Perfekt nummer

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 21 februari 2022; kontroller kräver 3 redigeringar .

Ett perfekt tal ( annan grekisk ἀριθμὸς τέλειος ) är ett naturligt tal lika med summan av alla dess egna divisorer (det vill säga alla positiva divisorer förutom själva talet). Till exempel är talet 6 lika med summan av sina egna delare 1 + 2 + 3 . Detta koncept introducerades av pytagoreerna på 600-talet f.Kr. e.; enligt deras numerologiska mystik vittnade sammanträffandet av ett tal med summan av dess delare om den speciella perfektion av ett sådant tal [1] .

Om vi summerar alla divisorer för ett tal (det vill säga adderar själva talet) eller får en annan ekvivalent definition: Perfekta tal är tal där summan av alla divisorer är 2 gånger större än själva talet. $\sigma (N)-N=N$ $\sigma (N)=2N,$

När de naturliga talen ökar blir de perfekta talen sällsynta. Det är inte känt om mängden av alla perfekta tal är oändlig. Det är inte heller känt om någon av dem är udda.

Perfekta tal bildar sekvensen A000396 i OEIS :

6 ,
28 ,
496 _
8128 ,
33 550 336
8 589 869 056 ,
137 438 691 328 ,
2 305 843 008 139 952 128 ,
2 658 455 991 569 831 744 654 692 615 953 842 176 ,
191 561 942 608 236 107 294 793 378 084 303 638 130 997 321 548 169 216 ,

…

Exempel

Det första perfekta talet - 6 har följande rätta delare: 1, 2, 3; deras summa är 6.
Det andra perfekta talet - 28 har följande rätta delare: 1, 2, 4, 7, 14; deras summa är 28.
Det 3:e perfekta talet - 496 har följande rätta delare: 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124, 248; deras summa är 496.
Det 4:e perfekta talet - 8128 har följande korrekta delare: 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 127, 254, 508, 1016, 2032, 4064; deras summa är 8128.

Studiens historia

Även perfekta siffror

Algoritmen för att konstruera jämna perfekta tal beskrivs i bok IX av Euclid 's Beginnings , där det bevisades att ett tal är perfekt om talet är primtal (de så kallade Mersenne-primtalen ) [2] . Därefter bevisade Leonhard Euler att alla jämna perfekta tal har den form som anges av Euklid. $\ 2^{{p-1}}(2^{p}-1)$ $\ 2^{p}-1$

I forntida tider var bara de första fyra perfekta talen (motsvarande p = 2, 3, 5 och 7) kända, de ges i aritmetiken av Nicomachus av Geraz .

Det femte perfekta talet 33 550 336 , motsvarande p = 13, hittades 1536 av den holländska matematikern Hudalrich Perius ( lat. Hudalrichus Regius ) i avhandlingen " Utriusque Arithmetices " (1536) [3] . Senare upptäcktes detta nummer också av historiker i ett opublicerat manuskript av Regiomontanus från 1461 [4] .

År 1603 upptäckte och publicerade den italienske matematikern Cataldi de sjätte och sjunde perfekta talen: 8589869056 och 137438691328 . De motsvarar p = 17 och p = 19 .

I början av 1900-talet hittades ytterligare tre perfekta tal (för p = 89, 107 och 127). Därefter avtog sökningen fram till mitten av 1900-talet, när det med datorernas tillkomst blev beräkningar som översteg mänskliga förmågor möjliga.

För 2019 är 51 perfekta tal kända, som härrör från Mersenne-primtal , som söks efter av GIMPS distribuerade datorprojekt .

Udda perfekta tal

Udda perfekta tal har ännu inte upptäckts, men det har inte bevisats att de inte existerar. Det är också okänt om mängden udda perfekta tal är ändlig, om de finns.

Det har bevisats att ett udda perfekt tal, om det finns, är större än 10 1500 ; medan antalet primtalsdelare för ett sådant tal, med hänsyn till multipliciteten, inte är mindre än 101 [5] . OddPerfect.orgs distribuerade datorprojekt är engagerat i sökandet efter udda perfekta tal .

Egenskaper

Alla jämna perfekta tal (utom 6) är summan av kuber av på varandra följande udda naturliga tal

1^{3}+3^{3}+5^{3}+\ldots +(2n-1)^{3}=n^{2}(2n^{2}-1)

Alla jämna perfekta tal är triangulära och samtidigt hexagonala tal , det vill säga de kan representeras som för något naturligt tal . $n({2n-1})$ $n$
Summan av alla reciproka divisorer av ett perfekt tal (inklusive själva talet) är 2. Detta är en direkt följd av definitionen och det faktum att summan av divisorer dividerat med själva talet ger summan av reciproken av divisorer.
Alla perfekta tal är malmtal .
Alla jämna perfekta tal utom 6 och 496 slutar med decimalnotation med 16, 28, 36, 56 eller 76.
Alla jämna perfekta tal i binär notation innehåller först ettor följt av nollor (en konsekvens av deras allmänna representation). $sid$ $p-1$
Om du lägger till alla siffrorna i ett jämnt perfekt nummer (förutom 6), lägger du till alla siffrorna i det resulterande numret och upprepar tills du får ett ensiffrigt nummer [6] , då blir detta nummer lika med 1 (2 + 8 = 10, 1 + 0 = 1; 4 + 9 + 6 \u003d 19, 1 + 9 \u003d 10 ...) Ekvivalent formulering: resten av att dividera ett jämnt perfekt tal annat än 6 med 9 är 1.

I religion

Den speciella ("perfekta") naturen hos siffrorna 6 och 28 har erkänts i kulturer med rötter i de abrahamitiska religionerna , som hävdar att Gud skapade världen på 6 dagar och som har märkt att månen kretsar runt jorden på cirka 28 dagar. .

James A. Eshelman i The Hebrew Hierarchical Names of Briah [7] skriver att enligt gematria :

Lika viktig är idén som uttrycks av talet 496. Detta är den "teosofiska förlängningen" av talet 31 (det vill säga summan av alla heltal från 1 till 31). Detta är bland annat summan av ordet Malchut (rike). Således uppträder kungariket, den fullständiga manifestationen av den primära idén om Gud, i gematria som ett naturligt komplement eller manifestation av numret 31, vilket är numret på namnet 78.

" Leviathan " (lit. "writhing") - en av mörkrets fyra furstar, förkroppsligad i form av en orm. Att hålla Leviathan betyder därför att kontrollera Nefeshs energier förknippade med Sephirah Yesod. För det andra kan "böjd orm" också betyda "lindad orm", det vill säga Kundalini . För det tredje är gematrien för ordet "Leviatan" 496, liksom ordet "Malchut" (Kungariket); Tanken att ärkeängeln Yesod håller tillbaka Malchuts natur ger rik tankeställare. För det fjärde är talet 496 summan av siffror från 1 till 31, det vill säga den fullständiga expansionen, eller manifestationen, av namnet "El", det gudomliga namnet på de tre högsta sefirot i Briah (inklusive sefiran Kether , vars ängel är Yehoel).

I The City of God skrev Saint Augustine :

Siffran 6 är perfekt i sig, och inte för att Herren skapade allt på 6 dagar; snarare, tvärtom, Gud skapade allt på 6 dagar eftersom detta nummer är perfekt. Och det skulle förbli perfekt även om det inte fanns någon skapelse på 6 dagar.

Variationer och generaliseringar

Forntida matematiker särskiljde tre typer av naturliga tal , beroende på summan av deras egna divisorer :

redundanta tal , för vilka summan av deras egna divisorer är större än själva talet;
otillräckliga tal , för vilka summan av deras egna divisorer är mindre än själva talet;
perfekta tal för vilka summan av deras egna divisorer är lika med själva talet.

Modern forskning har visat att undersiffror är vanligast, cirka 75 %. Överskottsantalet är något mindre än 25 %. Andelen perfekta tal i intervallet från 1 till tenderar mot noll med tillväxt [9] . $N$ $N$

Ett naturligt tal vars summa av alla divisorer är en multipel av själva talet kallas en multiperfekt [10] .

Se även

vänliga siffror
Magiska siffror (fysik)
öppna matematiska problem
halvperfekta siffror
Något överflödiga siffror (kvasiperfekta siffror)
Lite otillräckliga siffror
Super perfekta siffror

Anteckningar

↑ Uspensky, V. A. Förord till matematik [artikelsamling]. - St Petersburg. : Amphora Trading and Publishing House LLC, 2015. - S. 87. - 474 sid. — (Populärvetenskap, nr 12). - ISBN 978-5-367-03606-0 .
↑ Perfekt skönhet och perfekt värdelöshet av perfekta siffror . Hämtad 19 april 2010. Arkiverad från originalet 31 oktober 2010. (obestämd)
↑ Popov, I. N. Perfekta och vänliga siffror: Studieguide . - Archangelsk: Pomorstaten. universitet. M. V. Lomonosov, 2005. - 153 sid. - ISBN 5-88086-514-2 . Arkiverad 25 november 2021 på Wayback Machine
↑ 12 Perfekta siffror . Hämtad 21 september 2021. Arkiverad från originalet 5 oktober 2021. (obestämd)
↑ Ochem, Pascal; Rao, Michail. Udda perfekta tal är större än 10 1500 // Mathematics of Computation : journal. - 2012. - Vol. 81 , nr. 279 . - P. 1869-1877 . — ISSN 0025-5718 . - doi : 10.1090/S0025-5718-2012-02563-4 . Arkiverad från originalet den 15 januari 2016.
↑ se Numerologi#Reducera siffror till siffror
↑ Siffror . Hämtad 10 september 2011. Arkiverad från originalet 16 april 2015. (obestämd)
↑ Simon Singh . Fermats sista sats. Med. 9 (inte tillgänglig länk) .
↑ Stewart, Ian . Professor Stewarts otroliga siffror = Professor Stewarts otroliga siffror. - M . : Alpina facklitteratur, 2016. - S. 103-104. — 422 sid. - ISBN 978-5-91671-530-9 .
↑ Sidan Multiplicera perfekta siffror . Hämtad 10 februari 2022. Arkiverad från originalet 19 februari 2020. (obestämd)

Länkar

Depman I. Perfekta siffror // Kvant . - 1991. - Nr 5 . - S. 13-17 .
Evgeny Epifanov. Perfekta siffror . Element. (obestämd)

Ordböcker och uppslagsverk	Stor katalanska Stor norsk Stor ryss Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	GND : 7683309-4