Självlikhet

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 9 mars 2020; kontroller kräver 3 redigeringar .

Ett självliknande föremål är ett föremål som exakt eller ungefär matchar en del av sig själv (det vill säga att helheten har samma form som en eller flera delar).

Många verkliga objekt, såsom kustlinjer, har egenskapen statistisk självlikhet : delar av dem är statistiskt homogena över olika mätskalor. Självlikhet är en karakteristisk egenskap hos en fraktal .

Skalinvarians är en form av självlikhet, där det vid varje approximation finns minst en del av huvudfiguren som liknar hela figuren.

Definition

Ett kompakt topologiskt utrymme X är självlikt om det finns en ändlig mängd S som indexerar en uppsättning icke-surjektiva avbildningar för vilka $\{f_{s}\}_{{s\in S}},$

X=\cup _{{s\in S}}f_{s}(X)

Om , då kallas X självliknande om det är den enda icke-tomma delmängd av Y för vilken ekvationen ovan gäller för den givna familjen . I detta fall $X\delmängd Y$ $\{f_{s}\}_{{s\in S}}$

{\mathfrak {L}}=(X,S,\{f_{s}\}_{{s\in S}})

kallas en självliknande struktur . Det är möjligt att iterera mappningsdata så att resultatet blir ett system av itererade funktioner. Sammansättning av funktioner genererar en algebraisk monoid struktur . Om mängden S bara innehåller två element kallas monoiden dyadisk. En dyadisk monoid kan visuellt representeras som ett oändligt binärt träd; i allmänhet, om mängden S har p - element, kan monoiden representeras som ett p - adic-träd.

Automorfismgruppen för en dyadisk monoid är modulär; automorfismer kan visualiseras som en hyperbolisk rotation av ett binärt träd.

Exempel

Självlikhet har viktiga tillämpningar för att bygga datornätverk, eftersom en typisk nätverksström har liknande egenskaper. Till exempel inom telefoni är paketdataströmmar nästan statistiskt likadana. Närvaron av denna egenskap innebär att enkla modeller som använder Poisson-distributionen är felaktiga, och nätverk som byggs utan att ta hänsyn till självlikhet kan fungera i oförutsägbara lägen.

Kursrörelserna på aktiemarknaden visar också på självlikhet, eftersom det verkar ganska rimligt att betrakta diagrammen som ungefärligen upprepade när skalan (varaktighet, periodicitet) ändras.

Se även

fraktaler
Egenskaper	fraktal dimension Hausdorff dimension Lebesgue dimension rekursion självlikhet
De enklaste fraktalerna	Fern Barnsley Kantor set drakekurva Koch kurva Svamp Menger Sierpinski matta Sierpinski triangel Utrymmesfyllande kurva
konstig attraktion	Multifraktal
L-system	Utrymmesfyllande kurva
Bifurkationsfraktaler	Julia set Lyapunov fraktal Mandelbrot set Newtons pooler
Slumpmässiga fraktaler	Brownsk rörelse brunt träd fraktal yta Perkolationsteori
människor	Georg Kantor Felix Hausdorff Gaston Julia Helge von Koch Paul Levy Alexander Lyapunov Benoit Mandelbrot Lewis Richardson Vaclav Sierpinski
Relaterade ämnen	Hur lång är Storbritanniens kust? » Kustlinjeparadox