Isomorfismteoremer

Isomorfismsatser i algebra är en serie satser som relaterar till begreppen faktor , homomorfism och kapslade objekt . Uttalandet av satserna är en isomorfism av något par av grupper , ringar , moduler , linjära utrymmen , Lie-algebra eller andra algebraiska strukturer (beroende på tillämpningen). Vanligtvis finns det tre isomorfismsatser, kallade den första (även den huvudsakliga homomorfismsatsen), andra och tredje. Även om sådana teorem följer ganska lätt från definitionen av faktorn och ingen är särskilt krediterad för deras upptäckt, tror man att Emmy Noether gav de mest allmänna formuleringarna .

Grupper

Första satsen

Låt vara en grupphomomorfism , då:

  1. Kärnan φ är en normal undergrupp av  G ;
  2. Bilden φ är en undergrupp av  H ;
  3. Bilden φ är isomorf till faktorgruppen G  / ker φ.

I synnerhet, om homomorfismen φ är surjektiv (dvs. är en epimorfism ), då är gruppen H isomorf till faktorgruppen G  /ker φ.

Andra satsen

Låt G vara en grupp, S en undergrupp av  G , N en normal undergrupp av  G , då:

  1. Produkten är en undergrupp av  G ;
  2. Skärningspunkten är en normal undergrupp av  S ;
  3. Faktorgrupper och är isomorfa.

Tredje satsen

Låt G vara en grupp, N och K är normala undergrupper av  G så att K  ⊆  N , då:

  1. N  /  K är en normal undergrupp av  G  /  K ;
  2. Kvotgruppen av kvotgrupper ( G  /  K )/( N  /  K ) är isomorf till kvotgruppen G  /  N .

Ringar

I detta område ersätts begreppet en normal undergrupp med begreppet ideal om en ring .

Första satsen

Låt vara en ringhomomorfism , då:

  1. Kärnan φ är ett ideal i  R ;
  2. Bilden φ är en subring i  S ;
  3. Bilden φ är isomorf till faktorringen R  / ker φ.

I synnerhet om homomorfismen φ är surjektiv (det vill säga den är en epimorfism), så är ringen S isomorf med faktorringen R  /ker φ.

Andra satsen

Låt R vara en ring, S en subring i  R , I ett ideal i  R , då:

  1. Summan S  +  I är en subring i  R ;
  2. Skärningen S  ∩  I är ett ideal i  S ;
  3. Faktorringar ( S  +  I ) /  I och S  / ( S  ∩  I ) är isomorfa.

Tredje satsen

Låt R vara en ring, A och B är ideal i  R så att B  ⊆  A , då:

  1. A  /  B är ett ideal i  R  /  B ;
  2. Kvotringen av kvotringarna ( R  /  B )/( A  /  B ) är isomorf till kvotringen R  /  A .

Moduler, Abeliska grupper och linjära utrymmen

Isomorfismsatserna för Abeliska grupper och linjära utrymmen är ett specialfall av satser för moduler , som kommer att formuleras. För linjära utrymmen finns mer information i artikeln " linjär kartläggningskärna ".

Första satsen

Låt vara en homomorfism av moduler, då:

  1. Kärnan φ är en undermodul i  M ;
  2. Bilden φ är en undermodul i  N ;
  3. Bilden φ är isomorf till kvotmodulen M  / ker φ.

Andra satsen

Låt M vara en modul, S och T vara undermoduler i  M , då:

  1. Summan S  +  T är en undermodul i  M ;
  2. Skärningen S  ∩  T är en undermodul i  M ;
  3. Kvotmodulen (S + T) / T är isomorf till kvotmodulen S  / ( S  ∩  T ).

Tredje satsen

Låt M vara en modul, S och T vara undermoduler i  M så att T  ⊆  S , då:

  1. S  /  T är en undermodul i  M  /  T ;
  2. Faktoruppsättningen av faktormoduler ( M  /  T )/( S  /  T ) är isomorf till faktormodulen M  /  S .

Se även