Maxwell distribution

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 11 augusti 2021; kontroller kräver 5 redigeringar .

Maxwell-fördelningen är det allmänna namnet för flera sannolikhetsfördelningar som beskriver det statistiska beteendet hos parametrarna för idealgaspartiklar . Formen av motsvarande sannolikhetstäthet funktion dikteras av vilken kvantitet: partikelhastighet , hastighetsprojektion, hastighetsmodul, energi , rörelsemängd , etc. - fungerar som en kontinuerlig stokastisk variabel . I vissa fall kan Maxwell-fördelningen uttryckas som en diskret fördelning över en uppsättning energinivåer.

Den mest signifikanta Maxwell-fördelningen är skriven för partikelhastighetsmodulen i det kontinuerliga fallet och har densiteten: $v$

f_{v}(x)=Bx^{2}\exp \left[-\beta x^{2}\right]\,\,(x\geq 0)

och

f_{v}(x)=0\,\,(x<0),

där är en formell variabel, faktorn bestäms av typen av partiklar och temperatur, och faktorn väljs beroende på för att säkerställa normalisering. Det är detta uttryck som anses vara den maxwellska fördelningen i matematik, även om den analytiska formen för den maxwellska fördelningen för andra partikelparametrar kommer att vara annorlunda. $x$ $\beta>0$ $B$ $\beta$

Maxwell-fördelningen ligger till grund för den kinetiska teorin om gaser , och förklarar många av de grundläggande egenskaperna hos gaser, inklusive tryck och diffusion . Det används för att beräkna de genomsnittliga och mest sannolika hastigheterna och energierna för gasmolekyler. Den är även tillämplig på beskrivningen av elektroniska transportprocesser och andra fenomen inom fysik och kemi . Maxwell-fördelningen kan erhållas med hjälp av statistisk mekanik (se ursprunget för partitionsfunktionen ). Denna fördelning är den högsta sannolikhetsfördelningen för den studerade parametern.

Maxwell-distributionens omfattning

Krav för det beskrivna systemet, exempel

Frågan om Maxwell-distributionens tillämplighet på ett visst system är likvärdig med frågan om detta system kan anses vara en idealisk gas med tillräcklig noggrannhet. Samtidigt måste systemet

består av ett stort antal partiklar och befinner sig i termodynamisk jämvikt ;
vara isotropisk ;
vara klassisk , det vill säga relativistiska och kvanteffekter måste vara små;
vara kollisionsdominerad (interaktion mellan partiklar är endast tillåten om den endast beror på partiklarnas relativa position, i synnerhet är absolut elastiska kollisioner tillåtna).

En sådan uppsättning krav uppfylls i första hand i gaser, såsom luft, under normala förhållanden. Maxwell-fördelningen gäller en mängd olika egenskaper hos enskilda molekyler i en gas. Det anses vanligtvis främst som energifördelningen av molekyler i en gas, men det kan tillämpas på fördelningen av hastigheter och andra molekylära parametrar. Oftast är det en kontinuerlig fördelning längs ett kontinuum av en förändring i en slumpmässig parameter.

I många fall är dock villkoret för dominans av elastiska kollisioner över alla andra processer inte uppfyllt ens ungefär. Så i jonosfärens och rymdplasmans fysik är processerna för rekombination och kollisionsexcitation (det vill säga strålningsprocesser), särskilt för elektroner, av stor betydelse. Användningen av Maxwell-fördelningen i detta fall skulle inte bara ge kvantitativt felaktiga resultat, utan skulle också leda till en kvalitativt felaktig tolkning av motsvarande processer.

Villkor för klassisk övervägande

I de fall där quantum de Broglie-våglängden för gaspartiklarna inte är liten jämfört med avståndet mellan partiklarna, finns det avvikelser från Maxwell-fördelningen på grund av kvanteffekter. Därför är frågan om gränserna för det klassiska övervägandets tillämplighet viktig.

Osäkerhetsrelationen (ofta förenklat skriven i formen där är osäkerheterna för koordinaten och -projektionen av rörelsemängden, är Plancks konstant ) har en tredimensionell analog av formen där anger den karakteristiska linjära storleken av partikellokaliseringszonen . Så att osäkerheter i koordinat och momentum inte spelar någon roll och klassisk snarare än kvantmekanik kan tillämpas måste förhållandet vara uppfyllt: $\Delta x\cdot \Delta p_{x}\sim h,$ $\Delta x,$ $\Delta p_{x}$ $x$ $h$ $r\cdot p\sim h,$ $r$

V^{1/3}\cdot p\gg h,

var är volymen, som i genomsnitt står för en partikel, lika med den reciproka koncentrationen av gaspartiklar. Om du kvadrerar båda sidorna får du: $V$ $n^{{-1}}$

n^{-{\frac {2}{3}}}h^{-2}p^{2}\gg 1.

Med hänsyn till det och med kvantiteten som det karakteristiska energivärdet kommer vi fram till: $p^{2}=2mE$ $(3/2)kT,$

T\gg {\frac {n^{\frac {2}{3}}h^{2}}{3mk}}=T_{deg}\qquad

( är degenerationstemperaturen och är partikelns massa ).

{\displaystyle T_{deg))

m

Vid temperaturer under Maxwell-fördelningen är inte tillämplig. ${\displaystyle T_{deg))$

Maxwells tillståndsfördelning

Maxwell-fördelningen kan skrivas som en diskret fördelning över uppsättningen av tillstånd för molekylen, numrerad med symbolen : $i$

{\frac {N_{i}}{N}}={\frac {\exp \left(-E_{i}/kT\right)}{\sum _{j}^{}{\exp \left(-E_{j}/kT\right)}}}

Energin hos en molekyl i th tillstånd och antalet sådana molekyler, respektive, betecknas med och , är systemets temperatur, är det totala antalet molekyler i systemet och är Boltzmann-konstanten . (Det händer att ovanstående ekvation skrivs med en faktor som anger graden av degeneration av energinivåerna. I detta fall räknar den inte upp tillstånden, utan energierna, och summan blir enligt energierna, och inte enligt energierna . staterna). Eftersom hastighet är relaterad till energi, kan den sista ekvationen användas för att härleda förhållandet mellan temperatur och molekylernas hastigheter i en gas. Nämnaren är känd som den kanoniska partitionsfunktionen . $E_{i}$ $N_{i}$ $i$ $T$ $N$ $k$ $g_i$ $i$

Varianter av den kontinuerliga Maxwell-distributionen

Härledningen av Maxwells distributioner som presenteras i detta avsnitt, vilket är naturligt för modern utbildningslitteratur, skiljer sig från den härledning som föreslås av James Clerk Maxwell själv och senare beskrivs med färre antaganden av Ludwig Boltzmann . Den historiska slutsatsen kommer att ges i slutet av artikeln.

Momentum vektorfördelning

När det gäller en idealisk gas av icke-interagerande molekyler är all energi i form av kinetisk energi. Den kinetiska energin är relaterad till partikelns rörelsemängd som:

E={\frac {p^{2}}{2m}}

var är kvadraten på momentumvektorn då $p^{2}$ $\mathbf {p} =[p_{x},p_{y},p_{z}]$

{\frac {N_{i}}{N}}={\frac {1}{Z}}\exp \left[{\frac {-(p_{x}^{2}+p_{y }^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}}\right]

där är partitionsfunktionen som motsvarar nämnaren för uttrycket för från föregående avsnitt och är molekylens massa. $Z$ $N_{i}/N$ $m$

Om energinivåerna är tillräckligt täta blir diskretiteten oviktigt och vi kan anta att energierna fördelas kontinuerligt. Då är förhållandet proportionellt mot sannolikhetstäthetsfunktionen för att molekylen är i ett tillstånd med dessa värden på momentumkomponenterna. På det här sättet: $N_{i}/N$ $f_{\mathbf {p} }$

f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})={\frac {C}{Z))\exp \left[{\frac {-(p_ {x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}}\right]

Konstanten bestäms utifrån normaliseringsvillkoret, enligt vilket sannolikheten för att molekylerna överhuvudtaget har något momentum måste vara lika med ett. Därför måste integralen över alla värden och vara lika med enhet. Det kan man visa $C$ $f_{\mathbf {p} }$ ${\displaystyle p_{x}\,,p_{y))$ $p_{z}$

\iiiint \limits _{-\infty }^{+\infty }{\frac {1}{Z}}\exp \left[{\frac {-(p_{x}^{2}+p_ {y}^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}}\right]\,dp_{x}\,dp_{y}\,dp_{z}={\frac {1} {Z}}\left(2\pi mkT\right)^{3/2}

För att integralen ska ha värdet 1 är det alltså nödvändigt att

{\displaystyle C={\frac {Z}{({\sqrt {2\pi mkT)))^{3))))

Genom att ersätta detta i ekvationen och använda det faktum att , får vi: $C$ $f_{\mathbf {p} }$ ${\displaystyle p_{i}=mv_{i))$

f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})={\sqrt {\left({\frac {1}{2\pi mkT))\right )^{3}}}\exp \left[{\frac {-(p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2})}{2mkT}} \höger]

Hastighetsvektorfördelning

Med hänsyn till att hastighetsfördelningens täthet är proportionell mot momentumfördelningstätheten: $f_{\mathbf {v} }$

f_{{\mathbf {v}}}d^{3}v=f_{{\mathbf {p}}}\left({\frac {dp}{dv}}\right)^{3}d^{ 3}v

och med hjälp av , får vi: $\mathbf {p} =m\mathbf {v}$

f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})={\sqrt {\left({\frac {m}{2\pi kT))\right )^{3}}}\exp \left[{\frac {-m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT} }\höger]

vilket är Maxwell-fördelningen över tre kartesiska hastighetsprojektioner. Sannolikheten att hitta en partikel i ett oändligt litet element nära hastigheten är: ${\displaystyle dv_{x}\,,dv_{y}\,,dv_{z))$ $\mathbf {v} =[v_{x},v_{y},v_{z}]$

{\displaystyle f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)dv_{x}dv_{y}dv_{z))

Hastighetsprojektionsfördelning

Maxwellfördelningen för hastighetsvektorn är produkten av fördelningarna för var och en av de tre riktningarna: $[v_{x},v_{y},v_{z}]$

f_{v}\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{ v}(v_{z}),

där distribution i en riktning:

f_{v}(v_{i})={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT))}\exp \left[{\frac {-mv_{i}^{2)) {2kT}}\right]

Denna fördelning har formen av en normalfördelning . Som man kan förvänta sig för en gas i vila är medelhastigheten i alla riktningar noll.

Distribution modulo momentum

Genom att integrera kan vi hitta fördelningen över momentumets absoluta storlek:

f_{p}=\int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\phi =0}^{2\pi }~f_{\mathbf {p} }p^{2 }\sin(\theta )\,d\theta \,d\phi =4\pi {\sqrt {\left({\frac {1}{2\pi mkT}}\right)^{3}}} ~p^{2}\exp \left[{\frac {-p^{2}}{2mkT}}\right].

Energidistribution

Slutligen, med hjälp av relationerna och , får vi den kinetiska energifördelningen: $p^{2}=2\,mE$ $f_{E}\,dE=f_{p}\,dp$

f_{E}=f_{p}{\frac {dp}{dE}}={\frac {2\pi }{\sqrt {(\pi kT)^{3}}}}{\sqrt {E}}{}~\exp \left[{\frac {-E}{kT}}\right].

Distribution modulo hastighet

Vanligtvis är fördelningen över det absoluta värdet mer intressant än över projektionerna av molekylernas hastigheter. Hastighetsmodul, definierad som $v$

{\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2))))

det är alltid icke-negativt. Eftersom allt är normalfördelat blir det en chi-kvadratfördelning med tre frihetsgrader. If är en sannolikhetstäthetsfunktion för hastighetsmodulen, alltså $v_{i}$ $v^2$ $f(\mathbf {v} )$

f\left(v\right)dv=P(\chi ^{2}|3)d\chi ^{2}

var . Sålunda är sannolikhetstäthetsfunktionen för hastighetsmodulen $\chi ^{2}=mv^{2}/kT$

f(v)dv=4\pi v^{2}\left({\frac {m}{2\pi kT))\right)^{3/2}\exp \left({\frac {-mv^{2}}{2kT}}\right)dv

Funktionens form motsvarar den som anges i ingressen, med den skillnaden att en formell variabel används där för större matematisk generalitet. $f(v)$ $x$

Karakteristiska hastigheter för ideala gasmolekyler

Ekvationen för ger hastighetsfördelningen, eller, med andra ord, andelen molekyler som har en specifik hastighet. Men andra kvantiteter är ofta mer intressanta. Nedan kommer de mest sannolika , medel- och effektivhastigheterna att bestämmas. $f(v)dv$

Mest sannolikt hastighet

Den mest sannolika hastigheten , , är hastigheten, vars sannolikhet någon molekyl i systemet har maximalt och som motsvarar det maximala värdet av fördelningens sannolikhetstäthet (och därför motsvarar läget för denna fördelning). För att hitta det måste du beräkna , vara lika med noll och lösa för : $v_p$ $f(v)$ $df/dv$ $v$

{\frac {df(v)}{dv}}=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left(-mv^ {2}/2kT\right)\left[8\pi v+4\pi v^{2}(-mv/kT)\right]=0

{\displaystyle v_{p}={\sqrt {\frac {2kT}{m))}={\sqrt {\frac {2RT}{\mu ))))

där är massan av den betraktade partikeln, är den molära massan av . $m$ $\mu$

Medelhastighet

\langle v\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }v\,f(v)\,dv

Substituera och integrera, vi får $f(v)$

{\displaystyle \langle v\rangle ={\sqrt {\frac {8kT}{\pi m))}={\sqrt {\frac {8RT}{\pi \mu ))))

RMS hastighet

\langle v'^{2}\rangle =\int \limits _{0}^{\infty }v^{2}\,f(v)\,dv

Genom att ersätta och integrera får vi: $f(v)$

{\sqrt {\langle v'^{2}\rangle }}={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{\mu }}}

Historisk härledning av Maxwell-distributionen

Låt oss nu få fördelningsformeln på samma sätt som Maxwell själv gjorde [1] [2] .

Betrakta utrymmet av hastighetspunkter (vi representerar varje hastighet av molekylen som en punkt (hastighetspunkt) i koordinatsystemet i gasens stationära tillstånd . Låt oss välja ett oändligt litet volymelement . Eftersom gasen är stationär, är antalet hastighetspunkterna i förblir oförändrade över tiden. Hastighetsutrymmet är isotropt , därför är funktionerna sannolikhetstätheterna för alla riktningar desamma. ${\displaystyle Ov_{x}v_{y}v_{z))$ ${\displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z))$ ${\displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z))$

dP(v_{x})=\varphi (v_{x})dv_{x}\qquad dP(v_{y})=\varphi (v_{y})dv_{y}\qquad dP(v_ {z})=\varphi (v_{z})dv_{z}

Maxwell föreslog att fördelningarna av hastigheter i riktningar är statistiskt oberoende, det vill säga att molekylens hastighetskomponent inte beror på - och - komponenterna. ${\displaystyle v_{x))$ $y$ $z$

dP(v_{x},v_{y},v_{z})=\underbrace {\varphi (v_{x})\varphi (v_{y})\varphi (v_{z})} _ {f(v)}dv_{x}dv_{y}dv_{z}

- faktiskt, sannolikheten att hitta en höghastighetspunkt i volymen .

{\displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z))

f(v)=\varphi (v_{x})\varphi (v_{y})\varphi (v_{z})

{\displaystyle \ln f(v)=\ln \varphi (v_{x})+\ln \varphi (v_{y})+\ln \varphi (v_{z})\quad {\bigg |}\ quad {\frac {\partial }{\partial v_{x))))

{\frac {f'(v)}{f(v)}}{\frac {\partial v}{\partial v_{x}}}={\frac {\varphi '(v_{x} )}{\varphi (v_{x})))

{\frac {\partial v}{\partial v_{x}}}={\frac {v_{x}}{v}}

{\frac {1}{v}}{\frac {f'(v)}{f(v)))={\frac {1}{v_{x}}}{\frac {\varphi '(v_{x})}{\varphi (v_{x})}}

Den högra sidan är inte beroende av och , därför är den vänstra inte beroende av och heller. Men och är lika, därför är den vänstra sidan inte beroende av . Så detta uttryck kan bara vara lika med någon konstant. $v_{y}$ $v_{z}$ $v_{y}$ $v_{z}$ $v_{x}$ $v_{y}$ $v_{x}$

{\frac {1}{v}}{\frac {f'(v)}{f(v)))=-\alpha

{\displaystyle {\frac {\varphi '(v_{x})}{\varphi (v_{x)))))=-\alpha v_{x))

\varphi (v_{x})=Ae^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}}{2}}}

\int \limits _{-\infty }^{\infty }\varphi (v_{x})\,dv_{x}=1\qquad \Rightarrow \qquad A\int \limits _{-\infty }^{\infty }e^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}}{2}}}\,dv_{x}=A\,{\sqrt {\frac {2 }{\alpha }}}\,{\sqrt {\pi }}=1\qquad \Rightarrow \qquad A={\sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}

\varphi (v_{x})={\sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}e^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}} {2}}}

Nu måste du ta ett grundläggande steg - ange temperaturen. Kinetisk definition av temperatur (som ett mått på den genomsnittliga kinetiska energin för molekylers rörelse):

\left\langle {\frac {mv^{2}}{2}}\right\rangle ={\frac {3}{2}}kT,

där J/K är Boltzmanns konstant . $k=1{,}380649\cdot 10^{-23}$

v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2))}.

Med tanke på jämlikheten i alla riktningar:

\langle v_{x}^{2}\rangle =\langle v_{y}^{2}\rangle =\langle v_{z}^{2}\rangle ={\frac {1}{3 }}\langle v^{2}\rangle ={\frac {kT}{m}}.

För att hitta medelvärdet integrerar vi det tillsammans med sannolikhetstäthetsfunktionen från minus till plus oändlighet: ${\displaystyle v_{x}^{2))$

{\frac {kT}{m}}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }{v_{x}}^{2}\,\varphi (v_{x})\ ,dv_{x}={\sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}\,\int \limits _{-\infty }^{\infty }v_{x}^{2}\, e^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}}{2}}}\,dv_{x}=

\qquad ={\sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}\left[-2\,{\frac {d}{d\alpha }}\,\int \limits _{ -\infty }^{\infty }e^{-{\frac {\alpha {v_{x}}^{2}}{2}}}\,dv_{x}\right]=-2\,{ \sqrt {\frac {\alpha }{2\pi }}}\,{\frac {\delta }{\delta \alpha }}{\sqrt {\frac {2\pi }{\alpha }}}= -2{\sqrt {\alpha }}(-{\frac {1}{2}}\alpha ^{-{\frac {3}{2}}})={\frac {1}{\alpha } }.

Härifrån finner vi : $\alfa$

\alpha ={\frac {m}{kT)).

Sannolikhetstäthetsfördelningsfunktion för (för och liknande): ${\displaystyle v_{x))$ ${\displaystyle v_{y))$ ${\displaystyle v_{z))$

\varphi (v_{x})=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{\frac {1}{2}}\,e^{-{\ frac {mv_{x}^{2}}{2kT}}}.

Låt oss nu betrakta hastighetsfördelningen. Låt oss återgå till utrymmet med hastighetspunkter. Alla punkter med hastighetsmodul ligger i ett sfäriskt skikt med radie och tjocklek , och är volymen av ett element i detta sfäriska skikt. $v\subset [v;v+dv]$ $v$ $dv$ ${\displaystyle dv_{x}dv_{y}dv_{z))$

dP(v_{x},v_{y},v_{z})=\varphi (v_{x})\varphi (v_{y})\varphi (v_{z})dv_{x}dv_ {y}dv_{z}

\underbrace {dP(v_{x},v_{y},v_{z})} _{dP(v)}=\left({\frac {m}{2\pi kT))\right )^{\frac {3}{2}}\,e^{-{\frac {mv_{x}^{2}+mv_{y}^{2}+mv_{z}^{2}}{ 2kT}}}\underbrace {dv_{x}dv_{y}dv_{z}} _{4\pi v^{2}dv}

dP(v)=\underbrace {4\pi \,\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{\frac {3}{2}}\,v^ {2}\,e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}} _{F(v)}dv

Således har vi fått sannolikhetstäthetsfunktionen , som är Maxwell-fördelningen. $F(v)$

Se även

Anteckningar

↑ inlärning. Karavaev V. A. - Molekylär fysik - Begränsande fall av binomialfördelningen (26 juli 2017). Hämtad: 3 mars 2019. (obestämd)
↑ inlärning. Karavaev V. A. - Molekylär fysik - Maxwell distribution (26 juli 2017). Hämtad: 3 mars 2019. (obestämd)

Länkar

http://www.falstad.com/gas/