En toroidal polytop är en polytop som också är en toroid ( en torus med g hål) som har topologiskt släkte , g , lika med eller större än 1.
Toroidformade polyedrar definieras som en uppsättning polygoner som delar hörn och kanter och bildar ett grenrör . Det vill säga att varje kant måste vara gemensam för exakt två polygoner, vertexfiguren för varje vertex måste vara en cykel av polygonerna som den givna vertexen tillhör. För toroidala polyedrar kommer detta grenrör att vara en orienterad yta [1] . Vissa författare begränsar begreppet "toroidal polyhedron" till polytoper som är topologiskt likvärdiga (av släkte 1) torus [2] .
Här är det nödvändigt att skilja mellan kapslade toroidformade polyedrar, vars ansikten är platta polygoner som inte skär varandra i tredimensionellt euklidiskt rum , från abstrakta polyedrar , topologiska ytor utan en specifik geometrisk realisering [3] . Mittpunkten mellan dessa två ytterligheter kan betraktas som nedsänkta toroidala polyedrar, det vill säga polyedrar som bildas av polygoner eller stjärnpolygoner i det euklidiska rymden som tillåts skära varandra.
I alla dessa fall kan den toroidformade naturen hos polyedrarna verifieras genom orientering och Euler-karaktäristiken, vilket inte är positivt för dessa polyedrar.
De två enklaste möjliga kapslade toroidformade polyedrarna är Chasar och Silashi polyedrar.
Chasar polyhedron är en toroidformad polyeder med sju hörn, 21 kanter och 14 triangulära ytor [4] . Endast denna polyeder och tetraedern (av de kända) har egenskapen att vilket segment som helst som förbinder polyederens hörn är en kant av polyederen [5] . Den dubbla polytopen är Silashi-polytopen , som har 7 hexagonala ytor, av vilka varje par ligger intill varandra [6] , vilket ger hälften av satsen att det maximala värdet av färger för att färga en karta på en torus (släkte 1) är sju [7] .
Chasar-polytopen har det minsta möjliga antalet hörn som en kapslad toroidformad polytop kan ha, och Silashi-polytopen har minsta möjliga antal ytor.
| Sex hexagonala prismor | Fyra kvadratiska kupoler 8 tetraedrar |
Åtta oktaedrar |
En speciell kategori av toroidformade polyedrar är konstruerade enbart av regelbundna polygonala ytor utan deras skärning, med den ytterligare begränsningen att intilliggande ytor inte ligger i samma plan. Dessa polytoper kallas Stewart toroider [8] efter professor Bonnie Stewart som undersökte deras existens [9] . De är analoga med Johnson solids i fallet med konvexa polyedrar , men till skillnad från dem finns det oändligt många Stewart toroider [10] . Dessa polyedrar inkluderar också toroidala deltaedrar , polyedrar vars ytor är liksidiga trianglar.
En begränsad klass av Stewart-toroider, även definierade av Stewart, är kvasi-konvexa toroidala polyedrar . Dessa är Stewart toroider, som inkluderar alla kanter på deras konvexa skrov . För dessa polyedrar ligger varje yta av det konvexa skrovet antingen på ytan av toroid, eller är en polygon vars kanter ligger på ytan av toroid [11] .
Octahemioctahedron |
Liten cuboctahedron |
Stor dodekaeder |
En polyeder bildad av ett system av korsande polygoner i rymden är en polyedrisk nedsänkning av ett abstrakt topologiskt grenrör som bildas av dess polygoner och dess system av kanter och hörn. Exempel inkluderar octahemioctahedron (släkte 1), den lilla cuboctahedron (genus 3) och den stora dodekaedern (släkte 4).
En krönt polyhedron (eller stephanoid ) är en toroidformad polyeder som är en ädel polyhedron, som är både isogonal (samma typer av hörn) och isoedrisk (samma ansikten). Den krönta polyedern är självskärande och topologiskt självdual [12] .