Representativ funktionär

I kategoriteorin är en representerbar funktor en funktion  av en speciell typ från en godtycklig kategori till kategorin av mängder . På sätt och vis definierar sådana funktioner en representation av en kategori i termer av mängder och funktioner.

Definition

Låt C  vara en lokalt liten kategori , då finns det för vart och ett av dess objekt A Hom( A ,-) en funktor Hom , som skickar objekt X till mängderna Hom( A , X ).

En funktion F  : C → Mängd sägs vara representativ om den är naturligt isomorf till Hom( A ,-) för något objekt A i kategori C .

En kontravariant funktor G från C till Set , vanligtvis kallad en presheaf , är representabel om den är naturligt isomorf till den kontravarianta hom-funktorn Hom(-, A ) för något objekt A i kategori C .

Universella element

Enligt Yonedas lemma är de naturliga omvandlingarna av Hom( A ,-) till F i en-till-en överensstämmelse med elementen i F ( A ). För att få en representation av F behöver vi veta för vilken u ∈ F ( A ) den motsvarande naturliga transformationen är en isomorfism. Detta motiverar följande definition:

Ett universellt element i en funktion F  : C → Mängd  är ett par ( A , u ), där A  är ett objekt av C och u ∈ F ( A ), så att för vilket par som helst ( X , v ), v ∈ F ( X ) det finns en unik morfism f  : A → X så att ( Ff ) u = v .

Den naturliga omvandlingen som induceras av u ∈ F ( A ) är en isomorfism om och endast om ( A , u ) är ett universellt element. Därför hänvisas ofta funktiontorrepresentationer till som generiska medlemmar. Det följer av den universella egenskapen att representationen av funktionatorn är unik upp till en unik isomorfism (unikalitet följer dock också av fullständigheten av Yoneda-inbäddningen).

Exempel

• Betrakta en kontravariant funktion P  : Uppsättning → Uppsättning som skickar en uppsättning till sin booleska och en funktion för att ta hela förbilden av delmängden. För att representera en funktor behöver vi ett par ( A , u ) så att för varje mängd X är mängden Hom( X , A ) isomorf till P ( X ) via funktionen Φ X ( f ) = ( Pf ) u = f −1 ( u ). Ta A = {0,1}, u = {1}, motsvarande funktion från X till A  är den karakteristiska funktionen för mängden S .
• Att glömma funktorer i Set är ofta representativa. I synnerhet kommer en glömsk funktor att vara representerbar ( A , u ) om A  är ett fritt objekt över en singelton u .
  • Den glömska funktorn Grp → Set från kategorin av grupper kan representeras ( Z , 1).
  • Den glömska funktionen Ring → Set från kategorin ringar kan representeras ( Z [ x ], x ).
  • Den glömska funktorn Vect → Set från kategorin reella vektorrum är representabel ( R , 1).
  • Den glömska funktorn Top → Set från kategorin topologiska utrymmen kan representeras av ett topologiskt utrymme med ett element.

Anslutning med universella pilar och angränsande funktioner

De kategoriska definitionerna av de universella pil- och adjointfunktionerna kan uttryckas i termer av representativa funktioner.

Låt G  : D → C  vara en funktor och X  ett objekt av C . Då är ( A ,φ) en universalpil från X till G om och endast om ( A ,φ) är en representation av funktorn Hom C ( X , G -) från D till Set . Det följer att G har en vänsterdual F om och endast om Hom C ( X , G- ) är representabel för alla X i C. De dubbla påståendena är också sanna.

Litteratur

• S. McLane Kategorier för en arbetande matematiker, - M . : FIZMATLIT, 2004. - 352 s - ISBN 5-9221-0400-4 .