Tre gånger periodisk minimal yta

En triply periodic minimal surface (TPMS, eng.  triply periodic minimal surface , TPMS) är en minimal yta i , som är en translationsinvariant i ett gitter av rang 3.

Dessa ytor har kristallografiska gruppsymmetrier . Många exempel är kända med kubiska, tetragonala , hexagonala och rombiska symmetrier. Monoklina och trikliniska exempel finns förvisso, men de har visat sig vara svåra att parametrisera [1] .

TPMP är efterfrågade inom naturvetenskap. TSMT har upptäckts som biologiska membran [2] , som blocksampolymerer [3] , ekvipotentiella ytor i kristaller [4] etc. De är också av intresse inom arkitektur, dekoration och konst.

Egenskaper

Nästan alla de studerade TSMT:erna hade inte självkorsningar (det vill säga de var inbäddade i ) - ur en matematisk synvinkel är de mest intressanta (eftersom självkorsande ytor uppenbarligen är rikliga) [5] .

Alla anslutna TSMT:er har genus [6] och i vilket gitter som helst finns det orienterade kapslade TSMT:er av alla slag [7] .

Kapslade TSMP:er är orienterbara och delar upp utrymmet i två icke-korsande delvolymer (labyrinter). Om dessa två labyrinter är kongruenta sägs ytan vara en balanserad yta [8] .

Historik

De första exemplen på STMT var ytorna som beskrevs av Schwartz 1865, följt av ytan som beskrevs av hans elev E. R. Neovius 1883 [9] [10] .

1970 kom Alan Schön med 12 nya SST baserade på skelettgitter [11] [12] [13] . Även om Schönytor blev populära inom naturvetenskapen fick konstruktionerna inget matematiskt bevis på existens och förblev mestadels okända för matematiker tills G. Karcher bevisade deras existens 1989 [14] .

Med hjälp av konjugerade ytor har många andra ytor hittats. Även om Weierstrass-representationerna är kända för enkla exempel, är de inte kända för de flesta ytor. Istället används ofta metoder för diskret differentialgeometri [5] .

Familjer

Klassificeringen av TSMT är ett öppet problem.

TSMT bildar ofta familjer och de kan kontinuerligt deformeras från en till en annan. Meeks hittade en 5-parametersfamilj för släktet 3 SST som innehåller alla kända exempel på släktets 3 ytor förutom gyroid [6] . Medlemmar av denna familj kan kontinuerligt deformeras till varandra, med ytan som förblir kapslad under deformationsprocessen (även om gallret kan förändras). Gyroid och lidinoid är i en separat 1-parameter familj [15] .

Ett annat tillvägagångssätt för att klassificera STMT är att överväga deras rymdgrupper. För ytor som innehåller linjer kan man numrera om de möjliga gränspolygonerna, vilket ger en klassificering [8] [16] .

Generaliseringar

Periodiska minimalytor kan konstrueras i S 3 [17] och H 3 [18] .

Man kan generalisera uppdelningen av rymden i labyrinter för att hitta tre gånger periodiska (möjligen förgrenade) minimala ytor som delar upp rummet i mer än två delar [19] .

Kvasiperiodiska minimala ytor konstruerades i [20] . Det har föreslagits, aldrig bevisat, att minimala ytor med en kvasi -kristallin ordning existerar i [21] .

Galleri med externa bilder

Anteckningar

  1. ↑ Matematik av EPINET-projektet . Hämtad 4 augusti 2020. Arkiverad från originalet 7 mars 2020.
  2. ↑ Deng, Mieczkowski, 1998 , sid. 16–25.
  3. ↑ Jiang, Göpfert, Abetz, 2003 , sid. 6171–6177.
  4. ↑ Mackay, 1985 , sid. 300–305.
  5. ↑ 1 2 Karcher och Polthier 1996 , sid. 2077–2104.
  6. ↑ 12 Meeks , 1975 .
  7. ↑ Traizet, 2008 , sid. 243–275.
  8. ↑ 1 2 utan självkorsningar
  9. ↑ Schwarz, 1933 .
  10. ↑ Neovius, 1883 .
  11. ↑ Alan H. Schoen, Oändliga periodiska minimala ytor utan självkorsningar, NASA Technical Note TN D-5541 (1970)
  12. ↑ [1 .pdf Oändliga periodiska minimala ytor utan självkorsningar av Alan H. Schoen] . Hämtad 12 april 2019. [ 1.pdf Arkiverad] 13 april 2018.
  13. ↑ Trippelperiodiska minimala ytor av Alan H. Schoen . Hämtad 12 april 2019. Arkiverad från originalet 22 oktober 2018.
  14. ↑ Karcher, 1989 , sid. 291–357.
  15. ↑ Weyhaupt, 2006 .
  16. ↑ Fischer och Koch 1996 , sid. 2105–2142.
  17. ↑ Karcher, Pinkall, Sterling, 1988 , sid. 169–185.
  18. ↑ Polthier, 1991 , sid. 201–210.
  19. ↑ Góźdź, Holyst, 1996 , sid. 5012–5027.
  20. ↑ Mazet, Traizet, 2006 , sid. 573–601.
  21. ↑ Sheng, Elser, 1994 , sid. 9977–9980.

Litteratur