Isomorfismsatser i algebra är en serie satser som relaterar till begreppen faktor , homomorfism och kapslade objekt . Uttalandet av satserna är en isomorfism av något par av grupper , ringar , moduler , linjära utrymmen , Lie-algebra eller andra algebraiska strukturer (beroende på tillämpningen). Vanligtvis finns det tre isomorfismsatser, kallade den första (även den huvudsakliga homomorfismsatsen), andra och tredje. Även om sådana teorem följer ganska lätt från definitionen av faktorn och ingen är särskilt krediterad för deras upptäckt, tror man att Emmy Noether gav de mest allmänna formuleringarna .
Låt vara en grupphomomorfism , då:
I synnerhet, om homomorfismen φ är surjektiv (dvs. är en epimorfism ), då är gruppen H isomorf till faktorgruppen G /ker φ.
Låt G vara en grupp, S en undergrupp av G , N en normal undergrupp av G , då:
Låt G vara en grupp, N och K är normala undergrupper av G så att K ⊆ N , då:
I detta område ersätts begreppet en normal undergrupp med begreppet ideal om en ring .
Låt vara en ringhomomorfism , då:
I synnerhet om homomorfismen φ är surjektiv (det vill säga den är en epimorfism), så är ringen S isomorf med faktorringen R /ker φ.
Låt R vara en ring, S en subring i R , I ett ideal i R , då:
Låt R vara en ring, A och B är ideal i R så att B ⊆ A , då:
Isomorfismsatserna för Abeliska grupper och linjära utrymmen är ett specialfall av satser för moduler , som kommer att formuleras. För linjära utrymmen finns mer information i artikeln " linjär kartläggningskärna ".
Låt vara en homomorfism av moduler, då:
Låt M vara en modul, S och T vara undermoduler i M , då:
Låt M vara en modul, S och T vara undermoduler i M så att T ⊆ S , då: