Zermelo-Frenkel system

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 2 juni 2021; kontroller kräver 5 redigeringar .

Systemet av axiom av Zermelo-Fraenkel ( ZF ) är den mest använda versionen av axiomatisk mängdlära , som är de facto-standarden för matematikens grunder . Formulerad av Ernst Zermelo 1908 som ett sätt att övervinna mängdlärans paradoxer , och förfinad av Abraham Frenkel 1921 .

Valets axiom läggs ofta till detta system av axiom , och kallas för Zermelo-Fraenkel-mängdläran med valets axiom ( ZFC , engelska Zermelo-Fraenkel-mängdläran med valets axiom ).

Detta system av axiom är skrivet på första ordningens logiks språk . Det finns andra system; till exempel betraktar von Neumann-Bernays-Gödel (NBG) systemet av axiom så kallade klasser av objekt tillsammans med mängder , och är ekvivalent med ZF i den meningen att varje mängdsats (det vill säga utan att nämna klasser) som är bevisbar i det ena systemet, är också bevisbart i det andra.

ZFC-axiom

Axiomen för ZFC är följande sekvens av propositioner av mängdteorin :

$\forall A_{1}\forall A_{2}\ (\forall b\ (b\in A_{1}\Leftrightarrow b\in A_{2})\Rightarrow A_{1}=A_{2} )$ villkor för jämlikhet av mängder ( axiom för voluminöshet ).
${\displaystyle \forall a_{1}\forall a_{2}\ \exists C\ \forall b\ {\bigl (}b\in C\Leftrightarrow (b=a_{1}\ \lor \ b=a_{ 2}){\bigr )))$ förekomsten av en uppsättning som består av två element. $C=\{a_{1},a_{2}\}$
${\displaystyle \forall A\ \exists D\ \forall c\ {\bigl (}c\in D\Leftrightarrow \exists a\ (a\in A\ \land \ c\in a){\bigr )))$ förekomsten av en förening av element i en uppsättning. $D=\cup a_{i},A=\{a_{i}\}$
$\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$ förekomsten av en uppsättning delmängder av en uppsättning. $d={\mathcal {P}}(a)$
${\displaystyle \forall A\ \exists C\ \forall b\ {\bigl (}b\in C\Leftrightarrow b\in A\ \land \ \Phi [b]{\bigr )))$ förekomsten av en delmängd vars element uppfyller en given egenskap. $C=\{b:b\in A,\Phi [b]\}$
$\exists A\colon {\bigl (}\varnothing \in A\ \land \ \forall b\ (b\in A\Rightarrow b\cup \{b\}\in A){\bigr )}$ existensen av en oändlig mängd. ${\displaystyle A=\{\varnothing ,\{\varnothing \},\{\varnothing ,\{\varnothing \}\},...\))$
${\displaystyle \forall x\ \exists !y\ \phi [x,y]\Högerpil \forall A\ \exists D\ \forall c\ {\bigl (}c\in D\Leftrightarrow \exists b\ (b \in A\ \land \ \phi [b,c]){\bigr )))$ förekomsten av en funktionsbild. $D=\phi (A)$
$\forall A\ {\Bigl (}A\neq \varnothing \ \land \ \forall b\ (b\in A\Rightarrow b\neq \varnothing )\ \land \ \forall b_{1}\forall b_{2}\ (b_{1}\neq b_{2}\ \land \ \{b_{1},b_{2}\}\subseteq A\Rightarrow b_{1}\cap b_{2}=\ varnothing)$ ${\displaystyle \Rightarrow \exists D\forall b\ {\bigl (}b\in A\to \exists c\ (b\cap D=\{c\}){\bigr )}{\Bigr )))$ för varje klass av icke-korsande icke-tomma mängder finns det en mängd som innehåller ett element från varje mängd ( axiom of choice ). Inte exakt: ${\displaystyle D=\{c_{i}:c_{i}\in b_{i},i\in I\},A=\{b_{i}:i\in I\))$
${\displaystyle \forall A\ {\Bigl (}A\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ {\bigl (}b\in A\ \land \ \forall c\ (c\in b\Rightarrow c\notin A){\bigr )}{\Bigr )))$ Varje icke-tom klass innehåller en uppsättning , vars alla element inte är element i klassen ( axiom of regularity ). Inte exakt: $a$ $b$ $A$ $\exists b\in A:b\cap A=\varnothing$

Uppräkningen ges enligt boken Frenkel A. A., Bar-Hillel I. "Fundamentals of Set Theory".

Du kan införa axiom nummer 0 om förekomsten av en tom mängd , men detta är inget annat än en notation. Endast det unika med den tomma mängden är viktig, och den härleds från axiomen 1-5. Mängden {a} ska förstås som paret {a, a}. $\exists A\colon \forall b\ (b\notin A)$

Artikeln som diskuteras innehåller 10 påståenden (inklusive den tomma mängden axiom), som kan grupperas enligt följande.

Förklaring av ZFC:s axiom

ZFC:s axiom inkluderar:

0) en grupp påståenden om jämlikheten mellan mängder (axiom 1),

1) en grupp påståenden om förekomsten av mängder (axiom 0, 6),

2) en grupp påståenden om bildandet av mängder från redan existerande mängder (axiom 2, 3, 4 och scheman 5, 7), där tre undergrupper kan särskiljas,

3) en grupp påståenden om ordningen av de bildade mängderna (axiom 8, 9).

0. Kriterier för jämlikhet mellan set i ZFC

Följande uttalande uttrycker ett tillräckligt villkor för identiteten av två uppsättningar.

Axiom of extensionality ( Axiom of volym )

\forall A_{1}\forall A_{2}\ (\forall b\ (b\in A_{1}\leftrightarrow b\in A_{2})\to A_{1}=A_{2} )

Notera

"Tunnhetsaxiomet" kan anges på följande sätt: "Om varje element i den första uppsättningen tillhör den andra uppsättningen, och varje element i den andra uppsättningen tillhör den första uppsättningen, då är båda uppsättningarna identiska."

Ett nödvändigt villkor för identiteten av två uppsättningar har formen och härleds från predikataxiomen , nämligen: $\forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}=A_{2}\to \forall b\ (b\in A_{1}\leftrightarrow b\in A_{2}) )$ $=$

\forall a\ (a=a)

\forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}=A_{2}\to (\varphi [A_{1}]\to \varphi [A_{2}]))

, var är någon matematiskt korrekt bedömning om , och är samma bedömning, men om .

\varphi [a_{1}]

a_{1}

\varphi [a_{2}]

a_{2}

Kombinationen av det angivna nödvändiga villkoret [mängdsidentitet] med axiomet för tredimensionalitet ger följande kriterium för uppsättningarnas likhet :

\forall A_{1}\forall A_{2}\ (A_{1}=A_{2}\leftrightarrow \forall b\ (b\in A_{1}\leftrightarrow b\in A_{2}) \ )

1. ZFC axiom om förekomsten av uppsättningar

"Volymaxiomet" skulle vara ett värdelöst förslag om det inte fanns någon uppsättning, eller bara en uppsättning.

Följande två påståenden garanterar att det finns minst två olika mängder, nämligen: a) en mängd med ingenting i sig, och b) en mängd som innehåller ett oändligt antal element.

1.0 Den tomma mängden axiom

\exists A\forall b\ (b\notin A)

Notera

"Axiomet [för existensen av] en tom mängd" kan anges på följande sätt: "Det finns [minst en] mängd utan ett enda element."

Det är bevisat att "tommängdens axiom" är ekvivalent med påståendet . Därför kan en enda uppsättning ges ett namn. Det finns två vanliga namn: och . Med dessa namn skrivs "tommängdens axiom" som följer: $\exists !A\forall b\ (b\notin A)$ $a$ $\varnothing$ $\{\}$

\forall b\ (b\notin \varnothing )

och

\forall b\ (b\notin \{\})

1.1 Oändlighetens axiom

\exists A\ (\varnothing \i A\ \land \ \forall b\ (b\in A\to b\cup \{b\}\in A)\ )

, var

{\displaystyle b\cup \{b\}=\{c\colon c\in b\ \lor \ c=b\))

Notera

"Oändlighetens axiom" kan anges på följande sätt: "Det finns [minst en] ' oändlig mängd ' som består av ." $\varnothing ,\ \ \varnothing \cup \{\varnothing \},\ \ \varnothing \cup \{\varnothing \}\cup \{\varnothing \cup \{\varnothing \}\},\ \ ldots$

Påståendet om existensen av en oändlig mängd skiljer sig från (falskt i denna axiomatik) påståendet om existensen av " mängden av alla mängder " ( ). $\exists A\forall b\ (b\in A)$

2. ZFC-axiom för bildandet av uppsättningar

Följande fem påståenden kan kallas axiomen för bildandet av mängder [från befintliga mängder, inklusive minst en ]. $\varnothing$ $\infty$

Var och en av dessa fem propositioner är byggda på grundval av en proposition som härrör från predikatets axiom . $\forall A\exists b\ (b=\varphi [A])$ $=$

Dessa fem påståenden kan grupperas i följande undergrupper:

2.0) en grupp postulat om bildandet av mängder genom att räkna upp deras element,

2.1) en grupp förklaringar om upprättande och avskaffande av familjer av uppsättningar,

2.2) en grupp scheman för bildandet av uppsättningar med hjälp av matematiskt korrekta bedömningar.

2.0. Postulatet för bildandet av mängder genom att räkna upp deras element: Axiom för ett par

Det enklaste sättet att skapa en ny uppsättning [från redan befintliga uppsättningar] är att "peta ett finger" på varje uppsättning som ska bli ett element [i uppsättningen som bildas]. I ZFC representeras detta sätt att bilda uppsättningar av ett axiom, där "fingerpekande" modelleras med predikatet . $=$

2.0 Par axiom

\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})

, vad är

\forall a_{1}\forall a_{2}\exists c\ (c=\{b\colon b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2}\})

Notera

"Axiomet för det [oordnade] paret" kan formuleras på följande sätt: "Från vilken som helst två mängder är det möjligt att bilda ett" oordnat par ", det vill säga en sådan mängd , vars varje element är identiskt med en given mängd eller en given uppsättning ." $c$ $b$ $a_{1}$ $a_{2}$

Exempel

1.\ a_{1}=0\ \land \ a_{2}=1\Högerpil \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=0\ \lor \ b=1)

2.\ a_{1}=\varnothing \ \land \ a_{2}=\{\varnothing \}\Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=\varnothing \\ lor \ b=\{\varnothing \}\ )

Det är bevisat att "paraxiomet" är ekvivalent med påståendet . Därför kan en enda uppsättning ges ett namn . Med det angivna namnet skrivs "paraxiomet" på följande sätt: $\forall a_{1}\forall a_{2}\exists !c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})$ $c$ $\{a_{1},a_{2}\}$

\forall a_{1}\forall a_{2}\forall b\ (b\in \{a_{1},a_{2}\}\leftrightarrow b=a_{1}\ \lor \ b= a_{2})

eller

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\{a_{1},a_{2}\}=\{b\colon b=a_{1}\ \lor \ b=a_{ 2}\})

2.1. Förklaringar om upprättande och avskaffande av familjer av uppsättningar

De följande två axiomen, kallade "mängddelmängdens axiom" och "unionsaxiomet", kan ses som ett naturligt komplement till "paraxiomet". För att verifiera detta noterar vi följande.

Det är känt att varje uppsättning har delmängder inklusive [kopia av den tomma uppsättningen] och [kopia av själva uppsättningen] . Med andra ord, $z$ $\varnothing$ $z$

\forall z\exists x\exists y\ (x\subseteq z\ \land \ y\subseteq z)\quad \land \quad \forall z\ (\varnothing \subseteq z\ \land \ z\subseteq z)

Med hjälp av "paraxiomet" kan man bilda ett oordnat par från de namngivna delmängderna . Låt oss kalla det här paret en familj . $\{\varnothing ,z\}$ $Fam_{2}(z)$

Om det är möjligt att bilda en familj från två delmängder av mängden , är det möjligt att deklarera bildandet av en familj från alla delmängder av mängden . $Fam_{2}(z)$ $z$ $Fam_{a}(z)$ $z$

För att förklara bildandet av en familj räcker det att kräva att varje element i den namngivna familjen är en delmängd av mängden och varje delmängd av den namngivna mängden är ett element i familjen . Med andra ord,

Fam_{a}(z)

b

z

b

Fam_{a}(z)

\forall b\ (b\in Fam_{a}(z)\to b\subseteq z)\ \land \ \forall b\ (b\subseteq z\to b\in Fam_{a}(z) \ )

, vilket är detsamma som att erbjuda

\forall b\ (b\in Fam_{a}(z)\leftrightarrow b\subseteq z)

, vilket innebär ett erbjudande

\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq z)

, vilket är ett specialfall av uttalandet

\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

Om upprättandet av en familj kan förklaras, så kan avskaffandet av den namngivna familjen förklaras. $Fam_{a}(z)$

Olika sätt att avskaffa familjen är tänkbara , inklusive:

Fam_{a}(z)

1) dess fullständiga avskaffande (förstörelse), det vill säga, vilket motsvarar

Del(Fam_{a}(z))=\varnothing

\forall c\ (c\in Del(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in \varnothing )

, 2) dess fiktiva avskaffande (reservation), det vill säga, vilket motsvarar

Fic(Fam_{a}(z))=Fam_{a}(z)

\forall c\ (c\in Fic(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in Fam_{a}(z))

, 3) dess omvända avskaffande (upplösning), det vill säga, vilket motsvarar

Rev(Fam_{a}(z))=z

\forall c\ (c\in Rev(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in z)

. Eftersom det

c\in z\Leftrightarrow \{c\}\in Fam_{a}(z)\Leftrightarrow \exists b\ (b=\{c\}\ \land \ b\in Fam_{a}(z ))\Leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in Fam_{a}(z))

, såvitt avser förslaget

\forall c\ (c\in Rev(Fam_{a}(z))\leftrightarrow c\in z)

är liktydigt med ett erbjudande

\forall c\ (c\in Rev(Fam_{a}(z))\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in Fam_{a}(z))\ )

, vilket innebär ett erbjudande

\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in Fam_{a}(z))\ )

, vilket är ett specialfall av uttalandet

\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in a)\ )

Av det föregående följer att uttalandena och villkorligt kan anses vara oberoende. $\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$ $\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (c\in b\ \land \ b\in a)\ )$

2.1.0 Uppsättningen av delmängder axiom (booleskt axiom )

\forall a\exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)

vad är var

\forall a\exists d\ (d=\{b\colon b\subseteq a\})

b\subseteq a\Leftrightarrow \forall c\ (c\in b\to c\in a)

Notera

"Axiomet för uppsättningen av delmängder" kan formuleras på följande sätt: "Från vilken mängd som helst är det möjligt att bilda en "superhög", det vill säga en uppsättning som består av (riktiga eller olämpliga) delmängder av en given uppsättning ." $a$ $d$ $b$ $a$

Exempel

1.\ a=\varnothing \Rightarrow \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing \})

, därför att

\forall a\ (\varnothing \subseteq a\land a\subseteq a)

2.\ a=\{\varnothing \}\Rightarrow \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing ,\{\varnothing \}\})\Leftrightarrow \ existerar d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b=\varnothing \ \lor \ b=\{\varnothing \})

3.\ a=\{1,2,3\}\Rightarrow \exists d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing ,\{1\},\{2 \},\{3\},\{1,2\},\{1,3\},\{2,3\},\{1,2,3\}\})

4.\ a=\{a_{1},a_{2}\}\Rightarrow \exists d\forall b(b\in d\leftrightarrow b\in \{\varnothing ,\{a_{1} \},\{a_{2}\},\{a_{1},a_{2}\}\})

Det är bevisat att "axiomet för mängden delmängder" är ekvivalent med påståendet . Därför kan en enskild mängd ges ett namn som uttalas: "mängden av alla delmängder av [mängder] " eller " booleska [mängder] ". Med det angivna namnet skrivs "uppsättningen av delmängder axiom" som: $\forall a\exists !d\forall b\ (b\in d\leftrightarrow b\subseteq a)$ $d$ ${\mathcal {P}}(a)$ $a$ $a$

\forall a\forall b\ (b\in {\mathcal {P}}(a)\leftrightarrow b\subseteq a)

eller

\forall a\ ({\mathcal {P}}(a)=\{b\colon b\subseteq a\})

2.1.1 Enhetsaxiomet

\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\ )

, vad är

\forall a\exists d\ (d=\{c\kolon \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\})

Notera

Enhetsaxiomet [av mängder] kan formuleras på följande sätt: "Från vilken familj av mängder som helst kan man bilda en "hög-liten", det vill säga en sådan mängd , vars varje element tillhör åtminstone en uppsättning av denna familj ”. $d$ $c$ $b$ $a$

Exempel

1.\ a={\mathcal {P))(\varnothing )=\{\varnothing \}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \varnothing )

2.\ a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\Högerpil \exists d\forall c \ (c\in d\leftrightarrow c\in {\mathcal {P))(\varnothing )\ )\Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{\varnothing \})

{\begin{aligned}3.\ a=\{b_{1},b_{2},b_{3}\}=\{\{0,1\},\{1,2\},\{ 3\}\}\Rightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{0,1\}\lor c\in \{1,2\}\lor c\in \{ 3\})\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{0,1,2,3\})\end{aligned}}

4.\ a=\{b,\{b\}\}\Högerpil \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in b\cup \{b\})\Leftrightarrow \ existerar d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in b\ \lor \ c=b)

5.\ a=(a_{1},a_{2})=\{\{a_{1}\},\{a_{1},a_{2}\}\}=\{\ {a_{1},a_{1}\},\{a_{1},a_{2}\}\}\Högerpil \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{a_ {1},a_{2}\})

6.\ a=\langle a_{1},a_{2}\rangle =\{a_{1},\{a_{1},a_{2}\}\}\Högerpil \exists d\ forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in a_{1}\cup \{a_{1},a_{2}\})

7.\ a={\mathcal {P}}(\{a_{1},a_{2}\})=\{\varnothing ,\{a_{1}\},\{a_{2 }\},\{a_{1},a_{2}\}\}\Högerpil \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{a_{1},a_{2}\ })

Det är bevisat att unionsakxiomet är likvärdigt med propositionen . Därför kan en enda uppsättning ges ett namn som uttalas: " föreningen av en familjs uppsättningar " . Med hjälp av det angivna namnet skrivs unionsakxiomet på följande sätt: $\forall a\exists !d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\ )$ $d$ $\cup \,a$ $a$

\forall a\forall c\ (c\in \cup a\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\ )

eller .

\forall a\ (\cup a=\{c\kolon \exists b\ (b\in a\ \land \ c\in b)\}\ )

Föreningen av familjens uppsättningar ( ) ska inte förväxlas med skärningspunkten mellan familjens uppsättningar ( ), som är känt: $a$ $\cup a$ $a$ $\cap a$

\forall a\forall c\ (c\in \cap a\leftrightarrow \forall b\ (b\in a\to c\in b)

, det är

\forall a\ (\cap a=\{c\colon \forall b\ (b\in a\to c\in b)\})

2.2. Schema för bildandet av mängder med hjälp av matematiskt korrekta bedömningar

Bland matematiska påståenden finns det axiom för samband, inklusive:

a) axiomet för sambandet mellan en algebraisk operation (lägg till) och en algebraisk operation (multiplicera) $+$ $\cdot$

\forall x\forall y\forall z\ (x\in \mathbb {R} \land \ y\in \mathbb {R} \land z\in \mathbb {R} \to (x+y) \cdot z=x\cdot z+y\cdot z)

b) axiomet för förhållandet mellan ordningsrelationen (mindre än eller lika med) och den algebraiska operationen (lägg till) $\leq$ $+$

\forall x\forall y\forall z\ (x\in \mathbb {R} \land y\in \mathbb {R} \land z\in \mathbb {R} \to (x\leq y\ till x+z\leq y+z))

De följande två påståendena, kallade "extraktionsschema" och "transformationsschema", är axiom för samband mellan mängder (till exempel mängd ) och matematiskt korrekta påståenden (till exempel proposition ). $\{0,1\}$ $x\leq 0$

"Scheme of selection" och "schema of transformation" uttrycker följande enkla idé: "Varje matematiskt korrekt bedömning av elementen i någon mängd leder till bildandet av [samma eller annan] mängd."

Matematiskt korrekta bedömningar som förekommer i "selektionsschemat" tillåter att "föra [till en presentation]" de uppsättningar som bildas, till exempel med hjälp av det booleska axiomet.

Matematiskt korrekta bedömningar som visas i "transformationsschemat" gör att du kan skapa "[matematiska] produkter" från ["grova"] uppsättningar bildade, till exempel med hjälp av det booleska axiomet.

2.2.0 Urvalsschema

\forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ \Phi [b]\ )

, vad är , var finns någon matematiskt korrekt bedömning om , men inte om mängden och inte om mängden .

\forall a\exists c\ (c=\{b\colon b\in a\ \land \ \Phi [b]\}\ )

\Phi [b]

b

a

c

Notera

Schemat för att välja [delmängder] kan formuleras enligt följande: "Från varje uppsättning kan man välja [minst en] delmängd genom att göra en bedömning av varje element i denna uppsättning ." $c$ $\Phi$ $b$ $a$

Exempel

1.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x=x)\Rightarrow \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b=b)

2.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x\neq x)\Rightarrow \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\neq b )

3.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x\in y)\Rightarrow \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\in y )

4.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x\notin y)\Rightarrow \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ b\notin y )

5.\ (\Phi [x]\leftrightarrow x<2)\ \land \ a=\mathbb {N} \Rightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in \mathbb {N} \ \land \ b<2)\Leftrightarrow \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in \{0,1\})

\begin{align} 6. \ (\Phi[x] \leftrightarrow \exist k \ (k \in \mathbb{N} \land x = 2k)) \land a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist c \forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \mathbb{N} \land \exist k \ (k \in \mathbb{N} \land b = 2k)) \\ \ \Leftrightarrow \exist c \ forall b \ (b \in c \leftrightarrow b \in \{0,2,4,6,\ldots\}) \end{align}

{\begin{aligned}7.\ (\Phi [x]\ \leftrightarrow \ \exists u\exists v\ (u\in U\ \land \ v\in V\ \land \ x=(u,v) \ )\ )\quad \land \quad a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(U\cup V))\\\ \Högerpil \exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in {\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(U\cup V))\ \land \ \exists u\exists v\ (u\in U\land v\in V \land b=(u,v)))\end{aligned}}

Det är bevisat att urvalsschemat är likvärdigt med påståendet . Därför kan en enda delmängd ges ett namn . Med det angivna namnet skrivs tilldelningsschemat enligt följande: $\forall a\exists !c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b\in a\ \land \ \Phi [b]\ )$ $c$ $\{x\colon x\in a\land \Phi [x]\}$

\forall a\forall b\ (b\i \{x\kolon x\in a\land \Phi [x]\}\leftrightarrow b\in a\ \land \ \Phi [b]\ )

eller

{\displaystyle \forall a(\{x\colon x\in a\ \land \ \Phi [x]\}=\{b\colon b\in a\ \land \ \Phi [b]\))

Urvalsschemat är ekvivalent med en räknebar uppsättning axiom.

2.2.1 Konverteringsschema

\forall x\exists !y\ (\phi [x,y])\ \to \\forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a \ \land \ \phi [b,c]\ )\ )

, vad är

\forall x\exists !y\ (\phi [x,y])\ \to \ \forall a\exists d\ (d=\{c\kolon \exists b\ (b\in a\\ land \ \phi [b,c])\}\ )

Notera

Transformationsschemat för [uppsättning] kan formuleras på följande sätt: "Varje uppsättning kan omvandlas till [samma eller annan] uppsättning genom att uttrycka någon sann matematiskt korrekt funktionell bedömning om alla element i denna uppsättning ." $d$ $\phi$ $b$ $a$

Exempel

1.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=x)\Rightarrow \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\\ land \ c=b))\Leftrightarrow \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in a)

{\begin{aligned}2.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=x^{2})\ \land \ a=\{1,2,3\}\Högerpil \exists d\forall c \ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in \{1,2,3\}\ \land \ c=b^{2}))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{1,4,9\})\end{aligned}}

3.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow y=f(x))\Rightarrow \forall a\exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\in) a\ \land \ c=f(b)\ )\ )

{\begin{aligned}4.\ (\phi [x,y]\leftrightarrow (x=\varnothing \to y=a_{1})\land (x\neq \varnothing \to y=a_{2}) \ )\quad \land \quad a={\mathcal {P}}({\mathcal {P}}(\varnothing ))=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\\\ \Rightarrow \ existerar d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow \exists b\ (b\i \{\varnothing ,\{\varnothing \}\}\land (b=\varnothing \to c=a_{1}) \land (b\neq \varnothing \to c=a_{2})\ ))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c=a_{1}\ \lor \ c =a_{2})\end{aligned}}

\begin{align} 5. \ (\phi[x,y] \leftrightarrow y = 2x) \ \land \ a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow \ existerar b \ (b \in \mathbb{N} \land c = 2b)) \\ \ \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \i \{0,2,4,6 ,\ldots\}) \end{align}

\begin{align} 6. \ (\phi[x,y] \leftrightarrow y = 2x + 1) \ \land \ a = \mathbb{N} \Rightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \ vänsterhögerpil \exist b \ (b \in \mathbb{N} \land c = 2b + 1)) \\ \ \Leftrightarrow \exist d \forall c \ (c \in d \leftrightarrow c \in \{1,3 ,5,7,\ldots\}) \end{align}

{\begin{aligned}7.\ (\phi [x,y]\vänsterhögerpil (x\i {\mathbb {N))\ \land \ x<2\till y=x)\ \land \ (x\ i {\mathbb {N}}\ \land \ \neg (x<2)\till y=1))\quad \land \quad a={\mathbb {N}}\\\ \Högerpil \exists d\ forall c(c\in d\leftrightarrow \exists b(b\in {\mathbb {N))\ \land \ (b\in {\mathbb {N))\land b<2\to c=b)\ \land \ (b\i {\mathbb {N))\land \neg (b<2)\till c=1)))\\\ \Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in {\mathbb {N}}\ \land \ c<2)\Leftrightarrow \exists d\forall c\ (c\in d\leftrightarrow c\in \{0,1\})\end{aligned} }

Det är bevisat att uppsättningen i transformationsschemat är unik. Därför kan den angivna uppsättningen ges namnet . Med det angivna namnet skrivs transformationsschemat enligt följande: $d$ ${\displaystyle \{y\kolon \exists x\ (x\in a\ \land \ \phi [x,y])\))$

\forall x\exists !y(\phi [x,y])\to \forall a\forall c\ (c\in \{y\kolon \exists x\ (x\in a\ \land\ \phi [x,y])\}\leftrightarrow \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\ )

eller

\forall x\exists !y(\phi [x,y])\to \forall a(\{y\kolon \exists x\ (x\in a\ \land \ \phi [x,y] )\}=\{c\kolon \exists b\ (b\in a\ \land \ \phi [b,c])\}\ )

Transformationsschemat är ekvivalent med en räknebar uppsättning axiom.

3. ZFC:s axiom för ordningen av uppsättningar

De följande två påståendena definierar ordningen av mängderna som bildas av och var och en med hjälp av axiomen för mängdbildning. $\varnothing$ $\infty$

3.0 Axiom för regelbundenhet

\forall a\ (a\neq \varnothing \to \exists b\ (b\in a\ \land \ \forall c\ (c\in b\to c\notin a)\ )\ )

Notera

"Axiomet för Regularitet" kan anges på följande sätt: "I vilken familj av uppsättningar som helst finns det [minst en] uppsättning , vars varje element inte tillhör den givna familjen ." $b$ $c$ $a$

Exempel

{\begin{aligned}1.\ a=\{x\}\Rightarrow a\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ (b\in \{x\}\land \forall c\ (c\in b\ till c\notin \{x\})\ )\\\ \Vänsterhögerpil \exists b\ (b\in \{x\}\land \forall c\ (c\in \{x\}\to c\notin b))\Högerpil \forall x(x\notin x)\\\ \Leftrightarrow \forall a(a\notin a)\Leftrightarrow \forall a\forall b\ (a\in b\ \lor \ b\in a \to a\neq b)\end{aligned}}

Jämför med påståenden och , och även .

\forall a\ (a=a)

\forall a\ (a\inte <a)

\forall a\forall b\ (a<b\ \lor \ b<a\to a\neq b)

{\begin{aligned}2.\ a=\{x,y\}\Rightarrow a\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ (b\in \{x,y\}\ \land \ \forall c\ (c\in b\to c\notin \{x,y\}))\\\ \Rightarrow \forall x\forall y\ (x\in y\to y\notin x)\\\ \Leftrightarrow \forall a\forall b\ (a\in b\to b\notin a)\end{aligned}}

Jämför med påståenden och .

\forall a\forall b\ (a=b\to b=a)

\forall a\forall b\ (a<b\to b\not <a)

{\begin{aligned}3.\ a=\{x,y,z\}\Rightarrow a\neq \varnothing \Rightarrow \exists b\ (b\in \{x,y,z\}\land \forall c\ (c\in b\to c\notin \{x,y,z\}))\\\ \Rightarrow \forall a\forall b\forall c\ (a\in b\land b\in c\ till c\notin a)\end{aligned}}

Jämför med påståenden och .

\forall a\forall b\forall c\ (a=b\land b=c\to c=a)

\forall a\forall b\forall c\ (a<b\land b<c\to c\not <a)

3.1 The Axiom of Choice

{\begin{aligned}\forall a\ (a\neq \varnothing \land \forall b\ (b\in a\to b\neq \varnothing )\land \forall b_{1}\forall b_{2}\ (b_{1}\neq b_{2}\land \{b_{1},b_{2}\}\subseteq a\to b_{1}\cap b_{2}=\varnothing )\\\ \to \exists d\forall b\ (b\in a\to \exists c\ (b\cap d=\{c\})\ )\ )\end{aligned}}

Notera

"Valets axiom" kan formuleras på följande sätt: "Från vilken familj som helst av icke-tomma parvis disjunkta uppsättningar kan man välja en "delegering", det vill säga en uppsättning som har ett element från varje uppsättning av denna familj . $d$ $c$ $b$ $a$

Exempel Antag att familjen bildas av mängden icke-negativa jämna tal och mängden icke-negativa udda tal. I det här fallet är alla villkor för "valets axiom" uppfyllda, nämligen:

1.\quad \{\{0,2,4,\ldots \},\ \{1,3,5,\ldots \}\}\neq \varnothing

2.\quad \{0,2,4,\ldots \}\neq \varnothing \quad \land \quad \{1,3,5,\ldots \}\neq \varnothing

3.\quad \{0,2,4,\ldots \}\ \cap \ \{1,3,5,\ldots \}=\varnothing

. Därför är det möjligt att bilda åtminstone en "delegation" bestående av en "delegat" (till exempel siffran noll) från uppsättningen och en "delegat" (till exempel nummer ett) från uppsättningen . Verkligen:

\{0,2,4,\ldots\}

\{1,3,5,\ldots\}

\{0,2,4,\ldots \}\ \cap \ \{0,1\}=\{0\}

{\displaystyle \{1,3,5,\ldots \}\ \cap \ \{0,1\}=\{1\))

Anteckningar

1. Om ZFC är konsekvent, kan dess konsistens inte bevisas med hjälp av ZFC, enligt Gödels andra sats .

Historisk bakgrund

Uppenbarligen bestod den ursprungliga versionen av mängdteorin, medvetet kallad läran om mängder av den tyske matematikern Georg Cantor , av två axiom, nämligen:

1) volymaxiom , som gör att vi kan formulera ett kriterium för jämlikhet mellan mängder ,

\forall a_{1}\forall a_{2}\ (\forall b\ (b\in a_{1}\leftrightarrow b\in a_{2})\to a_{1}=a_{2} )

2) "axiom för matematisk frihet" , som låter dig skapa uppsättningar med hjälp av "frihetens dom" .

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow \Phi [a,c])

\Phi [a,c]

"Axiomet för matematisk frihet" har rationella konsekvenser, inklusive följande:

\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c\neq c)

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c=a)

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c=a\ \lor \ c=x)

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c\in a\land \Phi [c])

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c\subseteq a)

\forall a\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow \exists d\ (d\in a\land c\in d))

År 1903 uppmärksammade den engelske filosofen Bertrand Russell följande:

1) vägledd av "axiomet för matematisk frihet", är det omöjligt att skilja mellan "frihet" och "tillåtande", 2) genom att välja som den mest triviala matematiska propositionen får vi ett uttalande om existensen av "en uppsättning av alla uppsättningar" , från vilken det finns "ett steg" till Russells paradox .

\Phi [a,c]

c=c

\exists b\forall c\ (c\in b\leftrightarrow c=c)

Dessa kritiska uttalanden om den "tyska läran [om mängder]" fick den tyske matematikern Ernst Zermelo att ersätta "axiomet för matematisk frihet" med dess konsekvenser som inte skulle orsaka protester från matematiker.

År 1908 publicerade Ernst Zermelo i tidskriften Mathematische Annalen följande sju axiom:

1) volymens axiom ( tyska Axiom der Bestimmtheit ); 2) ett axiom om existensen av "elementära mängder" ( tyska: Axiom der Elementarmengen ) , och som kan skrivas i följande form:

\varnothing

\{a\}

\{a_{1},a_{2}\}

\exists a\forall b\ (b\notin a)\ \land \ \forall a\exists c\forall b\ (b\in c\leftrightarrow b=a)\ \land \ \forall a_{1 }\forall a_{2}\exists c\forall b\ (b\in c\ \leftrightarrow \ b=a_{1}\ \lor \ b=a_{2})

; 3) urvalsschema ( tyska Axiom der Aussonderung ); 4) axiomet för uppsättningen av delmängder ( tyska: Axiom der Potenzmenge ); 5) enande axiom ( tyska: Axiom der Vereinigung ); 6) valets axiom ( tyska: Axiom der Auswahl ); 7) oändlighetens axiom ( tyska Axiom der Unendlichkeit ) i en formulering som skiljer sig från den moderna formuleringen.

Sålunda förvandlades "mängdläran" till teorin om mängder, nämligen teorin om ZC [ Z ermelo mängdteorin med valets axiom].

Det sista axiomet i ZC-teorin (oändlighetens axiom) förde Georg Cantors anhängare närmare anhängarna till Leopold Kronecker , som betraktade mängden naturliga tal som matematikens heliga gral . $\mathbb {N}$

Det näst sista axiomet för ZC-teorin (valets axiom) har blivit föremål för livliga matematiska diskussioner. Detta axiom är faktiskt inte en konsekvens av "axiomet för matematisk frihet".

1922 kompletterade den tyske matematikern Abraham Frenkel och den norske matematikern Turalf Skolem ZC-teorin med ett transformationsschema . Som ett resultat förvandlades ZC-teorin till ZFC-teorin [ Zermelo - Fraenkel mängdteorin med valets axiom ].

År 1925 kompletterade den ungerske matematikern John von Neumann ZFC-teorin med axiomet regelbundenhet . En av konsekvenserna av detta axiom ( ) "begravde" både "uppsättningen av alla uppsättningar" och " Russells paradox ". $\forall a\ (a\notin a)$

Se även

Zermelos teorem

Litteratur

Kolmogorov A. N. , Dragalin A. G. Matematisk logik. — M.: URSS, 2005. — 240 sid.
Frenkel A. A. , Bar-Hillel I. Mängdlärans grunder. — M.: Mir, 1966. — 556 sid.
Fraenkel, Abraham ; Bar-Hillel, Yehoshua ; Levy, AzrielGrunder för mängdteorin (neopr.) . — North-Holland , 1973.Fraenkels sista ord om ZF och ZFC.
Hatcher, William. Matematikens logiska grunder. — Pergamon Press, 1982.
Hinman, Peter. Grunderna i matematisk logik. — A. K. Peters, 2005. - ISBN 978-1-56881-262-5 .
Jech, ThomasSet Theory: The Third Millennium Edition, reviderad och utökad . — Springer, 2003. - ISBN 3-540-44085-2 .
Kunen, KennethMängdlära: Enintroduktion till oberoende bevis . - Elsevier , 1980. - ISBN 0-444-86839-9 .
Levy, Azriel. Grundläggande mängdteori. - Dover Publications , 2002. - ISBN 0486420795 .
Länk, Godhard. Formalism and Beyond: On the Nature of Mathematical Discourse (engelska) . - Walter de Gruyter GmbH & Co KG , 2014. - ISBN 978-1-61451-829-7 .
Quine, Willard van Orman. Mängdlära och dess logik . — Reviderad. - Cambridge, Massachusetts och London, England: Harvard University Press , 1969. - ISBN 0-674-80207-1 .
Montage, Richard . Semantisk stängning och icke-ändlig axiomatiserbarhet // Infinistiska metoder. — London: Pergamon Press, 1961. - S. 45-69.
Shoenfield, Joseph R. Mängdlärans axiom // Handbook of Mathematical Logic / Barwise, KJ. - 1977. - ISBN 0-7204-2285-X .
Takeuti, Gaisi; Zaring, W M. Introduktion till axiomatisk mängdlära. — 1982.
Tarski, AlfredPå välordnade delmängder av valfri uppsättning // Fundamenta Mathematicae : journal . - 1939. - Vol. 32 . - S. 176-183 .

Länkar

Hazewinkel, Michiel, red. (2001), ZFC , Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
Metamatversion av ZFC-axiomen ; En kortfattad och icke-redundant axiomatisering. Bakgrundens första ordningslogik definieras speciellt för att underlätta maskinverifiering av bevis
En härledning i Metamath
Axiomatics of Set Theory (engelska) på PlanetMath-webbplatsen .

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor katalanska stor kines Britannica (online)