Graden av ett polynom

I uppsättningen av komplexa tal är graden av ett polynom i en variabel numret av alla dess rötter , med hänsyn till deras mångfald . Det följer av algebras huvudsats och av konsekvensen av Bezouts sats att vilket polynom som helst p ( x ) av grad n kan representeras som a ( x − x 1 )...( x − x n ), där x 1 , …, x n är alla komplexa rötter till polynomet, med hänsyn till multipliciteten, och konstanten a ≠ 0 är polynomets ledande koefficient. Genom att öppna parenteserna i uttrycket a ( x − x 1 )...( x − x n ), kan man få en ekvivalent definition: graden av ett polynom i en variabel är det maximala av graderna av alla dess monomialtermer som är inte identiskt lika med noll.

Denna definition har en generalisering: den fulla graden av ett polynom med flera variabler är det maximala av graderna av alla dess monomialer, som inte är identiskt lika med noll, med avseende på alla variabler som deltar i dem samtidigt .

En polynomekvation av d variabler, som med hjälp av ekvivalenta transformationer kan reduceras till formen p ( x 1 ,…, x d ) = 0, där polynomet p ( x 1 , …, x d ) har grad n , är kallas en (polynom)ekvation av grad n .

Graden av ett polynom betecknas deg ( engelsk grad , franska degré , från latin gradus + de -). [ett]

Namn på vissa grader

Graden av ett polynom som är identiskt lika med noll är inte definierad, men i vissa fall tas den lika med −1 eller −∞ ( nedan ). [2]
Graden av en konstant som inte är noll är 0.
Graden av ett linjärt polynom är 1. En ekvation där en linjär funktion är lika med noll är en ekvation av 1:a graden .
Graden av ett andragradspolynom är 2. Motsvarande ekvation är en ekvation av 2:a graden .
Graden av det kubiska polynomet är 3. Ekvationen för den 3:e graden motsvarar den .

I en d - dimensionell euklidisk rymd ( d − 1)-dimensionell yta , som är en lösning av ekvationen p ( x 1 ,..., x d ) = 0 av grad n med kartesiska koordinater x 1 , …, x d , är kallas ( d − 1)- dimensionell yta av n :e ordningen. Termen ordning betyder egentligen graden av en ekvation . Separata namn för hyperytor:

en quadric är en hyperyta av andra ordningen. I det endimensionella fallet är en quadric en konisk - en plan kurva , ett av de ekvivalenta sätten att få som är att skära en rät cirkulär kon med ett plan;
kubiken är en hyperyta av tredje ordningen. Exempel på platta kuber: Tschirnhaus-kub , halvkubisk parabel ;
en kvarts är en 4:e ordningens hyperyta: till exempel Luroth-kvartiken .

Exempel

Polynomet x ( x − 2) har andra graden, eftersom det består av två linjära faktorer.
För polynomet (2 x − 1)(3 x − 2) kan koefficienterna 2 och 3 tas ut inom parentes: 2 × 3( x −ett2)( x −23), så den har grad 2.
Polynomet 16 x 5 + (−20) x 3 + 5 x + (−1) har monomet med den största graden är 16 x 5 , vilket betyder att graden av polynomet är 5.
Polynom kan skrivas i icke-kanonisk form: till exempel har polynomet ( x 2 + 1) 2 − (− x 2 + 1) 2 grad 2, eftersom det är ett monomer 2 x 2 .
Polynomet 2(2 x − y ) xy är av tredje graden.
Polynomet x 2 + y har en andra grad, eftersom monomet med den högsta graden är lika med x 2 , och detta polynom kan inte längre faktoriseras till linjära faktorer från x och y .
Graden av polynomet xy + y + x är 2.

Graden av ett polynom under operationer på dem

Multiplikation

Att multiplicera ett polynom som inte är noll p ( x ) med en konstant c som inte är noll ändrar inte graden:

\deg {\big (}cp(x){\big )}=\deg p(x).

Till exempel graden av polynomet 6( x −ett2)( x −23) = 6 x 2 − 5 x + 2, samt ( x −ett2)( x −23) = x 2 +−56x +ett3, är lika med 2. I ett mer allmänt fall är graden av produkten av polynomen p ( x ) och q ( x ) lika med summan av graderna av dessa polynom: [3] [4]

\deg {\big (}p(x)q(x){\big )}=\deg p(x)+\deg q(x).

Till exempel är graden av polynomet ( x 2 + 1) ( x 3 - x - 1) = x 5 - x 2 - x - 1 2 + 3 = 5.

Addition, subtraktion

Graden av summan av polynom som inte är noll kan inte vara större än det maximala av deras grader: [5] [6]

\deg {\big (}p(x)+q(x){\big )}\leqslant \max {\big (}{\deg }~p(x),\deg q(x){ \big )}.

Samma ojämlikhet gäller för skillnaden:

\deg {\big (}p(x)-q(x){\big )}\leqslant \max {\big (}{\deg }~p(x),\deg(-1\cdot q(x)){\big )}=\max {\big (}{\deg }~p(x),\deg q(x){\big )}.

Dessutom, om graderna av polynomtermerna skiljer sig, förvandlas ovanstående relationer till likheter. Till exempel har polynomet ( x 2 + 1) 2 den fjärde graden, ( x + 1) 2 - den andra, och polynomen ( x 2 + 1) 2 ± ( x + 1) 2 - den 4:e.

Komposition

Låt p ( x ) och q ( x ) vara polynom som inte är noll. Sedan: [7]

\deg[q\circ p(x)]=\deg[p\circ q(x)]=\deg p(x)\deg q(x).

Till exempel, om p ( x ) = x 2 + 1, q ( x ) = x 3 + 1, då graderna av polynom p ∘ q ( x ) = x 6 + 2 x 3 + 2 och q ∘ p ( x ) = x 6 + 3 x 4 + 3 x 2 + 2 är 2 x 3 = 6.

Graden av ett polynom i flera variabler

Liksom i fallet med en enskild variabel är den (totala) graden av en monomial av flera variabler summan av alla exponenter för alla variabler i monomialen. Till exempel är den fulla graden av monomialen x 1 y 2 x 3 med avseende på x och y 1 + 2 + 3 = 6.

I sin tur är (fulla) graden av ett polynom i flera variabler det maximala av graderna för alla dess monomer. Exempel: polynomet xy + y + x har grad 2 eftersom monomet med högst grad är xy .

Dessutom kan graden av ett polynom av flera variabler också beaktas med avseende på en av variablerna. Till exempel har polynomet x 2 + y 2 + xy + x + y 2:a graden med avseende på x och samma grad med avseende på y . Dessutom, med avseende på x , delas detta polynom upp i komplexa linjära faktorer enligt följande:

x^{2}+y^{2}+xy+x+y=\left(x-{\tfrac {-y-1-{\sqrt {(y+1)(-3y+1) ))}{2}}\right)\left(x-{\tfrac {-y-1+{\sqrt {(y+1)(-3y+1)}}}{2}}\right),

och för y :

x^{2}+y^{2}+xy+x+y=\left(y-{\tfrac {-x-1-{\sqrt {(x+1)(-3x+1) ))}{2}}\höger)\left(y-{\tfrac {-x-1+{\sqrt {(x+1)(-3x+1)}}}{2}}\höger).

Ibland kan graden av ett polynom med avseende på en viss variabel påverkas av andra variabler: till exempel är ett polynom ( x 2 + 1) y 2 + ( x + 1) y + 1 av fjärde graden kvadratiskt med avseende på y endast om x inte är lika med ±i, i annat fall kommer monomet ( x 2 + 1) y 2 att försvinna och polynomet blir linjärt: det kan inte dekomponeras i två linjära faktorer (med avseende på y ).

Graden av ett nollpolynom

Graden av ett polynom lika med 0 för valfritt värde på variabeln/variablerna anses antingen vara obestämd [8] eller negativ - vanligtvis −1 [9] eller −∞. [2] [10]

I det fall då graden av ett sådant polynom inte är definierat, antas det att nollpolynomet strängt taget inte har några monomermer alls, som inte skulle vara identiskt lika med noll. Följaktligen, för nollpolynomet, introduceras ingen av ovanstående egenskaper hos grader alls vid transformering av polynom.

I det här fallet, när graden av nollpolynomet tas lika med −∞, bevaras alla ovan angivna egenskaper, kanske exklusive sammansättningen. För varje reellt tal n , per definition, gäller följande egenskaper ( egenskaper för den affint utökade tallinjen ):

$\max(-\infty ,n)=n;$
$-\infty +n=-\infty .$ [tio]

Följaktligen "uppför sig" själva polynomens grader enligt följande: om p ( x ) är ett polynom som inte är noll av grad n , då

$\deg(p(x)+0)=\deg p(x)=n\leqslant \max(\deg p(x),\deg 0)=\max(n,-\infty )=n ;$
$\deg(p(x)\cdot 0)=\deg 0=-\infty ,$ och å andra sidan, $\deg p(x)+\deg 0=n-\infty =-\infty .$

Anteckningar

↑ Eric W. Weisstein. Polynomgrad . _ mathworld.wolfram.com . Hämtad 28 maj 2021. Arkiverad från originalet 3 juni 2021.
↑ 1 2 Eric W. Weisstein. Noll polynom . mathworld.wolfram.com . Hämtad 28 maj 2021. Arkiverad från originalet 1 maj 2021.
↑ Serge Lang. Algebra . - 3. - New York: Springer-Verlag, 2002. - (Graduate Texts in Mathematics). - ISBN 978-0-387-95385-4 .
↑ Serge Leng . Algebra. - Springer, 2005. - S. 100. - ISBN 978-0-387-95385-4 .
↑ abstrakt algebra - Graden av summan av två polynom (bevisfråga) . Matematik Stack Exchange . Hämtad: 28 maj 2021. (obestämd)
↑ Grad av summan av polynom - TheoremDep . sharmaeklavya2.github.io . Hämtad 28 maj 2021. Arkiverad från originalet 20 januari 2021. (obestämd)
↑ algebra precalculus - Vad är polynomsammansättning användbar för? . Matematik Stack Exchange . Hämtad: 28 maj 2021. (obestämd)
↑ Shafarevich, Igor Rostislavovich . Föreläsningar om Algebra . — s. 25. Arkiverad 2 juni 2021 på Wayback Machine
↑ Childs, Lindsay. En konkret introduktion till högre algebra . - 1995. - S. 233. Arkivexemplar av 2 juni 2021 på Wayback Machine
↑ 1 2 Childs, Lindsay. En konkret introduktion till högre algebra. . — 2009. Arkiverad 2 juni 2021 på Wayback Machine