Ett perfekt tal ( annan grekisk ἀριθμὸς τέλειος ) är ett naturligt tal lika med summan av alla dess egna divisorer (det vill säga alla positiva divisorer förutom själva talet). Till exempel är talet 6 lika med summan av sina egna delare 1 + 2 + 3 . Detta koncept introducerades av pytagoreerna på 600-talet f.Kr. e.; enligt deras numerologiska mystik vittnade sammanträffandet av ett tal med summan av dess delare om den speciella perfektion av ett sådant tal [1] .
Om vi summerar alla divisorer för ett tal (det vill säga adderar själva talet) eller får en annan ekvivalent definition: Perfekta tal är tal där summan av alla divisorer är 2 gånger större än själva talet.
När de naturliga talen ökar blir de perfekta talen sällsynta. Det är inte känt om mängden av alla perfekta tal är oändlig. Det är inte heller känt om någon av dem är udda.
Perfekta tal bildar sekvensen A000396 i OEIS :
Algoritmen för att konstruera jämna perfekta tal beskrivs i bok IX av Euclid 's Beginnings , där det bevisades att ett tal är perfekt om talet är primtal (de så kallade Mersenne-primtalen ) [2] . Därefter bevisade Leonhard Euler att alla jämna perfekta tal har den form som anges av Euklid.
I forntida tider var bara de första fyra perfekta talen (motsvarande p = 2, 3, 5 och 7) kända, de ges i aritmetiken av Nicomachus av Geraz .
Det femte perfekta talet 33 550 336 , motsvarande p = 13, hittades 1536 av den holländska matematikern Hudalrich Perius ( lat. Hudalrichus Regius ) i avhandlingen " Utriusque Arithmetices " (1536) [3] . Senare upptäcktes detta nummer också av historiker i ett opublicerat manuskript av Regiomontanus från 1461 [4] .
År 1603 upptäckte och publicerade den italienske matematikern Cataldi de sjätte och sjunde perfekta talen: 8589869056 och 137438691328 . De motsvarar p = 17 och p = 19 .
I början av 1900-talet hittades ytterligare tre perfekta tal (för p = 89, 107 och 127). Därefter avtog sökningen fram till mitten av 1900-talet, när det med datorernas tillkomst blev beräkningar som översteg mänskliga förmågor möjliga.
För 2019 är 51 perfekta tal kända, som härrör från Mersenne-primtal , som söks efter av GIMPS distribuerade datorprojekt .
Udda perfekta tal har ännu inte upptäckts, men det har inte bevisats att de inte existerar. Det är också okänt om mängden udda perfekta tal är ändlig, om de finns.
Det har bevisats att ett udda perfekt tal, om det finns, är större än 10 1500 ; medan antalet primtalsdelare för ett sådant tal, med hänsyn till multipliciteten, inte är mindre än 101 [5] . OddPerfect.orgs distribuerade datorprojekt är engagerat i sökandet efter udda perfekta tal .
Den speciella ("perfekta") naturen hos siffrorna 6 och 28 har erkänts i kulturer med rötter i de abrahamitiska religionerna , som hävdar att Gud skapade världen på 6 dagar och som har märkt att månen kretsar runt jorden på cirka 28 dagar. .
James A. Eshelman i The Hebrew Hierarchical Names of Briah [7] skriver att enligt gematria :
Lika viktig är idén som uttrycks av talet 496. Detta är den "teosofiska förlängningen" av talet 31 (det vill säga summan av alla heltal från 1 till 31). Detta är bland annat summan av ordet Malchut (rike). Således uppträder kungariket, den fullständiga manifestationen av den primära idén om Gud, i gematria som ett naturligt komplement eller manifestation av numret 31, vilket är numret på namnet 78.
" Leviathan " (lit. "writhing") - en av mörkrets fyra furstar, förkroppsligad i form av en orm. Att hålla Leviathan betyder därför att kontrollera Nefeshs energier förknippade med Sephirah Yesod. För det andra kan "böjd orm" också betyda "lindad orm", det vill säga Kundalini . För det tredje är gematrien för ordet "Leviatan" 496, liksom ordet "Malchut" (Kungariket); Tanken att ärkeängeln Yesod håller tillbaka Malchuts natur ger rik tankeställare. För det fjärde är talet 496 summan av siffror från 1 till 31, det vill säga den fullständiga expansionen, eller manifestationen, av namnet "El", det gudomliga namnet på de tre högsta sefirot i Briah (inklusive sefiran Kether , vars ängel är Yehoel).
I The City of God skrev Saint Augustine :
Siffran 6 är perfekt i sig, och inte för att Herren skapade allt på 6 dagar; snarare, tvärtom, Gud skapade allt på 6 dagar eftersom detta nummer är perfekt. Och det skulle förbli perfekt även om det inte fanns någon skapelse på 6 dagar.
Forntida matematiker särskiljde tre typer av naturliga tal , beroende på summan av deras egna divisorer :
Modern forskning har visat att undersiffror är vanligast, cirka 75 %. Överskottsantalet är något mindre än 25 %. Andelen perfekta tal i intervallet från 1 till tenderar mot noll med tillväxt [9] .
Ett naturligt tal vars summa av alla divisorer är en multipel av själva talet kallas en multiperfekt [10] .
![]() | |
---|---|
I bibliografiska kataloger |