Darboux-satsen i symplektisk geometri

Darboux-satsen i symplektisk geometri är påståendet att för varje symbolisk struktur som ges på ett grenrör , någon punkt i har en öppen grannskap och lokala koordinater i den, där den symplektiska formen tar den kanoniska formen . $M^{{2n}}$ $M^{{2n}}$ ${\displaystyle q_{1},...,q_{n},p_{1},...,p_{n))$ $\omega$ ${\displaystyle \sum _{j}dp_{j}\wedge dq_{j))$

Formulering

Låt vara en symbolisk struktur på . Sedan för någon punkt finns det alltid en stadsdel med sådana lokala regelbundna koordinater , där formen är skriven i den enklaste kanoniska formen, nämligen: $\omega$ $M^{{2n}}$ ${\displaystyle x\in M^{2n))$ ${\displaystyle q_{1},...,q_{n},p_{1},...,p_{n))$ $\omega$

{\displaystyle \omega =\sum _{i}dp_{i}\wedge dq_{i))

det vill säga vid varje punkt i denna grannskap tar matrisen blockformen $\left(\omega _{ij}\right)$

{\begin{pmatrix}\mathbb {0} &\mathbb {E} \\-\mathbb {E} &\mathbb {0} \end{pmatrix))

var och är noll- respektive identitetsmatrisen . Uppsättningen av koordinater kallas kanoniska koordinater , eller Darboux-koordinater , och uppsättningar av koordinater och är kanoniskt konjugerade till varandra. $\mathbb {0}$ ${\mathbb {E}}$ $n\ gånger n$ $2\,n$ $(q,\,p)$ $n$ $q$ $sid$

Bevis

Det moderna beviset för Darboux' teorem använder det så kallade Moser - tricket . Det är särskilt tydligt på slutna symplektiska grenrör. Låt oss nämligen vara två symboliska former på mångfalden som tillhör samma de Rham kohomologiklass . Sedan (till exempel, med tanke på deras linjära kombinationer: konen av icke-degenererade former är konvex) kan de relateras av en enparameterfamilj av symplektiska former så att deras kohomologiklass är densamma. Därför, enligt definitionen av de Rham kohomologi, har vi rätt att skriva , där är någon 1-form. Låta vara ett vektorfält så att (sådan existerar på grund av icke-degeneration av alla former ). ${\displaystyle \omega _{0},\omega _{1))$ $X$ ${\displaystyle \omega _{t))$ $t\in [0;1]$ ${\frac {\partial \omega _{t}}{\partial t}}=d\eta _{t}$ $\eta _{t}$ $v_{t}$ $\iota _{v_{t}}\omega _{t}=\eta _{t}$ ${\displaystyle \omega _{t))$

Låt oss komponera dessa två familjer, nämligen vektorfält och 2-former, till ett enda vektorfält definierat på ett grenrör med gränsen som , och en enda 2-form , begränsad till alla undergrenar som (vi identifierar oss implicit med genom att glömma tiden koordinat, och utan den konstanten på ) och försvinner när ett vektorfält ersätts i det . Observera att formuläret generellt sett inte är stängt som ett formulär på : genom att skriva ut en explicit formel för de Rham-differentialen är det lätt att se likheten (tillsammans med att identiska försvinner längs undergrenar bestäms 3-formen unikt ). $V$ $X\ gånger [0;1]$ ${\displaystyle V_{(x,t)}={\frac {\partial }{\partial t))-(v_{t})_{x))$ $\Omega$ ${\displaystyle X_{t}=X\ gånger \{t\))$ ${\displaystyle \omega _{t))$ $X_{t}$ $X$ $X_{t}$ ${\frac {\partial }{\partial t))$ $\Omega$ $X\ gånger [0;1]$ $\iota _{\frac {\partial }{\partial t))d\Omega ={\frac {\partial \omega _{t)){\partial t))$ $X_{t}$ $d\Omega$

Så låt oss tillämpa Cartans formel: . Därför bevarar flödet av vektorfältet formen . Samtidigt förvandlar dess flöde delgrenar till varandra. Därför omvandlar Cauchy-mappningen som definieras av den , som mappar den inledande punkten för integralkurvan till dess slutpunkt, formbegränsningen till formrestriktion , det vill säga definierar en diffeomorfism som transformerar till . $\left(\mathrm {Lie} _{V}\Omega \right)_{t}=\left(d\iota _{V}\Omega +\iota _{V}d\Omega \right) _{t}={\frac {\partial \omega _{t}}{\partial t}}-d\iota _{v_{t}}\omega _{t}=d\eta _{t}- d\eta _{t}=0$ $V$ $\Omega$ $X_{t}$ $X_{0}\to X_{1}$ $\Omega$ $\Omega$ $X$ $\omega_0$ $\omega_{1}$

När grenröret är tvådimensionellt är den symboliska formen densamma som areaformen, så att motsvarande kohomologiklass definieras av ett enda tal, dess integral över grundcykeln, med andra ord arean av ytan. Således bestäms symplektomorfismklassen för en symplektisk yta unikt av dess släkte och område. Detta faktum var känt, det verkar, även för Poincaré . $X$

Beviset för det öppna området (det vill säga det ursprungliga uttalandet av Darboux sats) är något tråkigare, även om det inte kräver andra väsentliga idéer, och finns i boken [1] .

Variationer och generaliseringar

En variant av Darboux sats för lagrangiska delgrenar beror på Weinstein . Det finns nämligen en kanonisk symplektisk struktur på det totala utrymmet av cotangensknippet till varje grenrör. Å andra sidan, om det är ett symplektiskt grenrör och är ett lagrangiskt undergrenrör (dvs. ett halvdimensionellt undergrenrör så att ), så finns det en isomorfism av tangent- och konormalknippena till : tangentvektorn skickas till den funktionella försvinnande vid och därför definierad på det normala utrymmet ; På grund av formens icke-degeneration erhålls varje funktionell på ett normalt utrymme på detta sätt. Genom att dualisera kan man tänka på denna mappning som en mappning från cotangensbunten till normalbunten. Darboux–Weinstein-satsen säger att denna avbildning kan integreras till en verklig avbildning , där det dessutom finns någon rörformig omgivning av nollsektionen av cotangensknippet , så att den är konstant på den, och tar den symplektiska formen vidare till den symplektiska formulär på . I synnerhet kommer graferna för slutna 1-former under en sådan mappning att gå över till lagrangiska undergrenar i nära . $(X,\omega )$ $Y\delmängd X$ $\omega |_{Y}\equiv 0$ $Y$ $v$ $\iota _{v}\omega$ $TY$ $TX/TY$ $\omega$ $U\to X$ $U$ $T^{*}Y$ $Y$ $U\subset T^{*}Y$ $X$ $X$ $Y$

En udda-dimensionell analog av Darboux-satsen för kontaktgrenrör beror på Gray .

I huvudsak betyder Darboux-satsen att symplektiska grenrör inte har några lokala invarianter, vilket flyttar fokus mot topologi när man studerar dem. Komplexa strukturer har vissa likheter : för alla operatorer av en nästan komplex struktur (det vill säga sådan att ) som uppfyller integrerbarhetsvillkoret (det vill säga att de imaginära vektorfälten, egenvärden för operatorn , när de pendlas, ger ett fält som är också eigenfor med eigenvärde ), det finns en komplex karta, det vill säga en lokal holomorf mappning till en domän i . Detta uttalande utgör Newlander-Nirenbergs teorem , vars bevis är mycket mer komplicerat. Ett exempel på en situation där Darboux sats inte är sann ges av Riemannska grenrör : för en lokal isometri måste två metriker ha samma Riemannska krökningstensorer . Samtidigt är riemannska mått enklare i den meningen att för dem är villkoret för "integrerbarhet" (liknande ovanstående villkor för en nästan komplex struktur eller villkoret för en icke-degenererad 2-form) alltid automatiskt uppfyllt: för en nästan symplektisk och nästan komplex struktur, integrerbarhetsvillkoret är likvärdigt med existensen av en linjär vridningsfri förbindelse , med avseende på vilken dessa tensorer är parallella, medan för den riemannska metriken en sådan koppling existerar och dessutom är unik. $I\colon TX\to TX$ $I^{2}=-\mathrm {Id} _{TX}$ ${\sqrt {-1}}$ $jag$ $jag$ ${\sqrt {-1}}$ $\mathbb {C} ^{n}$ $d\omega =0$

För holomorfiskt symplektiska grenrör kan inte heller en analog till Darboux-Weinstein-satsen existera, och av väsentliga skäl. Betrakta till exempel en K3-yta med en icke-isotrivial elliptisk bunt (dvs. en bunt vars gemensamma fiber är slät, och i närheten av någon icke-singular fiber är alla skikt parvisa icke-isomorfa elliptiska kurvor), och är en av fibrerna i denna bunt. Det holomorfa kotangensknippet till en elliptisk kurva är trivialt, och graferna för slutna 1-former, det vill säga dess konstanta sektioner, är elliptiska kurvor biholomorfa till den givna. Å andra sidan, som noterades av Hitchin , gör en holomorft symplektisk form, sedd som en 2-form med komplexa koefficienter, det möjligt att återställa den komplexa strukturen på ett grenrör på ett unikt sätt. Om det fanns en mappning , där är en grannskap av nollsektionen, som mappar en holomorft symplektisk form på till en holomorft symplektisk form på , då skulle den vara holomorf själv, och kartlägga kurvor nära till kurvor nära , dessutom biholomorphic . Men det framgår av tilläggsformeln att alla deformationer av en elliptisk kurva på en K3-yta bildar en enparameterfamilj och tillhör samma elliptiska bunt. Därför, om bunten inte är isotrivial, kan en sådan mappning inte existera. För holomorfa grenrör i holomorft symplektiska grenrör (till exempel rationella kurvor på K3-ytor) finns det fortfarande en analog till Darboux-Weinsteins sats, men nyckeln till dess bevis är inte geometriska överväganden som Moser-tricket, utan teorin. av singulariteter eller till och med representationsteori : till exempel, under blåsning bildar en rationell kurva på K3-ytan en singularitet av typ A 1 , som också är en faktor , som också är en singularitet av den nilpotenta konen i Lie-algebra ; och alla sådana singulariteter är likvärdiga upp till analytisk isomorfism, vilket ger en isomorfism för kurvans grannskap före avblåsningen. För kurvor av större släkt är precis motsatsen sant: att känna till ett godtyckligt litet område av kurvan gör att man kan rekonstruera ytan (eller åtminstone fältet av meromorfa funktioner på den) unikt. I princip, för att mäta i vilken utsträckning en grannskap av en komplex delgren inte medger isomorfism med en grannskap av nollsektionen av dess normala bunt skulle kunna mätas med en invariant som liknar Ueda-klassen ; men det existerar bara för undergrenar av kodimension ett, det vill säga om vi talar om lagrangiska undergrenar, kurvor på ytor. När det gäller elliptiska kurvor på komplexa ytor, till vilket normalknippet är topologiskt trivialt, ges kriteriet för närvaron av en lokal biholomorfism med kotangentknippe av den så kallade Arnolds sats om små nämnare : om är normalen bunt av en elliptisk kurva som ligger på en komplex yta , sedan längs är lokalt biholomorf grannskap av nollsektionen om och endast om, för någon invariant måttenhet på Picardgruppen , funktionen har asymptotik (samma villkor på tillväxten av nämnare av konvergenta bråk till ett tal är nödvändigt för att detta tal ska vara algebraiskt , därav namnet på satsen; det är märkligt att kränkningen av ett liknande villkor på förhållandet mellan himmelkropparnas rotationsperioder gör cirkulation i vissa banor osannolik, vilket ger stiga till Kirkwood slots och Cassini fission , se mer information i artikeln " Orbital resonance "). Samtidigt, i höga dimensioner, är denna vetenskap långt ifrån komplett: till exempel Matsushita-förmodan , som säger att den lagrangiska fibreringen på ett hyperkähler-grenrör är antingen isotrivial eller dess fibrer (som alltid är Abelia-varianter - detta är en lätt teorem) utgör en familj med full dimension i rymdmoduler av Abeliska varianter har ännu inte bevisats (även om betydande framsteg i denna fråga gjordes av van Gemen och Voisin 2015 ). $X$ $E$ $U\to X$ $U\subset T^{*}E$ $T^{*}E$ $X$ $E\subset U$ $E\delmängd X$ $E$ $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}/\{\pm 1\))$ ${\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )$ $L$ $E$ $X$ $X$ $E$ $L$ $\rho$ $\mathrm {Bild} (E)$ $-\ln \rho ({\cal {O}}_{E},L^{\otimes n})$ $O(\ln n)$

Det faktum att det inte finns något hopp om existensen av Darboux-Weinsteins sats för holomorfiskt symplektiska grenrör kan visas på ett annat sätt. Nämligen, i en grannskap av nollsektionen finns en holomorf verkan av gruppen , som multiplicerar de cotangenta vektorerna med komplexa tal lika i modul till ett. I det ovanstående exemplet på en icke-isotrivial elliptisk K3-yta är en sådan lokal verkan omöjlig, eftersom alla dess fibrer i vilket område som helst är parvis icke-biholomorfa. På sätt och vis är detta övervägande det enda hindret för existensen av en analog till Darboux-Weinsteins sats för holomorfiskt symplektiska grenrör. I vilket fall som helst finns följande sats i Kaledins memoarer , presenterade av honom i Trieste 1994: [2] $\mathrm {U} (1)$

Låta vara en holomorphically symplectic grenrör utrustad med en regelbunden holomorphic gruppåtgärder så att elementet multiplicerar den holomorphically symplectic formen med talet . Sedan finns det en öppen grannskap av uppsättningen av fasta punkter för denna handling och en kanonisk mappning så att hyperkähler-metriken på induceras av denna mappning från den kanoniska hyperkähler-strukturen till . $X$ $\mathrm {U} (1)$ $z\in \mathrm {U} (1)$ $z\in \mathbb {C}$ $U\delmängd X$ $Y=X^{\mathrm {U} (1)}\subset X$ $U\to T^{*}Y$ $U$ $T^{*}Y$

Han bevisade också en version av detta påstående för mer allmänna hyperkomplexa grenrör.

Anteckningar

↑ Symplektisk geometri. Metoder och tillämpningar., 1988 , sid. 84-867.
↑ utg.: S. Marchiafava, P. Piccinni, M. Pontecorvo. Kvaternioniska strukturer i matematik och fysik (engelska) . - World Scientific , 2001. - S. 199 . — ISBN 981-02-4630-7 .

Litteratur

Fomenko A.T. Symplektisk geometri. Metoder och tillämpningar. - M. : MGU, 1988. - 413 sid. — ISBN 5-211-00083-8 .