2, eftersom , och mycket begränsad information om sammansatta tal, såsom , eftersom , och det finns noll element av ordning 6 i gruppen. $G$ $n$ $d$ $d$ $n$ $\varphi (d)$ $\varphi$ $d$ $S_{3}$ $\varphi(3)=2$ $\varphi(2)=1$ $d=6$ $\varphi(6)=2$ $S_{3}$

Samband med homomorfismer

Grupphomomorfismer tenderar att sänka ordningen på element. Om är en homomorfism, och är ett element av ändlig ordning, delar sedan . Om injektivt , då . Detta faktum kan användas för att bevisa frånvaron av en (injektiv) homomorfism mellan två givna grupper. (Till exempel finns det ingen icke-trivial homomorfism , eftersom alla tal utom noll i har ordning 5, och 5 inte delar någon av elementordningarna 1, 2 och 3. ) En annan följd är att konjugerade element har samma ordning . $f:G\till H$ $g\in G$ ${\mathrm {ord}}(f(g))$ ${\mathrm {ord}}(g)$ $f$ ${\mathrm {ord}}(f(g))={\mathrm {ord}}(g)$ $h:S_{3}\to \mathbb{Z } _{5}$ $\mathbb{Z } _{5}$ $S_{3}$

Litteratur

Kurosh A.G. Gruppteori. - Moskva: Nauka, 1967. - ISBN 5-8114-0616-9 .
Melnikov O. V., Remeslennikov V. N., Romankov V. A. . Kapitel II. Grupper // Allmän Algebra / Under det allmänna. ed. L. A. Skonyakova . - M . : Nauka , 1990. - T. 1. - S. 66-290. — 592 sid. — (Referens matematiskt bibliotek). — 30 000 exemplar. — ISBN 5-02-014426-6 .