Thor (yta)
Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 15 augusti 2022; verifiering kräver 1 redigering .En torus (toroid) är en rotationsyta som erhålls genom att den genererande cirkeln roteras runt en axel som ligger i denna cirkels plan och inte skär den [1] .
Mer generellt är en torus ett topologiskt utrymme eller ett slätt grenrör som motsvarar en sådan yta.
Ibland kräver de inte att rotationsaxeln inte skär den genererande cirkeln. I det här fallet, om rotationsaxeln skär den genererande cirkeln (eller berör den), kallas torusen stängd , annars öppen [2] .
Begreppet torus definieras också i det flerdimensionella fallet. En torus är ett exempel på en kommutativ algebraisk grupp och ett exempel på en Lie-grupp .
Historik
Den toroidformade ytan övervägdes först av den antika grekiske matematikern Archytas när han löste problemet med att fördubbla en kub . En annan forntida grekisk matematiker, Perseus , skrev en bok om spirallinjer - sektioner av en torus med ett plan parallellt med dess axel.
Torusaxeln
Rotationsaxeln kan skära cirkeln, röra vid den och vara placerad utanför cirkeln. I de två första fallen kallas torus stängd, i det sista öppna eller en ring [2] .
- Ändra avståndet till rotationsaxeln
En cirkel som består av mitten av genererande cirklar kallas en guidecirkel.
Topologiska egenskaper
Torus är en yta av släkte 1 (en sfär med ett handtag). Torus är ett kompakt topologiskt utrymme.
Torus har Euler-Poincare-karaktäristiken χ=0.
Ekvationer
Parametrisk
Torusekvationen med avståndet från generatrisens centrum till rotationsaxeln R och med generatrisens r radie kan ges parametriskt som:
Algebraisk
Den icke-parametriska ekvationen i samma koordinater och med samma radier har den fjärde graden:
En sådan yta har fjärde ordningen.
Det finns andra ytor som är diffeomorfa till en torus och har en annan ordning.
, där x, y är komplexa tal. Komplex elliptisk kurva , kubisk yta. En inbäddning av en torus i ett 4-dimensionellt utrymme. Detta är en 2:a ordningens yta. Krökningen av denna yta är 0.
Ytkrökning
En torus i tredimensionell rymd har punkter med positiv och negativ krökning . I enlighet med Gauss-Bonnet-satsen är krökningsintegralen över hela torusytan lika med noll .
Gruppstruktur
Egenskaper
- Ytarean av en torus som en konsekvens av den första Guldens sats : .
- Volymen av en kropp som begränsas av en torus ( solid torus ), som en konsekvens av den andra Papp-Guldens sats : .
- En torus med en utskuren skiva ("genomborrad") kan vändas ut och in på ett kontinuerligt sätt ( topologiskt , det vill säga genom en serie diffeomorfismer ). I det här fallet kommer två cirklar som skär vinkelrätt på den ("parallell" och "meridian") att byta plats. [3]
- Två sådana "läckande" tori som är sammanlänkade kan deformeras så att en av torierna "sväljer" den andra. [fyra]
- Det minsta antalet färger som krävs för att färga sektioner av en torus så att närliggande områden har olika färger är 7. Se även Fyrfärgsproblemet .
Sektioner
- När en torus skärs av ett tangentplan visar sig den resulterande fjärde ordningens kurva vara degenererad: skärningspunkten är föreningen av två cirklar som kallas Villarceau-cirklar .
- I synnerhet kan en öppen torus representeras som en rotationsyta av en cirkel kopplad till rotationsaxeln
- En av sektionerna av en öppen torus är Bernoulli lemniscate , andra krökta linjer är grafiska linjer och kallas Perseus-kurvor [5] (spirallinjer, sektioner av torus med ett plan parallellt med dess axel)
- Vissa skärningar av ytan på en torus med ett plan ser ut som en ellips (kurva av 2:a ordningen). Den sålunda erhållna kurvan uttrycks av en 4:e ordningens algebraisk ekvation [6] .
Generaliseringar
Flerdimensionell torus
En generalisering av den 2-dimensionella torus är den flerdimensionella torus (även n - torus eller hypertorus ):
Revolutionens yta
En torus är ett specialfall av en rotationsyta .
Se även
Anteckningar
- ↑ Mathematical Encyclopedia, 1985, v.5, s. 405
- ↑ 1 2 Korolev Jurij Ivanovitj. Beskrivande geometri: Lärobok för gymnasieskolor. 2:a uppl. . - Förlaget "Peter", 2008. - S. 172. - 256 sid. — ISBN 9785388003669 . Arkiverad 17 februari 2017 på Wayback Machine
- ↑ Stegen för att invertera en torus gavs i "Topology" av Albert Tucker och Herbert Bailey i Scientific American , januari 1950.
- ↑ För detaljer, se M. Gardners artikel i Scientific American , mars 1977. Andra paradoxer relaterade till tori kan hittas i artiklar av M. Gardner, publicerade i Scientific American i december 1972 och december 1979.
- ↑ Teoretiska grunder för att lösa problem i beskrivande geometri: Handledning
- ↑ Skärningspunkten mellan en sfär och en torus med ett plan. Ett exempel på att konstruera en "snittlinje" på ytan av en kombinerad rotationskropp . Hämtad 4 november 2011. Arkiverad från originalet 4 mars 2016.
Litteratur
- Savelov A. A. Plankurvor: Systematik, egenskaper, tillämpningar. M.: Fizmatgiz, 1960. 293 sid. Återutgiven 2002, ISBN 5-93972-125-7
| Kompakta ytor och deras nedsänkning i tredimensionellt utrymme | |||||||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Homeoformitetsklassen för en kompakt triangulerad yta bestäms av orienterbarhet, antalet gränskomponenter och Euler-karakteristiken. | |||||||
| ingen gräns |
| ||||||
| med gräns |
| ||||||
| Relaterade begrepp |
| ||||||