Symplektiskt utrymme

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 7 november 2021; verifiering kräver 1 redigering .

Ett symplektiskt utrymme är ett vektorrum S med en symplektisk form definierad på den , det vill säga en bilinjär skev-symmetrisk icke-degenererad 2-form : $\omega$

\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=-\omega (\mathbf {b} ,\mathbf {a} )

\omega (\mathbf {a} ,\,\lambda \,\mathbf {b} +\mu \,\mathbf {c} )=\lambda \,\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu \,\omega (\mathbf {a} ,\mathbf {c} )

\forall \mathbf {a} \in \mathbb {S} ,\,\mathbf {a} \neq 0~~\exists \mathbf {b} \i \mathbb {S} \,:\,\ omega (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\neq 0

Den symboliska formen betecknas vanligtvis . I motsats till punktproduktformen , för vilken $\left\langle \cdot ,\cdot \right\rangle$

\forall \mathbf {a} \neq 0\,:\,(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )>0

för en symbolisk form, alltid $\left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {a} \right\rangle =0$

Relaterade definitioner

En linjär transformation L av ett symplektiskt utrymme kallas symplektisk om den bevarar den symplektiska formen:

\left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \right\rangle =\left\langle L(\mathbf {a} ),L(\mathbf {b} )\right\rangle

Uppsättningen av alla symplektiska transformationer av rymden S bildar en grupp som kallas den symplektiska gruppen och betecknas med Sp(S) .
Matrisen för en symplektisk transformation kallas en symplektisk matris .
Ett delrum s av ett symboliskt rum S kallas symplektiskt om begränsningen av den symplektiska formen till s är icke- degenererad.
Två vektorer sägs vara sned-ortogonala if $\mathbf {a} ,\mathbf {b} \in S$

\left\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \right\rangle =0

Observera att vilken vektor som helst är sned-ortogonal mot sig själv.

Det skev-ortogonala komplementet av ett delrum är mängden av alla vektorer som är sned-ortogonala till någon vektor från . $s\subset S$ $s$

Kanonisk struktur

Den symplektiska strukturen kan introduceras på vilket vektorutrymme som helst med jämna dimensioner. Det kan visas att icke-degenererade skev-symmetriska 2-former inte existerar på ett uddadimensionellt utrymme. Alla symplektiska utrymmen av samma dimension är symplektiska isomorfa . Dessa fakta följer av Darboux -satsen för symplektiska rum. Tanken med beviset är följande. Tänk på någon vektor . På grund av icke-degeneration finns det en vektor sådan att $\mathbf {q_{1}} \in \mathbb {S} ,~~\dim \,\mathbb {S} =2n$ $\omega$ $\mathbf {p_{1}} \in \mathbb {S}$

\left\langle \mathbf {p_{1}} ,\mathbf {q_{1}} \right\rangle =1

Betrakta det sneda-ortogonala komplementet till det linjära spannet V för vektorerna och . Det kan visas att detta kommer att vara ett (2 n -2)-dimensionellt delrum av S som inte skär c V , och begränsningen på det är icke-degenererad. Därför kan processen fortsätta genom induktion. För ett uddadimensionellt utrymme slutar processen på ett endimensionellt underrum, på vilket det uppenbarligen är degenererat, så antagandet om existensen av en symplektisk struktur var felaktigt. För ett jämnt utrymme får vi ett underlag $\mathbf {p_{1}}$ $\mathbf {q_{1))$ $\omega$ $\omega$

(\mathbf {p_{1}} ,\dots ,\mathbf {p_{n}} ,\mathbf {q_{1}} ,\dots ,\mathbf {q_{n}} )

Så att

\left\langle \mathbf {p_{i}} ,\mathbf {q_{j}} \right\rangle =\delta _{ij},~~\left\langle \mathbf {q_{i}} ,\mathbf {q_{j}} \right\rangle =\left\langle \mathbf {p_{i}} ,\mathbf {p_{j}} \right\rangle =0

var är Kronecker-symbolen . Det kallas den kanoniska grunden eller Darboux-basen . $\delta _{{ij}}$

I den kanoniska grunden tar den symboliska formens matris formen

\Omega _{n}={\begin{bmatrix}0&I_{n}\\-I_{n}&0\end{bmatrix}}

var är identitetsmatrisen av ordning n . är en symplektisk matris. $I}$ ${\displaystyle \Omega _{n))$

Struktur av delrum

Betrakta ett delrum och dess skev-ortogonala komplement . På grund av icke-degeneration : $W\subset \mathbb {S}$ ${\displaystyle W^{\perp ))$ $\omega$

\dim \,W+\dim \,W^{\perp }=\dim \,\mathbb {S}

Förutom,

(W^{\perp })^{\perp }=W

I allmänhet skär dessa delrum varandra. Beroende på deras inbördes position särskiljs 4 typer av underutrymmen:

Symplektiskt : . Detta är sant om och endast om begränsningen till W är icke-degenererad, så att en sådan definition av symplectic subspaces sammanfaller med den tidigare angivna. I lämpliga Darboux-koordinater har W formen $W\cap W^{\perp }=0$ $\omega$

(p_{1},\dots ,p_{k},0,\dots ,0;~q_{1},\dots ,q_{k},0,\dots ,0),\,2k= \dim \,W

Isotropisk : . Ett delrum är isotropt om och endast om det är identiskt lika med noll på det. Varje endimensionellt delrum är isotropiskt. I lämpliga Darboux-koordinater har W formen $W\subset W^{\perp }$ $\omega$

(p_{1},\dots ,p_{k},0,\dots ,0;~0,\dots ,0),\,k=\dim \,W

koisotrop : . W är koisotropisk om och endast om den är icke-degenererad på kvotutrymmet . Varje delrum av kodimension 1 är koisotropt. I lämpliga Darboux-koordinater har W formen $W^{\perp }\subset W$ $\omega$ ${\displaystyle W\,/\,W^{\perp ))$

(p_{1},\dots ,p_{n};~q_{1},\dots ,q_{k},0,\dots ,0),\,n+k=\dim \,W ,\,2n=\dim \,\mathbb {S}

Lagrangian :. _ W är lagrangisk om och endast om den är både isotrop och koisotropisk. Vilket isotropt delrum som helst är inbäddat i ett lagrange, och vilket koisotropiskt delrum som helst innehåller ett lagrange. I lämpliga Darboux-koordinater har W formen $W^{\perp }=W$

(p_{1},\dots ,p_{n};~0,\dots ,0),\,n=\dim \,W,\,2n=\dim \,\mathbb {S}

Uppsättningen av alla lagrangiska delrum av ett utrymme med dimension 2n bildar ett mångfald som kallas det lagrangiska gräsmannen . Det är diffeomorft till cosetvarianten i den enhetliga gruppen med avseende på den ortogonala undergruppen , medan $\Lambda _{n}$ $\mathbb {U} _{n}$ $\mathbb {O} _{n}$

\dim \,\Lambda _{n}={\frac {n(n+1)}{2))

Exempel

I ett komplext utrymme kan man definiera en bilinjär skev-symmetrisk form med formeln $\mathbb{C}^n$

\left\langle u,w\right\rangle =\operatörsnamn {Im} \left[u,w\right]

var är den hermitiska formen . Denna form definierar en symplektisk struktur på reifikationen av rymden .

\left[\cdot ,\cdot \right]

{\displaystyle \mathbb {R} ^{2n))

\mathbb{C}^n

För varje utrymme V finns det en kanonisk symplektisk struktur på utrymmet , där är utrymmet dual till V. Den skev-skalära produkten definieras för basvektorer i V och deras konjugat av formeln $V\oplus V^{*}$ $V^*$

\left\langle w,u\right\rangle =1,~~u^{*}=w,~~u\in V

\left\langle w,u\right\rangle =0,~~u^{*}\neq w,~~\forall u,w\in V\oplus V^{*}

och sträcker sig till alla andra vektorer genom linjäritet.

Se även

Litteratur

Arnold V. I., Givental A. B. Symplectic geometri . - 2:a uppl. - Izhevsk: RHD, 2000. - 168 sid. — ISBN 5-7029-0331-5 . (inte tillgänglig länk)
Arnold VI Klassisk mekaniks matematiska metoder. - 5:e uppl., stereotypt. - M. : Redaktionell URSS, 2003. - 416 sid. - 1500 exemplar. — ISBN 5-354-00341-5 .
Fomenko A. T. Symplektisk geometri. Metoder och tillämpningar . - M. : MSU Publishing House, 1988. - 414 sid. (inte tillgänglig länk)