Kummers teori

I algebraisk talteori ger Kummers teori en beskrivning av vissa typer av fältförlängningar , som består i att lägga till det ursprungliga fältet roten till den n :e graden från dess element. Teorin utvecklades av Ernst Eduard Kummer omkring 1840 i hans arbete med Fermats sats .

Förutsatt att karaktäristiken för fältet p är coprime till n för p > 0, beror teorins huvudsakliga påstående inte på fältets natur och tillhör därför allmän algebra.

Kummers teori har en analog för fallet n = p (Artin-Schreier-teorin). Rollen för en grupp (se nedan) i detta fall spelas av den additiva gruppen av ett enkelt underfält av det ursprungliga fältet.

Det finns också en generalisering av denna teori på grund av E. Witt för fallet där , med hjälp av Witt-vektorerna .

Kummers teori är grundläggande, till exempel i klassfältteori och i förståelsen av abelska förlängningar . Hon konstaterar att givet tillräckligt med rötter av enhet kan cykliska förlängningar förstås i termer av att utvinna rötter.

Kummers tillägg

En Kummer-förlängning  är en förlängning av fältet L/K (det vill säga en inbäddning av fältet K i fältet L ) så att för något heltal n > 1 gäller följande två villkor:

Till exempel, för n = 2, är det första villkoret alltid sant om egenskapen K ≠ 2. Kummer-förlängningar inkluderar i detta fall kvadratiska förlängningar L = K (√ a ), där a i K inte är en kvadrat. Vid lösning av andragradsekvationer har varje förlängning av K av grad 2 denna form. Kummer-förlängningen inkluderar i detta fall även biquadratic extensions och, mer allmänt, multisquare extensions . Med karakteristiken K lika med 2, finns det inga sådana Kummer-förlängningar.

För n = 3 finns det inga Kummer-förlängningar av grad 3 i det rationella talfältet Q , eftersom tre kubrötter av 1 behövs, så komplexa tal behövs . Om L  är ett delande fält av X 3 − a över Q , där a inte är kuben av ett rationellt tal, så innehåller L ett delfält K med tre kubrötter av 1. Det senare följer av det faktum att om α och β är rötter av ett kubiskt polynom måste vi få (α/β) 3 =1, vilket är ett separerbart polynom . Således är L/K  en Kummer-förlängning.

Mer generellt, om K innehåller n distinkta n:te rötter av enhet och egenskapen för K inte delar n , bildar den n :te roten av något element a av K till K en Kummer-förlängning (av potensen m som delar n ).

Som ett nedbrytningsfält för polynomet X n − a , är Kummer-förlängningen nödvändig i Galois-förlängningen av den cykliska Galois-gruppen av ordningen m .

Kummers teori

Kummers teori säger att givet en primitiv rot av grad n i K , bildas varje cyklisk förlängning av K av grad n genom att addera en rot av grad n .

Om K × är en multiplikativ grupp av element som inte är noll i K , så motsvarar cykliska förlängningar av K av grad n unikt cykliska undergrupper

det vill säga element av K × modulo n:te potenser.

Korrespondensen kan skrivas på följande sätt: låt en cyklisk undergrupp ges

motsvarande förlängning ges av formeln

det vill säga genom att förena de n :te rötterna av elementen Δ till K.

Omvänt, om L är en Kummer-förlängning för K , så ges Δ av

I det här fallet finns det en isomorfism

ges av formeln

där α är valfri n:te rot av a i L .

Generaliseringar

Det finns en liten generalisering av Kummers teori till abelska förlängningar av Galois-gruppen av grad n , och ett liknande uttalande är sant i detta sammanhang. Man kan nämligen bevisa att sådana tillägg är en envärdig mappning i undergrupper

Om markfältet K inte innehåller n :te enhetsrötter , används ibland en isomorfism

Se även

Länkar