Karaktär (talteori)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 10 december 2021; kontroller kräver 2 redigeringar .

Ett tecken (eller numeriskt tecken , eller Dirichlet-tecken ), är en bestämd aritmetisk funktion som uppstår från helt multiplikativa tecken på inverterbara element . Dirichlet-tecken används för att definiera Dirichlet L -funktioner , som är meromorfa funktioner med många intressanta analytiska egenskaper. Om är en Dirichlet-karaktär, definieras dess L -Dirichlet-serie av jämställdheten $\mathbb {Z} /k\mathbb {Z}$ $\chi$

{\displaystyle L(s,\chi )=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s))))

där s är ett komplext tal med reell del > 1. Genom analytisk fortsättning kan denna funktion utökas till en meromorf funktion på hela det komplexa planet . Dirichlet L -funktioner är en generalisering av Riemann zeta-funktionen och framträder framträdande i generaliserade Riemann-hypoteser .

Dirichlets karaktärer är uppkallade efter Peter Gustav Lejeune Dirichlet .

Axiomatisk definition

Ett Dirichlet-tecken är vilken funktion som helst på uppsättningen heltal med komplexa värden som har följande egenskaper [1] : $\chi$ $\mathbb {Z}$

Det finns ett positivt heltal k så att för vilket n som helst . $\chi (n)=\chi (n+k)$
Om n och k inte är relativt primtal , då ; om de är coprime, . $\chi (n)=0$ $\chi (n)\neq 0$
$\chi (mn)=\chi (m)\chi (n)$ för alla heltal m och n .

Vissa andra egenskaper kan härledas från denna definition. Enligt fastighet 3) . Eftersom gcd (1, k ) = 1, egenskap 2) säger att , så $\chi (1)=\chi (1\ gånger 1)=\chi (1)\chi (1)$ $\chi (1)\neq 0$

$\chi(1)=1$ .

Egenskaper 3) och 4) visar att alla Dirichlet-tecken är ett fullt multiplikativt -tecken . $\chi$

Egenskap 1) säger att tecknet är en periodisk funktion med period k . Vi säger att det är ett tecken modulo k . Detta motsvarar att säga det $\chi$

om , då . $a\equiv b{\pmod {k))$ $\chi (a)=\chi (b)$

Om gcd( a , k ) = 1, säger Eulers sats att (var är Eulerfunktionen ). Alltså enligt fastigheterna 5) och 4), , och enligt fastigheten 3) . Följaktligen, $a^{\varphi (k)}\equiv 1{\pmod {k))$ $\varphi(k)$ $\chi (a^{\varphi (k)})=\chi (1)=1$ ${\displaystyle \chi (a^{\varphi (k)})=\chi (a)^{\varphi (k)))$

För allt ett coprime till k är den komplexa roten till enhet , $\chi(a)$ $\varphi(k)$

det vill säga för något heltal . ${\displaystyle e^{2ri\pi /\varphi (k)))$ $0\leqslant r<\varphi (k)$

Det enda tecknet med period 1 kallas trivialtecknet . Observera att alla tecken försvinner vid 0, förutom den triviala, som är 1 för alla heltal.

Ett tecken som tar värdet 1 på alla tal som primeras med kallas principal : $k$ $\chi _{0}(n)=\left\{{\begin{array}{ll}1,&{\text{gcd}}(n,\;k)=1;\\0, &{\text{gcd}}(n,\;k)\neq 1.\end{array}}\right.$ [2] .
- I gruppen av karaktärer modulo spelar han rollen som en enhet. $k$

En karaktär kallas verklig om den bara tar verkliga värden. En karaktär som inte är verklig kallas komplex [3]

Tecknets tecken beror på dess värde vid punkten −1. De säger att udda om , och även om . $\chi$ $\chi$ $\chi (-1)=-1$ $\chi (-1)=1$

Konstruktion via restklasser

Dirichlet-tecken kan betraktas i termer av teckengruppen i gruppen av inverterbara element i en ring som utökade tecken i restklasser [4] . $\mathbb {Z} /k\mathbb {Z}$

Restklasser

Givet ett heltal k , kan man definiera restklassen för ett heltal n som mängden av alla heltal som är kongruenta med n modulo k : Det vill säga, restklassen är medmängden av n i kvotringen . ${\hat {n}}=\{m\mid m\equiv n{\pmod {k}}\}.$ $\hat{n}$ $\mathbb {Z} /k\mathbb {Z}$

Mängden inverterbara element modulo k bildar en abelsk ordningsgrupp , där multiplikation i gruppen ges av likhet , och återigen betyder Euler-funktionen . Enheten i denna grupp är restklassen och det omvända elementet för är restklassen , där dvs. Till exempel, för k = 6, är uppsättningen inverterbara element , eftersom 0, 2, 3 och 4 inte är coprime till 6. $\varphi(k)$ ${\widehat {mn}}={\hat {m}}{\hat {n}}$ $\varphi$ ${\hat {1}}$ ${\hat {m))$ $\hat{n}$ ${\hat {m}}{\hat {n}}={\hat {1}}$ $mn\equiv 1{\pmod {k))$ $\{{\hat {1)),{\hat {5}}\}$

Teckengruppen består av tecknen i restklasserna . Restklassens natur på är primitiv om det inte finns någon riktig divisor d för k så att den faktoriseras som [5] . $(\mathbb {Z} /k)^{*}$ $\theta$ $(\mathbb {Z} /k)^{*}$ $\theta$ $(\mathbb {Z} /k)^{*}\to (\mathbb {Z} /d)^{*}\to \mathbb {C} ^{*}$

Karaktärer i Dirichlet

Definitionen av ett Dirichlet-tecken modulo k säkerställer att det är begränsat till tecknet i gruppen av inverterbara element modulo k [6] : gruppen av homomorfismer från till icke-noll komplexa tal $\chi$ $(\mathbb {Z} /k)^{*}$

\chi :(\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{*}\to \mathbb {C} ^{*}

med värden som nödvändigtvis är rötter till enhet, eftersom de inverterbara elementen modulo k bildar en finit grupp. I motsatt riktning, givet en homomorfismgrupp på gruppen av inverterbara element modulo k , kan vi lyfta till en fullt multiplikativ funktion på heltal coprime till k , och sedan utöka denna funktion till alla heltal genom att tilldela värdet 0 på alla heltal som har icke-triviala divisorer gemensamma med k . Den resulterande funktionen blir då ett Dirichlet-tecken [7] . $\chi$

Huvudtecken modulo k har egenskaperna [7] ${\displaystyle \chi _{1))$

\chi _{1}(n)=1

för gcd( n , k ) = 1 och

\chi _{1}(n)=0

för gcd( n , k ) > 1.

Den associerade karaktären för en multiplikativ grupp är huvudpersonen , som alltid tar värdet 1 [8] . $(\mathbb {Z} /k)^{*}$

När k är 1 är huvudtecknet modulo k 1 på alla heltal. För k större än 1 försvinner huvudtecknen modulo k vid heltal som har gemensamma faktorer som inte är noll med k och lika med 1 vid andra heltal.

Det finns Dirichlet-tecken modulo n [7] . $\varphi (n)$

Exempel

För alla udda moduler är Jacobi-symbolen ett tecken modulo . $k$ $\left({\frac {n}{k}}\right)$ $k$
Effektresten av en grad större än 2 är en icke-reell karaktär.

Vissa teckentabeller

Tabellerna nedan hjälper till att illustrera karaktären hos Dirichlets karaktärer. De representerar tecknen modulo 1 till 10. Karaktärerna är huvudkaraktärerna. ${\displaystyle \chi _{1))$

Modulo 1

Det finns ett tecken modulo 1: $\varphi(1)=1$

$\chi \setminus n$	0
$\chi _{1}(n)$	ett

Detta är en trivial karaktär.

Modulo 2

Det finns ett tecken modulo 2: $\varphi (2)=1$

$\chi \setminus n$	0	ett
$\chi _{1}(n)$	0	ett

Observera att det helt bestäms av värdet på , eftersom 1 genererar en grupp inverterbara element modulo 2. $\chi$ $\chi (1)$

Modulo 3

Det finns ett tecken modulo 3: $\varphi (3)=2$

$\chi \setminus n$	ett	2
$\chi _{1}(n)$	ett	ett
$\chi _{2}(n)$	ett	−1

Observera att det helt bestäms av värdet på , eftersom 2 genererar en grupp inverterbara element modulo 3. $\chi$ $\chi (2)$

Modulo 4

Det finns ett tecken modulo 4: $\varphi (4)=2$

$\chi \setminus n$	ett	2	3
$\chi _{1}(n)$	ett	0	ett
$\chi _{2}(n)$	ett	0	−1

Observera att det helt bestäms av värdet på , eftersom 3 genererar en grupp inverterbara element modulo 4. $\chi$ $\chi (3)$

L -Dirichlet-serien för lika med Dirichlet lambda-funktionen (nära besläktad med Dirichlet eta-funktionen ) $\chi _{1}(n)$

L(\chi _{1},s)=(1-2^{-s})\zeta (s)

var är Riemanns zeta-funktion. L -serien för är Dirichlets betafunktion $\zeta (s)$ $\chi _{2}(n)$

L(\chi _{2},s)=\beta (s).\,

Modulo 5

Det finns tecken modulo 5. I tabellerna är i kvadratroten av . $\varphi (5)=4$ $-ett$

$\chi \setminus n$	ett	2	3	fyra
$\chi _{1}(n)$	ett	ett	ett	ett
$\chi _{2}(n)$	ett	i	−i	−1
$\chi _{3}(n)$	ett	−1	−1	ett
$\chi _{4}(n)$	ett	− jag	i	−1

Observera att värdet är helt bestämt eftersom 2 genererar en grupp inverterbara element modulo 5. $\chi$ $\chi (2)$

Modulo 6

Det finns tecken modulo 6: $\varphi(6)=2$

$\chi \setminus n$	ett	2	3	fyra	5
$\chi _{1}(n)$	ett	0	0	0	ett
$\chi _{2}(n)$	ett	0	0	0	−1

Observera att det helt bestäms av värdet på , eftersom 5 genererar en grupp inverterbara element modulo 6. $\chi$ $\chi (5)$

Modulo 7

Det finns tecken modulo 7. Tabellen nedan $\varphi (7)=6$ $\omega =\exp(\pi i/3).$

$\chi \setminus n$	ett	2	3	fyra	5	6
$\chi _{1}(n)$	ett	ett	ett	ett	ett	ett
$\chi _{2}(n)$	ett	$\omega ^{2}$	$\omega$	$-\omega$	$-\omega ^{2}$	−1
$\chi _{3}(n)$	ett	− $\omega$	$\omega ^{2}$	$\omega ^{2}$	$-\omega$	ett
$\chi _{4}(n)$	ett	ett	−1	ett	−1	−1
$\chi _{5}(n)$	ett	$\omega ^{2}$	$-\omega$	$-\omega$	$\omega ^{2}$	ett
$\chi _{6}(n)$	ett	$-\omega$	$-\omega ^{2}$	$\omega ^{2}$	$\omega$	−1

Observera att det helt bestäms av värdet på , eftersom 3 genererar en grupp inverterbara element modulo 7. $\chi$ $\chi (3)$

Modulo 8

Det finns tecken modulo 8. $\varphi (8)=4$

$\chi \setminus n$	ett	2	3	fyra	5	6	7
$\chi _{1}(n)$	ett	0	ett	0	ett	0	ett
$\chi _{2}(n)$	ett	0	ett	0	−1	0	−1
$\chi _{3}(n)$	ett	0	−1	0	ett	0	−1
$\chi _{4}(n)$	ett	0	−1	0	−1	0	ett

Observera att det helt bestäms av värdena för och , eftersom 3 och 5 genererar en grupp inverterbara element modulo 8. $\chi$ $\chi (3)$ $\chi (5)$

Modulo 9

Det finns tecken modulo 9. Tabellen nedan $\varphi (9)=6$ $\omega =\exp(\pi i/3).$

$\chi \setminus n$	ett	2	3	fyra	5	6	7	åtta
$\chi _{1}(n)$	ett	ett	0	ett	ett	0	ett	ett
$\chi _{2}(n)$	ett	$\omega$	0	$\omega ^{2}$	$-\omega ^{2}$	0	$-\omega$	−1
$\chi _{3}(n)$	ett	$\omega ^{2}$	0	$-\omega$	$\omega$	0	$\omega ^{2}$	ett
$\chi _{4}(n)$	ett	−1	0	ett	−1	0	ett	−1
$\chi _{5}(n)$	ett	$-\omega$	0	$\omega ^{2}$	$\omega ^{2}$	0	$-\omega$	ett
$\chi _{6}(n)$	ett	$-\omega ^{2}$	0	$-\omega$	$\omega$	0	$\omega ^{2}$	−1

Observera att det helt bestäms av värdet på , eftersom 2 genererar en grupp inverterbara element modulo 9. $\chi$ $\chi (2)$

Modulo 10

Det finns tecken modulo 10. $\varphi (10)=4$

$\chi \setminus n$	ett	2	3	fyra	5	6	7	åtta	9
$\chi _{1}(n)$	ett	0	ett	0	0	0	ett	0	ett
$\chi _{2}(n)$	ett	0	i	0	0	0	− jag	0	−1
$\chi _{3}(n)$	ett	0	−1	0	0	0	−1	0	ett
$\chi _{4}(n)$	ett	0	− jag	0	0	0	i	0	−1

Observera att det helt bestäms av värdet på , eftersom 3 genererar en grupp inverterbara element modulo 10. $\chi$ $\chi (3)$

Exempel

Om p är ett udda primtal , då funktionen

\chi (n)=\left({\frac {n}{p}}\right),\

var är Legendre-symbolen , är en primitiv Dirichlet-karaktär modulo p [9] .

\left({\frac {n}{p}}\right)

Mer generellt, om m är ett positivt udda tal, funktionen

\chi (n)=\left({\frac {n}{m}}\right),\

var är Jacobi-symbolen , är Dirichlet-tecknet modulo m [9] .

\left({\frac {n}{m}}\right)

Dessa är kvadratiska tecken - i det allmänna fallet uppstår primitiva kvadratiska tecken exakt från Kronecker-Jacobi-symbolen [10] .

Primitiva karaktärer och dirigent

Vid övergång från rester modulo N till rester modulo M , för någon faktor M av N , går information förlorad. Dirichlet-teckeneffekten ger det motsatta resultatet - om är ett tecken modulo M , inducerar det ett tecken modulo N för valfri N -multipel av M . Ett tecken är primitivt om det inte induceras av något tecken modulo mindre [3] . $\chi *$ $\chi *$

Om är ett tecken modulo n och d delar n , säger vi att modulen d är den inducerade modulen för if för alla en coprime till n och 1 mod d [11] : tecknet är primitivt om det inte finns någon mindre inducerad modul [12 ] . $\chi$ $\chi$ $\chi (a)=1$

Vi kan formalisera detta på olika sätt genom att definiera tecken och som konsekvent om för någon modul N , så att N 1 och N 2 båda delar N , har vi för alla n coprime till N , det vill säga det finns något tecken som genereras som , så och . Detta är en ekvivalensrelation på karaktärer. Tecknet med den minsta modulen i en ekvivalensklass är primitiv, och den minsta modulen är ledaren för tecknen i klassen. ${\displaystyle \chi _{1}\mod N_{1))$ ${\displaystyle \chi _{2}\mod N_{2))$ $\chi _{1}(n)=\chi _{2}(n)$ $\chi *$ ${\displaystyle \chi _{1))$ ${\displaystyle \chi _{2))$

Teckens icke-primitivitet kan leda till frånvaron av Euler-multiplikatorer i deras L-funktioner .

Ortogonalitet av tecken

Ortogonaliteten hos tecknen i en finit grupp överförs till Dirichlet-tecken [13] .

Om vi fixar ett tecken modulo n , då $\chi$

\sum _{a{\bmod {n}}}\chi (a)=0

om inte huvudtecknet, annars är summan . $\chi$ $\varphi (n)$

På samma sätt, om vi fixerar en restklass a modulo n , så ger summan över alla tecken

\sum _{\chi }\chi (a)=0

förutom fallet a =1, när summan är . $\varphi (n)$

Därför drar vi slutsatsen att varje periodisk funktion med period n över klassen av rester coprime till n är en linjär kombination av Dirichlet-tecken [14] .

Historik

Dirichlets karaktärer, tillsammans med deras -serier, introducerades av Dirichlet 1831, som en del av beviset för Dirichlets sats om oändligheten av antalet primtal i aritmetiska progressioner. Han studerade dem endast för och främst när han tenderade att 1. Utvidgningen av dessa funktioner till hela det komplexa planet erhölls av Riemann 1859. $L$ $s\in \mathbb {R}$ $s$

Se även

Karaktär Gekke
Summan av tecken
Gauss summa
Primitiv rot modulo n
Selberg klass

Anteckningar

↑ Montgomery, Vaughan, 2007 , sid. 117-8.
↑ Montgomery, Vaughan, 2007 , sid. 115.
↑ 1 2 Montgomery, Vaughan, 2007 , sid. 123.
↑ Fröhlich och Taylor 1991 , sid. 218.
↑ Fröhlich och Taylor 1991 , sid. 215.
↑ Apostel, 1976 , sid. 139.
↑ 1 2 3 Apostol, 1976 , sid. 138.
↑ Apostel, 1976 , sid. 134.
↑ 1 2 Montgomery, Vaughan, 2007 , sid. 295.
↑ Montgomery, Vaughan, 2007 , sid. 296.
↑ Apostel, 1976 , sid. 166.
↑ Apostel, 1976 , sid. 168.
↑ Apostel, 1976 , sid. 140.
↑ Davenport, 1967 , sid. 31–32.

Litteratur

ApostolTM Introduktion till analytisk talteori. - New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976. - (Undergraduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-90163-3 .
Apostol TM Några egenskaper hos helt multiplikativa aritmetiska funktioner // The American Mathematical Monthly. - 1971. - T. 78 , nr. 3 . — S. 266–271 . - doi : 10.2307/2317522 . — .
Harold Davenport. multiplikativ talteori. - Chicago: Markham, 1967. - Vol. 1. - (Föreläsningar i avancerad matematik).
- Davenport G. Multiplikativ talteori. - M . : "Nauka", 1971.
Helmut Hasse. Vorlesungen über Zahlentheorie. — 2:a revisionen. — Springer-Verlag . - V. 59. - (Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften in Einzeldarstellungen). se kapitel 13.
- Hasse G. Föreläsningar om talteori. - M . : Utländsk litteratur, 1953.
Mathar, RJ (2010), Tabell över Dirichlet L-serien och prime zeta modulo funktioner för små moduler, arΧiv : 1008.2547 [math.NT].
Hugh L Montgomery, Robert C. Vaughan. multiplikativ talteori. I. Klassisk teori. - Cambridge University Press , 2007. - V. 97. - (Cambridge Studies in Advanced Mathematics). - ISBN 0-521-84903-9 .
- Montgomery G. Multiplikativ talteori. - M . : "Mir", 1974.
Robert Spira. Beräkning av Dirichlet L-funktioner // Mathematics of Computation. - 1969. - T. 23 , nr. 107 . — S. 489–497 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1969-0247742-X .
Fröhlich A., Taylor MJ Algebraisk talteori. - Cambridge University Press , 1991. - V. 27. - (Cambridge studier i avancerad matematik). — ISBN 0-521-36664-X .

Litteratur

Galochkin A. I., Nesterenko Yu. V., Shidlovsky A. B. Introduktion till talteori. - M .: Moscow Universitys förlag, 1984.
Karatsuba A. A. Grunderna i den analytiska teorin om tal. - 3:e uppl. — M.: URSS, 2004.

Karaktärer i talteori och i gruppteori
Kvadratiska tecken	Symbol för Legendre Jacobi symbol Kronecker symbol - Jacobi
Karaktärer av kraftrester	Den kubiska återstodens natur Den biquadratiska restens natur Symbol för kraftrester