Atiyah-Singer indexsats

Atiyah-Singer indexsatsen är ett uttalande om likheten mellan de analytiska och topologiska indexen för en elliptisk operator på ett slutet grenrör [1] . Etablerat och bevisat 1963 av Michael Athya och Isadore Singer .

Resultatet bidrog till upptäckten av nya kopplingar mellan algebraisk topologi , differentialgeometri och global analys [2] , fann tillämpning i teoretisk fysik , och studiet av dess generaliseringar bildades i en separat riktning av teori - indexteori [3] . $K$

Definitioner och formuleringar

Det analytiska indexet för en differentialoperator , där och är jämna vektorbuntar över ett differentierbart sluten grenrör , är skillnaden mellan dimensionerna på dess kärna och kokkärna : $d\colon C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)$ $E$ $F$ $X$

i_{a}(d)={\mathrm {dim}}\,{\mathrm {Ker}}\,d-{\mathrm {dim}}\,{\mathrm {Coker}}\,d={\ mathrm {dim}}\,d^{{-1}}(0)-{\mathrm {dim}}\,C^{\infty }(F)/d(C^{\infty}(E))

För elliptiska operatorer är dessa dimensioner ändliga.

Det topologiska indexet för en elliptisk operator definieras som: $d\colon C^{\infty }(E)\to C^{\infty }(F)$

i_{t}(d)=\{{\mathrm {ch}}\,V(\sigma )\cdot \pi _{\Sigma }^{*}{\mathcal T}(X)\}[\Sigma (X)]

var är symbolen för operatören som definierar isomorfismen av hissar , är bunten av enhetssfärer i grenrörets cotangensbunt , är bunten över limningen av två instanser av utrymmet av buntar av enhetskulor i ( är gränsen ) ; är den kohomologiska karaktären hos Chern- bunten ; är Todd-kohomologiklassen i det komplexiserade cotangensknippet ; ; och delen " " betyder att man tar elementets dimensionella komponent på grenrörets grundläggande cykel . $\sigma (d)$ $d$ $\sigma (d)\colon \pi ^{*}(E)\to \pi ^{*}(F)$ $\pi \colon S(X)\till X$ $T^{*}X$ $X$ $V(\sigma)$ $\pi ^{{+*}}(E)\cup _{\sigma }(d)\pi ^{{-*}}(F)$ $\Sigma (X)=B^{+}\cup _{{S(X)}}B^{-}$ $B(X)$ $T^{*}X$ $S(X)$ $B(X)$ ${\mathrm {ch}}\,V(\sigma)$ $V(\sigma)$ ${\mathcal T}(X)$ $T^{*}X\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C}$ $\pi _{\Sigma }^{*}\colon \Sigma (X)\to X$ $\pi _{\Sigma }^{*}{\mathcal T}(X)={\mathcal T}(\Sigma (X))$ $[\Sigma(X)]$ $2n$ $\{{\mathrm {ch}}\,V(\sigma )\cdot \pi _{\Sigma }^{*}{\mathcal T}(X)\}$ $\Sigma (X)$

Påståendet av satsen består i likheten mellan de analytiska och topologiska indexen för elliptiska operatorer på slutna grenrör.

Historik

Särskilda manifestationer av förhållandet uttryckt i indexsatsen upptäcktes redan på 1800-talet, sådan är till exempel Gauss-Bonnet-formeln , som förbinder Euler-karaktäristiken för en yta med dess Gaussiska krökning och den geodetiska krökningen av dess gräns, såväl som dess multidimensionella generaliseringar. En annan manifestation av ett sådant samband är Riemann-Roch-satsen för icke-singulära algebraiska kurvor (1865) och dess generalisering till godtyckliga vektorbuntar på kompakta komplexa grenrör är Riemann-Roch-Hirzebruch-satsen (1954).

Frågan om ett möjligt samband mellan det analytiska indexet för elliptiska operatorer och deras topologiska egenskaper formulerades av Israel Gelfand 1960 [ 4] , och uppmärksammade det analytiska indexets invarians med avseende på operatordeformationer. 1963 fann Atiya och Singer en sådan topologisk egenskap; 1964 publicerades ett bevis för grenrör med gräns . De första versionerna av beviset använde en teknik som liknade Friedrich Hirzebruchs bevis för generaliseringen av Riemann-Roch-hypotesen, involverade i stor utsträckning medel från teorin om kohomologi och kobordism , och kännetecknades av avsevärd teknisk komplexitet [5 ] . Några år senare översattes formuleringen och bevisningen till teorispråket , vilket avsevärt förenklade bevisningen och öppnade möjligheten för ytterligare generaliseringar, och på 1970-1990-talen erhölls analoger till satsen för bredare och olika specialklasser av föremål. $K$

Indexsatsen (tillsammans med -teorin och en analog av Lefschetz-formeln för elliptiska operatorer) nämndes i Atiyahs nominering till 1966 års Fields-pris . År 2004 tilldelades Atiyah och Singer Abelpriset [6] för deras indexsats . $K$

Konsekvenser

Det följer av satsen att det topologiska indexet för en elliptisk operator på ett slutet grenrör är ett heltal [1] . En annan konsekvens är att de analytiska och topologiska indexen för en operator på ett grenrör med udda dimension är lika med noll [1] .

Riemann-Roch-satsen och dess generaliseringar - Riemann-Roch-Hirzebruch-satsen och Riemann-Roch-Grothendieck-satsen - är naturliga konsekvenser av indexsatsen.

Anteckningar

↑ 1 2 3 Sardanashvili G. A. Geometri och kvantfält. — Moderna metoder för fältteori. - M. : URSS, 2000. - T. 4. - S. 146. - 160 sid.
↑ Vetenskapsliv : Michael Atiyah . Simons stiftelse. Hämtad 26 augusti 2014. Arkiverad från originalet 27 september 2013.
↑ 19K56 - Indexteori . Matematisk ämnesklassificering . AMS (2010). Hämtad: 30 augusti 2014. (obestämd)
↑ I. M. Gelfand. Om elliptiska ekvationer // Framsteg i matematiska vetenskaper . - Ryska vetenskapsakademin , 1960. - T. 15 , nr. 9 , nr 93 . - S. 121-132 . — ISSN 0042-1316 . - doi : 10.1070/RM1960v015n03ABEH004094 . (ryska)
↑ Atiyah, sångare, 1968 .
↑ Den gamla satsen uppskattades av meriter (otillgänglig länk) . MIGNews.com. Hämtad 26 augusti 2014. Arkiverad från originalet 26 augusti 2014. (obestämd)

Litteratur

R. Pale. Seminarium om Atiyah-Singer indexsatsen. — M .: Mir, 1970.
M. F. Atiya, I. M. Zinger. Index över elliptiska operatorer. I = Indexet för elliptiska operatorer. I // Framsteg inom matematiska vetenskaper / Per. från engelska. S. I. Gelfand. - Ryska vetenskapsakademin , 1968. - T. 23 , nr. 5 , nr 143 . - S. 99-142 . — ISSN 0042-1316 . (ryska)
Formelindex - Encyclopedia of Mathematics artikel . M. I. Voitsekhovsky, M. A. Shubin