Andel (matematik)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 14 april 2022; verifiering kräver 1 redigering .

Proportion ( latin proportio "proportionalitet, jämnhet av delar; ett visst förhållande mellan delar till varandra") är likheten mellan förhållandena mellan två [eller fler] par av tal och , dvs. likheten i formen , eller, i andra notationer, jämlikhet (läses ofta som: " gäller på samma sätt som det gäller "). I detta fall, och kallas extrema , och - genomsnittliga medlemmar av andelen. Denna proportion kallas också geometrisk , inte att förväxla med aritmetiska och harmoniska proportioner . $a, b$ $CD$ $a:b=c:d$ $\ {\frac ab}={\frac cd}$ $a$ $b$ $c$ $d$ $a$ $d$ $b$ $c$ .

Grundläggande egenskaper för proportioner

Omkastning av proportioner. Om , då $\ {\frac ab}={\frac cd}$ $\ {\frac ba}={\frac dc}$
Multiplicera de extrema medlemmarna av proportionen med de mittersta (korsvis). Om , då . Med andra ord är produkten av de extrema termerna lika med produkten av mellantermerna. Denna egenskap kallas den grundläggande egenskapen proportion. $\ {\frac ab}={\frac cd}$ $\ad=bc$
Permutation av mellan- och extremtermer. Om , då $\ {\frac ab}={\frac cd}$

\ {\frac ac}={\frac bd}

(permutation av de mittersta medlemmarna av andelen),

\ {\frac db}={\frac ca}

(permutation av de extrema medlemmarna av proportionen).

Ökande och minskande proportioner. Om , då $\ {\frac ab}={\frac cd}$

\ {\dfrac {a+b}{b}}={\dfrac {c+d}{d}}

(ökning i andel),

\ {\dfrac {ab}{b}}={\dfrac {cd}{d}}

(minskande andel).

Gör proportioner genom att addera och subtrahera. Om , då $\ {\frac ab}={\frac cd}$

\ {\dfrac {a+c}{b+d}}={\frac ab}={\frac cd}

(att göra upp en andel genom addition),

\ {\dfrac {ac}{bd))={\frac ab}={\frac cd}

(att rita upp en proportion genom subtraktion). Bevis (proportionering genom addition och subtraktion)

Vi kommer att bevisa för tillägg. Vi uttrycker genom de återstående villkoren för andelen: . Sedan: $c$ $c={\frac {ad}{b))$

{\frac {a+c}{b+d}}={\frac {a+ad/b}{b+d}}={\frac {(ab+ad)/b}{b+d ))={\frac {a(b+d)}{b(b+d)))={\frac {a}{b)).

För subtraktion är beviset liknande. ■

Historik

Den första kända definitionen av lika proportioner gavs som en likhet av successiva subtraktioner [1] , i modernt språk kan detta uttryckas som en likhet av fortsatta bråk för storhetsförhållanden. [2] Senare förenklade Eudoxus av Cnidus definitionen, jämlikhet i proportioner definierades av honom som den samtidiga uppfyllelsen av ett av de tre paren av förhållanden $a:b=c:d$

$m\cdot a>n\cdot b$ och , $m\cdot c>n\cdot d$
$m\cdot a=n\cdot b$ och , $m\cdot c=n\cdot d$
$m\cdot a<n\cdot b$ och $m\cdot c<n\cdot d$

för alla par naturliga tal och . Denna definition ges i Euclid's Elements . $m$ $n$

Med tillkomsten av reella tal fanns det inget behov av en speciell teori om proportioner, forntida matematiker betraktade inte proportionerna av längd som tal. Definitionen av Eudoxus, som ges i en något mer abstrakt form, användes senare i Dedekinds definition av reella tal i termer av nedskärningar .

Relaterade definitioner

Aritmetisk proportion

Likheten mellan två skillnader kallas ibland en aritmetisk proportion [3] . $ab=cd$

Harmonisk proportion

Om den geometriska proportionen har mittelementen lika, och den sista är skillnaden mellan den första och den mellersta, kallas en sådan proportion harmonisk :. I detta fall kallas nedbrytningen till summan av två termer för harmonisk division eller det gyllene snittet [4] . $a:b=b:(ab)$ $a$ $b$ $ab$

Problem för trippelregeln

Innehållet i uppgiften för en enkel trippelregel inkluderar två kvantiteter relaterade till ett proportionellt beroende, medan två värden av en kvantitet och ett av motsvarande värden för den andra kvantiteten är givna, men det är krävs för att hitta dess andra värde.

Uppgifter för en komplex trippelregel kallas uppgifter där det, för en serie med flera (mer än två) proportionella kvantiteter, krävs att hitta värdet av en av dem som motsvarar en annan serie av givna kvantitetsvärden [5] [6] .

Se även

Proportionalitet

Anteckningar

↑ Topeka av Aristoteles
↑ Von Fritz, Kurt . "Upptäckten av incommensurability av Hippasus av Metapontum". Annaler av matematik. - 1945. - S. 242-264.
↑ Aritmetiska proportioner // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och 4 extra). - St Petersburg. 1890-1907.
↑ Harmoniska proportioner // Stora sovjetiska encyklopedin : [i 30 volymer] / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.
↑ Handbok i elementär matematik . Hämtad 8 januari 2018. Arkiverad från originalet 8 januari 2018. (obestämd)
↑ Lösa problem med en enkel trippelregel. Sätt att lösa . Hämtad 8 januari 2018. Arkiverad från originalet 8 januari 2018. (obestämd)

Litteratur

Van der Waerden, B. L. Awakening Science. Matematik i det antika Egypten, Babylon och Grekland. / per. med ett mål I. N. Veselovsky. — M .: GIFML, 1959.