Galois teori

Galois-teorin är en gren av algebra som låter dig omformulera vissa frågor inom fältteorin på gruppteorin , vilket gör dem i någon mening enklare.

Évariste Galois formulerade de viktigaste uttalandena i denna teori i termer av permutationer av rötterna till ett givet polynom (med rationella koefficienter); han var den första som använde termen " grupp " för att beskriva en uppsättning permutationer som är stängda under sammansättning och innehåller identitetspermutationen.

En mer modern inställning till Galois teori är att studera automorfismer av en förlängning av ett godtyckligt fält med hjälp av Galois-gruppen som motsvarar den givna förlängningen.

Applikationer

Galois teori ger en enda elegant metod för att lösa sådana klassiska problem som

Vilka figurer kan byggas med en kompass och en linjal ?
Vilka algebraiska ekvationer är lösbara med de vanliga algebraiska operationerna ( addition , subtraktion , multiplikation , division och rotextraktion )?

Rotsymmetrier

Rotsymmetrier är sådana permutationer på uppsättningen av rötter i ett polynom för vilka alla algebraiska ekvationer med rationella koefficienter (med flera variabler) som är uppfyllda av rötterna också uppfylls av de permuterade rötterna.

Exempel: andragradsekvation

Polynomet av andra graden har två rötter och , symmetrisk om punkten . Det finns två alternativ: $ax^{2}+bx+c$ $x_{1}$ $x_{2}$ $x=-b/(2a)$

Om dessa rötter är rationella, är det bara en rot som uppfyller ekvationen, och ekvationens grupp är trivial. $x-x_{1}=0$
Om rötterna är irrationella, innehåller gruppen ett icke-trivialt element och är isomorf . ${\displaystyle x_{1}\Leftrightarrow x_{2))$ ${\mathbb {Z}}/2{\mathbb {Z}}$

Ett mer komplext exempel

Betrakta nu polynomet . $(x^{2}-5)^{2}-24$

Dess rötter : $a={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},\ b={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}},\ c=-{\sqrt {2} }+{\sqrt {3)),\ d=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}$

Det finns olika permutationer av rötterna till denna ekvation, men alla är inte symmetrier. Elementen i Galois-gruppen måste bevara alla algebraiska ekvationer med rationella koefficienter. $4!=24$

En av dessa ekvationer är . Sedan är permutationen inte i Galois-gruppen. $a+d=0$ $a+c\neq 0$ $a\to a,\ b\to b,\ c\to d,\ d\to c$

Dessutom kan man se att , men . Därför ingår inte permutationen i gruppen. $(a+b)^{2}=8$ $(a+c)^{2}=12$ $a\to a,\ b\to c,\ c\to b,\ d\to d$

Slutligen kan vi få att Galois-gruppen i ett polynom består av fyra permutationer:

(a,b,c,d)\to (a,b,c,d),

(a,b,c,d)\to (c,d,a,b),

(a,b,c,d)\to (b,a,d,c),

(a,b,c,d)\to (d,c,b,a)

och är en fyrdubbel Klein-grupp , isomorf till . $(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\times (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )$

Formulering i termer av fältteori

Fältteorin ger en mer allmän definition av Galois - gruppen som gruppen av automorfismer av en godtycklig Galois - förlängning .

På detta språk kan man formulera alla påståenden som rör "symmetrierna" hos rötterna till ett polynom. Låt nämligen koefficienterna för det givna polynomet tillhöra fältet K . Betrakta en algebraisk förlängning L av fältet K med rötterna av ett polynom. Då är polynomets Galois-grupp gruppen av automorfismer i fältet L som lämnar elementen i fältet K på plats, det vill säga Galois-gruppen i förlängningen . Till exempel, i det föregående exemplet övervägdes Galois-gruppen för tillägget . $L\upprörd K$ ${\mathbb Q}({\sqrt 2},{\sqrt 3})\supset {\mathbb Q}$

Lösbara grupper och lösning av ekvationer i radikaler

Lösningar till en polynomekvation uttrycks i radikaler om och endast om Galois-gruppen i den givna ekvationen är allmänt lösbar . $P(x)=0$

För alla finns det en ekvation av den e graden, vars Galois-grupp är isomorf till den symmetriska gruppen , det vill säga den består av alla möjliga permutationer . Eftersom grupper vid inte är lösbara, finns det polynom av grad vars rötter inte kan representeras av radikaler , vilket är ett uttalande av Abel-Ruffinis sats . $n$ $n$ $S_{n}$ $S_{n}$ $n>4$ $n$

Variationer och generaliseringar

En mer abstrakt syn på Galois teori utvecklades av Alexander Grothendieck 1960. Detta tillvägagångssätt gör att man kan tillämpa huvudresultaten av Galois-teorin på vilken kategori som helst som har gett egenskaper (till exempel förekomsten av samprodukter och kartesiska kvadrater ).
- Detta gör att resultaten av Galois-teorin kan överföras till teorin om beläggningar . För att tillämpa denna teori på kategorin fältutvidgningar krävs att man studerar egenskaperna hos tensorprodukter för fält .

Litteratur

Kolmogorov A. N. , Yushkevich A. P. (red.) 1800-talets matematik. — M.: Nauka.

Volym 1 Matematisk logik. Algebra. Talteori. Sannolikhetsteori. 1978. (otillgänglig länk)

Postnikov M. M. Galois teori. Arkivexemplar daterad 2 april 2014 på Wayback Machine - M .: Fizmatgiz , 1963.
Grothendieck, Alexander; Raynaud, Michèle (2003) [1971], Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1), Documents Mathématiques (Paris) [Mathematical Documents (Paris)] 3, Paris: Société mathématique de France , arXiv: math/02062 -8 ISB-97 2-85629-141-2
Skopenkov A. B. Några fler bevis från boken: lösbarhet och olöslighet av ekvationer i radikaler.
Lerner L. Galois Teori utan abstrakt algebra.
Emil Artin . Galois teori. / Per. från engelska. A.V. Samokhina. - 2:a uppl. stereotyp. — M.: MTsNMO, 2008. — 66 sid. — (Klassiska monografier: matematik). - ISBN 978-5-94057-062-2 .

Länkar

R. Borcherds , Spellista "Galois theory" på YouTube

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	BNF : 119587869 J9U : 987007558074605171 LCCN : sh85052872 NDL : 00562218 NKC : ph135380