Kategoriteori

Kategoriteori är en gren av matematiken som studerar egenskaperna hos relationer mellan matematiska objekt som inte är beroende av objektens inre struktur.

Kategoriteori är central för modern matematik [1] , och har även funnit tillämpningar inom datavetenskap [2] , logik [3] och teoretisk fysik [4] [5] . Den moderna framställningen av algebraisk geometri och homologisk algebra bygger i huvudsak på begreppen kategoriteori. Generella kategoribegrepp används också aktivt i det funktionella programmeringsspråket Haskell [6] .

Definition

Kategori är: ${\mathcal {C}}$

objektklass ; _ $\mathrm {Ob} _{\mathcal {C))$
för varje par objekt ges en uppsättning morfismer (eller pilar) , och varje morfism motsvarar de enda och ; $A$ $B$ ${\mathrm {Hom}}_{{{\mathcal {C}}}}(A,B)$ $A$ $B$
för ett par morfismer och sammansättningen är definierad ; $f\in {\mathrm {Hom}}(A,B)$ $g\in {\mathrm {Hom}}(B,C)$ $g\circ f\in {\mathrm {Hom}}(A,C)$
för varje objekt anges identitetsmorfismen ; $A$ $\mathrm {id} _{A}\in \mathrm {Hom} (A,A)$

och två axiom är uppfyllda :

kompositionsoperationen är associativ : och $h\cirkel (g\cirkel f)=(h\cirkel g)\cirkel f$
identitetsmorfismen verkar trivialt: för $f\circ \mathrm {id} _{A}=\mathrm {id} _{B}\circ f=f$ $f\in {\mathrm {Hom}}(A,B)$

Liten kategori

En klass av objekt är inte nödvändigtvis en mängd i betydelsen axiomatisk mängdteori . En kategori där är en mängd och (mängden av alla morfismer i kategorin) är en mängd kallas liten . Dessutom är det möjligt (med en liten korrigering av definitionen) att överväga kategorier där morfismer mellan vilka två objekt som helst också bildar en klass eller till och med en större struktur [7] . I denna variant av definitionen sägs en kategori där morfismer mellan två fasta objekt bildar en mängd vara lokalt liten . ${\mathcal {C}}$ $\mathrm {Ob} _{\mathcal {C))$ $\mathrm {Hom} ({\mathcal {C}})$

Kategoriexempel

Set är en kategori av uppsättningar . Objekt i denna kategori är uppsättningar , morfismer är avbildningar av uppsättningar.
Grp är en kategori av grupper . Objekt är grupper, morfismer är mappningar som bevarar gruppstrukturen ( grupphomomorfismer ).
Vect K är kategorin av vektorrum över fältet K . Morfismer är linjära avbildningar .
Kategori av moduler .

Kategorier för andra algebraiska system definieras på liknande sätt .

Top är en kategori av topologiska utrymmen . Morfismer är kontinuerliga avbildningar .
För varje poset kan man konstruera en liten kategori vars objekt är elementen i mängden , och mellan elementen x och y finns det en unik morfism om och bara om x ≤ y (naturligtvis ska denna kategori särskiljas från kategorin av delvis beställda set!).
Met är en kategori vars objekt är metriska utrymmen och vars morfismer är korta mappningar .

Kommutativa diagram

Kommutativa diagram är standardsättet att beskriva kategoriteoretiska påståenden . Ett kommutativt diagram är en riktad graf med objekt vid dess hörn och morfismer som pilar , och resultatet av pilarnas sammansättning beror inte på den valda vägen. Till exempel kan kategoriteorins axiom (associativitet för sammansättning och identitetsmorfism-egenskap) skrivas med hjälp av diagram:

Dualitet

För en kategori kan du definiera en dubbel kategori , där: ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {C}}^{{op}}$

objekten matchar objekten i den ursprungliga kategorin;
morfismer erhålls genom att "vända pilarna": ${\mathrm {Hom}}_{{{\mathcal {C}}^{{op}}}}(B,A)\simeq {\mathrm {Hom}}_{{{\mathcal {C}}} }(A,B)$

Dualitetsprincipen säger att för varje påstående om kategoriteori är det möjligt att formulera ett dubbelt påstående med hjälp av omkastning av pilar, medan påståendets sanning inte ändras. Ofta betecknas ett dubbelbegrepp med samma term med prefixet co- (se exempel nedan).

Grundläggande definitioner och egenskaper

Isomorfism, endomorfism, automorfism

En morfism kallas en isomorfism om det finns en morfism sådan att och . Två objekt mellan vilka det finns en isomorfism sägs vara isomorfa . I synnerhet är identitetsmorfismen en isomorfism, så vilket objekt som helst är isomorft till sig självt. $f\in {\mathrm {Hom}}(A,B)$ $g\in {\mathrm {Hom}}(B,A)$ $g\circ f=\mathrm {id} _{A}$ $f\circ g=\mathrm {id} _{B}$

Morfismer där början och slutet sammanfaller kallas endomorfismer . Uppsättningen av endomorfismer är en monoid med avseende på kompositionens funktion med identitetselementet . ${\mathrm {Slut}}(A)={\mathrm {Hom}}(A,A)$ $\mathrm {id} _{A}$

Endomorfismer som också är isomorfismer kallas automorfismer . Automorfismerna hos vilket objekt som helst bildar en automorfismgrupp efter sammansättning. ${\mathrm {Aut}}(A)$

Monomorfism, epimorfism, bimorfism

En monomorfism är en morfismsom för någonavden följer att. Sammansättningen av monomorfismer är en monomorfism. $f\in {\mathrm {Hom}}(A,B)$ $g_{1},g_{2}\in {\mathrm {Hom}}(X,A)$ $f\cirkel g_{1}=f\cirkel g_{2}$ $g_{1}=g_{2}$

En epimorfism är en morfismsom för någotavföljande. Sammansättningen av epimorfismer är en epimorfism. $f\in {\mathrm {Hom}}(A,B)$ $g_{1},g_{2}\in {\mathrm {Hom}}(B,X)$ $g_{1}\circ f=g_{2}\circ f$ $g_{1}=g_{2}$

En bimorfism är en morfism som är både en monomorfism och en epimorfism. Varje isomorfism är en bimorfism, men inte varje bimorfism är en isomorfism.

Monomorfism, epimorfism och bimorfism är generaliseringar av begreppen injektiv , surjektiv och bijektiv kartläggning, respektive. Varje isomorfism är en monomorfism och en epimorfism; det omvända, generellt sett, är inte sant för alla kategorier.

Initiala och terminala objekt

Det initiala (initiella, universellt frånstötande) objektet i en kategori är ett sådant objekt från vilket det finns en unik morfism till varje objekt i kategorin.

Om initiala objekt i en kategori finns, är de alla isomorfa.

På ett dubbelt sätt definieras ett terminal eller universellt attraherande objekt - detta är ett sådant objekt till vilket det från vilket objekt som helst i kategorin finns en unik morfism.

Ett kategoriobjekt kallas null om det är både initialt och terminalt.

Exempel: I kategorin Set är det initiala objektet en tom uppsättning , terminalobjektet är valfri uppsättning av ett element .

\varnothing

\{\cdot \}

Exempel: Det finns ett nollobjekt i kategorin Grp - detta är en grupp av ett element.

Produkt och summa av objekt

Produkten (paret) av objekt A och B är ett objektmed morfismochsådant som för alla objektmed morfismochdet finns en unik morfismså att diagrammet som visas till höger är kommutativt. Morfismerkallas projektioner . _ $A\ gånger B$ $p_{1}:A\ gånger B\till A$ $p_{2}:A\ gånger B\till B$ $C$ $f_{1}:C\to A$ $f_{2}:C\to B$ $g:C\till A\ gånger B$ $p_{1}:A\ gånger B\till A$ $p_{2}:A\ gånger B\till B$

Summan eller samprodukten av objekt och är dubbelt definierad . Motsvarande morfismer kallas inbäddningar . Trots deras namn kanske de i allmänhet inte är monomorfismer . $A+B$ $A$ $B$ $\imath _{A}:A\till A+B$ $\imath _{B}:B\till A+B$

Om en produkt och en biprodukt existerar, är de unikt bestämda upp till isomorfism.

Exempel: I kategorin Mängd är produkten av A och B en direkt produkt i betydelsen mängdlära , och summan är en disjunkt union .

A\ gånger B

A \sqcup B

Exempel: I kategorin Ring är summan tensorprodukten och produkten är den direkta summan av ringarna .

Ibland B

A\oplus B

Exempel: I kategorin Vect K (ändlig) är produkten och summan isomorfa - detta är den direkta summan av vektorrum .

A\oplus B

Det är lätt att definiera produkten av någon familj av objekt på ett liknande sätt . Oändliga produkter är i allmänhet mycket mer komplicerade än ändliga produkter. Till exempel, medan ändliga produkter och biprodukter i Vect K är isomorfa till direkta summor, är oändliga produkter och biprodukter inte isomorfa. Beståndsdelarna i en oändlig produkt är godtyckliga oändliga sekvenser av element , medan elementen i en oändlig biprodukt är sekvenser där endast ett ändligt antal termer är icke-noll. $\prod _{{i\in I}}A_{i}$ $\prod _{{i\in I}}V_{i}$ $v_{i}\in V_{i}$ $\coprod _{{i\in I}}V_{i}$

Funktioner

Funktioner är strukturbevarande kategorimappningar. Mer exakt,

En (kovariant) funktion associerar varje kategoriobjekt med ett kategoriobjekt och varje morfism med en morfism så att ${\mathcal {F}}:{\mathcal {C}}\to {\mathcal {D}}$ ${\mathcal {C}}$ $\mathcal{D}$ $f:A\till B$ $F(f):{\mathcal {F}}(A)\to {\mathcal {F}}(B)$

${\displaystyle F(\mathrm {id} _{A})=\mathrm {id} _{F(A)))$ och
$F(g)\cirkel F(f)=F(g\cirkel f)$ .

En kontravariant funktor , eller cofunctor , kan förstås som en kovariant funktor från till (eller från till ), d.v.s. "en funktor som vänder pilar". Han förknippar nämligen med varje morfism morfismen , och sammansättningsregeln inverteras därefter: . ${\mathcal {C}}$ ${\mathcal {D}}^{{op}}$ ${\mathcal {C}}^{{op}}$ ${\mathcal {D}}$ $f:A\till B$ $F(f):{\mathcal {F}}(B)\to {\mathcal {F}}(A)$ $F(g)\cirkel F(f)=F(f\cirkel g)$

Naturliga transformationer

Begreppet naturlig transformation uttrycker förhållandet mellan två funktioner. Funktioner beskriver ofta "naturliga konstruktioner", i denna mening beskriver naturliga transformationer "naturliga morfismer" av sådana konstruktioner.

Om och är kovariansfunktioner från kategorin till , tilldelar den naturliga transformationen till varje objekt i kategorin en morfism på ett sådant sätt att för varje morfism i kategorin följande diagram är kommutativt: $F$ $G$ $C$ $D$ $\eta$ $X$ $C$ $\eta_X: F(X)\till G(X)$ $f:X\till Y$ $C$

Två funktorer sägs vara naturligt isomorfa om det finns en naturlig transformation mellan dem som är en isomorfism för någon . $\eta _{X}$ $X$

Vissa typer av kategorier

Se även

Anteckningar

↑ Helemsky, 2004 .
↑ Rydeheard, Burstall, 1988 .
↑ Goldblatt, 1983 .
↑ Rodin, 2010 .
↑ Ivanov .
↑ Kategoriteori i Haskell .
↑ J. Adámek, H. Herrlich, GE Strecker Abstrakta och konkreta kategorier: The joy of cats Arkiverad 25 mars 2010 på Wayback Machine , - New York: John Wiley and Sons, - 1990.

Länkar

"Category Theory" i Stanford Encyclopedia of Philosophy (engelska) .
I. Ivanov. Behöver fysiker kategoriteori? . Elements (10 september 2008). (ryska)
Kategoriteori i Haskell . Hämtad 13 mars 2011. Arkiverad från originalet 23 augusti 2011.

Litteratur

S. Maclane [Maclane S.] Kategorier för den arbetande matematikern . - Moskva: Fizmatlit, 2004. (ryska)
S. Maclane [Maclane S.] Homologi . - Moskva: Mir , 1966. - T. 114. - ( Springer-Verlag - Grundlehren der mathematischen wissenschaften ). (ryska)
Tsalenko M. S., Shulgeifer E. G. Kategorier . - 1969. - T. 06. - (VINITI - Results of science and technology, Algebra-Topology-Geometry). (ryska)
Tsalenko M. S., Shulgeifer E. G. Föreläsningar om kategoriteori . - Moskva: Nauka , 1970. (ryska)
Tsalenko M. S., Shulgeifer E. G. Fundamentals of kategoriteorin . - Moskva: Nauka , 1974. (ryska)
Bucur I., Deleanu A. Introduktion till teorin om kategorier och funktioner . - Moskva: Mir , 1972. - S. 259. (ryska)
Faith [Faith C.] volym 1 // Algebra - ringar, moduler och kategorier . - Moskva: Mir , 1977. - T. 190. - ( Springer-Verlag - Grundlehren der mathematischen wissenschaften ). (ryska)
Faith [Faith C.] volym 2 // Algebra - ringar, moduler och kategorier . - Moskva: Mir , 1977. - T. 191. - ( Springer-Verlag - Grundlehren der mathematischen wissenschaften ). (ryska)
Gabriel [Gabriel P.], Zisman [Zisman M.] Kategorier av kvotienter och homotopi teori . - Moskva: Mir , 1977. - T. 35. - ( Springer-Verlag - Grundlehren der mathematischen wissenschaften ). (ryska)
Goldblatt [Goldblatt R.] Topoi - kategorisk analys av logik . - 1983. - T. 98. - ( Studies in logic & foundation of mathematics ). (ryska)
Fulton E, MacPherson R. Kategoriskt förhållningssätt till studiet av utrymmen med singulariteter / ed. Buchstaber V. M .. - 1983. - T. 33. - ( Ny inom utländsk vetenskap, matematik ). (ryska)
Artamonov V. A., Salii V. N., Skornyakov L. A., Shevrin L. N., Shulgeifer E. G. General Algebra . - Moskva: Nauka , 1991. - T. 2. - 480 sid. - ( Ny inom utländsk vetenskap, matematik ). — 25 500 exemplar. — ISBN 5-02-014427-4 . (ryska)
DE Rydeheard, RM Burstall. Beräkningskategoriteori . _ - New York: Prentice Hall, 1988. - 257 sid. — ISBN 0-13-162736-8 .
Helemsky A. Ya Föreläsningar om funktionsanalys . - Moskva: MTSNMO , 2004. - ISBN 5-94057-065-8 . (ryska)
R. Goldblatt. Topoi. Kategorisk analys av logik = Topoi. Logikens kategorianalys . - Moskva: Mir , 1983. - 488 sid. (ryska)
Rodin A. V. Kategoriteori och sökandet efter nya matematiska grunder för fysiken // Filosofis frågor . - 2010. - Nr 7 . - S. 67 .

Matematikens grenar

Portal "Science"

Grunderna för matematik mängdteori matematisk logik logikens algebra

Talteori ( aritmetik )

Algebra
Elementär algebra	Ekvationslösning
Linjär algebra	Vektorkalkyl matriser Tensorkalkyl Multilinjär algebra
Allmän algebra	Kommutativ algebra Representationsteori Differentialalgebra Homologisk algebra Universal algebra Kategoriteori

Analys
Klassisk analys	Differentialkalkyl Integralkalkyl
Funktionsteori	Harmonisk analys Kvaternionanalys Komplex analys måttteori Teori om funktioner för en reell variabel funktionell analys Variationskalkyl
Differentialekvationer och integralekvationer	Dynamiska system och ergodisk teori Differentialekvationer vanlig i partiella derivat Integralekvationer
Vektoranalys Global analys Katastrofteori Anpassad analys Smidig infinitesimal analys

Geometri och topologi
Geometri	Algebraisk geometri Analytisk geometri Euklidisk geometri Icke-euklidisk geometri Planimetri Stereometri
Topologi	Allmän topologi Algebraisk topologi Differentialgeometri och topologi

Diskret matematik
Kombinatorik grafteori

Tillämpad matematik
Matematisk fysik Matematisk kemi matematisk biologi Matematik statistik Matematisk modellering Teori om algoritmer Numeriska metoder matematisk ekonomi finansiell matematik Sannolikhetsteori Operationsforskning Spel teori

Portalen "Matematik"
Kategori "Matematik"