Funktionellt omfång

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 12 augusti 2013; verifiering kräver 31 redigeringar .

En funktionell serie är en serie , där varje medlem, till skillnad från den numeriska serien , inte är ett tal , utan en funktion . $\ {u_{k}}(x)$

Funktionssekvens

Låt en sekvens av komplext värderade funktioner ges på mängden som ingår i det d-dimensionella euklidiska rummet . $\E$ $\ {\mathbb {R}}^{d}$

\ {u_{k}}(x):E\mapsto {\mathbb {C}},~~E\subseteq {\mathbb {R}}^{d},~~k\in {\mathbb {N} }

Punktvis konvergens

Den funktionella sekvensen konvergerar punktvis till funktionen om . $\ {u_{k}}(x)$ $\ {u}(x)$ $\forall x\in E\;\;\;\exists \lim _{{k\rightarrow \infty }}\ {u_{k}}(x)=\ {u}(x)$

Enhetlig konvergens

Det finns en funktion som: $\ u(x):E\mapsto {\mathbb {C}}$ $\ \sup \mid {u_{k}}(x)-u(x)\mid {\stackrel {k\rightarrow \infty }{\longrightarrow }}0,~~x\in E$

Faktumet med enhetlig konvergens av en sekvens till en funktion skrivs: $\ {u_{k}}(x)$ $\u(x)$ $\ {u_{k}}(x)\rightarrows u(x)$

Funktionsområde

$\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$

$\ {S_{n}}(x)=\summa _{{k=1}}^{{n}}{u_{k}}(x)$ — n:te delsumman .

Konvergens

I matematik betyder konvergens existensen av en ändlig gräns för en numerisk sekvens , summan av en oändlig serie , ett värde för en oegentlig integral , ett värde för en oändlig produkt .

En serie kallas punktvis konvergent om sekvensen av dess delsummor konvergerar punktvis. $\{S_{n}}(x)$

En serie kallas enhetligt konvergent om sekvensen av dess delsummor konvergerar enhetligt. $\{S_{n}}(x)$

Ett nödvändigt villkor för enhetlig konvergens av serien

$\ {u_{k}}(x)\rightarrows 0$ på $\k\högerpil \infty$

Eller på motsvarande sätt , där X är konvergensområdet. $\forall \varepsilon >0\,\,\exists n_{0}(\varepsilon )\i \mathbb {N} :\forall x\in X,\forall n>n_{0}\,\, \,|{u_{n}}(x)|<\varepsilon$

Cauchy-kriterium för enhetlig konvergens

Cauchy kriterium för funktionell sekvens. För att sekvensen av funktioner som definieras på uppsättningen ska konvergera enhetligt på denna uppsättning, är det nödvändigt och tillräckligt att för alla , med början från ett visst antal , för alla , större än eller lika med , samtidigt för alla funktionernas värden och skiljer sig inte med mer än . $\left\{f_{n}\right\}_{{n=1}}^{\infty }$ $V$ $\varepsilon >0$ $N=N(\varepsilon)$ $n,m$ $N$ $x \i V$ $f_{n}(x)$ $f_{m}(x)$ $\varepsilon$

\forall \varepsilon >0\;\exists N=N(\varepsilon )\;\forall n,m\geq N\;\forall x\in V\;\left|{f_{n}}(x)- \ {f_{m}}(x)\right|<\varepsilon

Absolut och villkorlig konvergens

En serie kallas absolut konvergent om den konvergerar. En absolut konvergent serie konvergerar. $\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$ $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\mid {u_{k}}(x)\mid$

Om serien konvergerar men divergerar, sägs serien vara villkorligt konvergent. För sådana serier är Riemanns sats om permutationen av termerna i en villkorligt konvergent serie sant . $\summa _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$ $\sum _{{k=1}}^{{\infty }}\mid {u_{k}}(x)\mid$ $\summa _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$

Tecken på enhetlig konvergens

Tecken på jämförelse

Serien konvergerar absolut och enhetligt om följande villkor är uppfyllda: $\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$

Serien konvergerar enhetligt. $\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{v_{k}}(x)$
$\ \mid {u_{k}}(x)\mid <{v_{k}}(x),~\forall x\in E,~\forall k\in {\mathbb {N}}$

Ett specialfall är Weierstrass-kriteriet när . Således är den funktionella serien begränsad till det vanliga. Det kräver den vanliga konvergensen. $\ {v_{k}}(x)=a_{k}$

Sign of Dirichlet

Serien konvergerar enhetligt om följande villkor är uppfyllda: $\sum _{{k=1}}^{\infty }{{a_{k}}(x)}{{u_{k}}(x)}$

Sekvensen av verkligt värderade funktioner är monoton och $\ {a_{k}}(x)$ $\ \forall x\i E$ $\ {a_{k}}(x)\rightarrows 0$
Delsummor är enhetligt bundna . $\ {S_{n}}(x)=\summa _{{k=1}}^{{n}}{u_{k}}(x)$

Abels tecken

Serien konvergerar enhetligt om följande villkor är uppfyllda: $\sum _{{k=1}}^{\infty }{{a_{k}}(x)}{{u_{k}}(x)}$

Sekvensen av verkligt värderade funktioner är enhetligt avgränsad och monoton . $\ {a_{k}}(x)$ $\ \forall x\i E$
Serien konvergerar enhetligt. $\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)$

Egenskaper för enhetligt konvergerande sekvenser och serier

Kontinuitetssatser

Vi överväger komplext värderade funktioner på uppsättningen $\E$

En sekvens av funktioner som är kontinuerlig vid en punkt konvergerar till en funktion som är kontinuerlig vid denna punkt.

Efterföljd

\ {u_{k}}(x)\rightarrows u(x)

\ \forall k:

funktionen är kontinuerlig vid en punkt

\ {u_{k}}(x)

\x_0

Sedan är kontinuerlig i .

\u(x)

\x_0

Ett antal funktioner som är kontinuerliga i en punkt konvergerar till en funktion som är kontinuerliga vid denna punkt.

Rad

\ \summa _{{k=0}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)\högerpilar S(x)

\ \forall k:

funktionen är kontinuerlig vid en punkt

\ {u_{k}}(x)

\x_0

Sedan är kontinuerlig i .

\S(x)

\x_0

Integrationssatser

Verkligt värderade funktioner på ett segment av den reella axeln beaktas.

Sats om passage till gränsen under integraltecknet.

\ \forall k:

funktionen är kontinuerlig på segmentet

\ {u_{k}}(x)

\ [a,b]

\ {u_{k}}(x)\rightarrows u(x)

på

\ [a,b]

Sedan konvergerar den numeriska sekvensen till en ändlig gräns .

\left\{{\int \limits _{a}^{b}{{u_{k}}(x)dx}}\right\}

{\displaystyle \int \limits _{a}^{b}{u(x)dx))

Teorem om term-för-term integration.

\ \forall k:

funktionen är kontinuerlig på segmentet

\ {u_{k}}(x)

\ [a,b]

\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)\högerpilar S(x)

på

\ [a,b]

Då konvergerar talserien och är lika med .

\ \sum _{k=1}^{\infty }\int \limits _{a}^{b}{u_{k))(x)dx

\int \limits _{a}^{b}S(x)dx

Differentieringssatser

Verkligt värderade funktioner på ett segment av den reella axeln beaktas.

Teorem om differentiering under gränsen.

\ \forall k:

funktionen är differentierbar (har en kontinuerlig derivata) på segmentet

\ {u_{k}}(x)

\ [a,b]

\ \finns c\i [a,b]:~u_{k}(c)

konvergerar (till den slutliga gränsen)

\ {u'_{k}}(x)\högerpilar \omega (x)

på segmentet

\ [a,b]

Sedan är differentierbar på , på

\ \exists u(x):~{u_{k}}(x)\högerpilar u(x),~u(x)

\ [a,b]

\u'(x)=\omega(x)

\ [a,b]

Sats om term-för-term differentiering.

\ \forall k:

funktionen är differentierbar på segmentet

\ {u_{k}}(x)

\ [a,b]

\ \exists c\in [a,b]:~\summa _{{k=1}}^{{\infty }}u_{k}(c)

konvergerar

\ \sum _{{k=1}}^{{\infty }}{u'_{k}}(x)

konvergerar enhetligt på segmentet

\ [a,b]

Sedan är differentierbar på , på

\ \exists S(x):~\summa _{{k=1}}^{{\infty }}{u_{k}}(x)\högerpilar S(x),~S(x)

\ [a,b]

\ S'(x)=\summa _{{k=1}}^{{\infty }}{u'_{k}}(x)

\ [a,b]

Länkar

O.V.Besov. ‹…Š–ˆˆFöreläsningar om matematisk analys. Del 1 . - M. : MIPT, 2004. - 325 sid. Kapitel 16 Funktionssekvenser och rader

Sekvenser och rader
Sekvenser	Numerisk sekvens Grundläggande sekvens Linjär återkommande sekvens Fibonacci-siffror lockiga siffror Faktoriell Barker-sekvens de bruijn sekvens
Rader, grundläggande	Radsumma Resten av raden Villkorlig konvergens Omväxlande serie Rad flersektion
Nummerserier ( operationer med nummerserier )	harmonisk serie Leibniz-serien En serie omvända kvadrater En serie ömsesidiga primtal Dirichlet rad Mercator-serien Rad Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funktionella rader	Taylor-serien Laurent-serien Fourier-serier Trigonometrisk Fourier-serie trigonometrisk serie Wiener-serien
Andra radtyper	Neumann-serien Puiseux rad