Salem nummer

I matematik är ett Salemtal ett reellt algebraiskt heltal α > 1 vars alla konjugat har modul som högst 1 och minst en av dem har modul 1. Salem-tal är av intresse för diofantiska approximationer och harmonisk analys . De är uppkallade efter den franske matematikern Raphael Salem .

Egenskaper

Eftersom Salem-talet har ett konjugerat tal med absolutvärdet 1, måste det minsta polynomet för Salem-talet vara inverst . Det följer att 1/α också är en rot, och alla andra rötter har ett absolut värde som är exakt lika med 1. Som en konsekvens måste talet α vara ett inverterbart element (ringenhet) i ringen av algebraiska heltal , vilket är norm 1.

Varje Salem- tal är ett Perron-tal (ett algebraiskt heltal större än 1 vars modul är större än alla dess konjugat).

Förhållande med Pisot-Vijayaraghavan nummer

Det minsta kända Salem-talet är den största reella roten av Lehmerpolynomet (uppkallad efter den amerikanske matematikern Derrick Lehmer )

P(x)=x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+ x+1,

vars värde är x ≈ 1,177 628; det antas vara det minsta Salemtalet och det minsta möjliga Mahlermåttet för ett irreducerbart icke-cykliskt polynom [1] .

Lehmerpolynomet är en faktor av det kortare 12:e gradens polynomet,

Q(x)=x^{12}-x^{7}-x^{6}-x^{5}+1,

alla tolv rötter som uppfyller relationen [2]

x^{630}-1={\frac {(x^{315}-1)(x^{210}-1)(x^{126}-1)^{2}(x^{ 90}-1)(x^{3}-1)^{3}(x^{2}-1)^{5}(x-1)^{3}}{(x^{35}-1 )(x^{15}-1)^{2}(x^{14}-1)^{2}(x^{5}-1)^{6}\,x^{68}}}

Salem-nummer är nära relaterade till Pisot-Vijayaraghavan (PV-nummer) . Det minsta av PV-talen är den enda reella roten av 3:e gradens polynom

x^{3}-x-1,

känt som " plastnummer " och ungefär lika med 1,324718. PV-nummer kan användas för att generera en familj av Salem-nummer, inklusive det minsta. Det allmänna sättet är att ta minimipolynomet P ( x ) för ett PV-tal av grad n och dess inversa polynom P* ( x ) (vars koefficienter, grovt sett, bildas genom att "reflektera" koefficienterna för polynomet P ( x ) med avseende på x n /2 ) och lös ekvationen

x^{n}P(x)=\pm P^{*}(x)

relativt ett heltal n . Genom att subtrahera en sida från den andra, faktorisera och eliminera triviala faktorer, kan man få ett minimalt polynom för vissa Salem-tal. Om vi till exempel tar ett plastnummer och väljer plus i stället för ovanstående plus eller minus, då:

x^{n}(x^{3}-x-1)=-x^{3}-x^{2}+1

och för n = 8 får vi

(x-1)(x^{10}+x^{9}-x^{7}-x^{6}-x^{5}-x^{4}-x^{3} +x+1)=0,

där 10:e gradens polynom är Lehmerpolynomet. Med ett större värde på n får vi en familj av polynom, vars ena rötter närmar sig det plastiska talet . Detta kan förstås genom att extrahera radikalerna i n:te potensen från båda sidor av ekvationen,

{\displaystyle x(x^{3}-x-1)^{1/n}=\pm (x^{3}+x^{2}-1)^{1/n))

Ju större värdet på n är, desto mer kommer x att närma sig lösningen x 3 − x − 1 = 0.[ förtydliga ] När du väljer ett positivt tecken i stället för plus eller minus, närmar sig roten x det plastiska talet i motsatt[ vad? ] riktning. Använder minimipolynomet för det näst minsta PV-talet $x^{4}-x^{3}-1$

x^{n}(x^{4}-x^{3}-1)=-(x^{4}+x-1),

som för n = 7 tar formen

(x-1)(x^{10}-x^{6}-x^{5}-x^{4}+1)=0

vid en polynomgrad som inte genererades i den föregående och har en rot x ≈ 1,216391... vilket är det femte minsta kända Salem-talet. När n går till oändligheten går denna familj i sin tur till den större reella roten av x 4 − x 3 − 1 = 0.

Anteckningar

↑ Borwein (2002) s.16
↑ D. Bailey och D. Broadhurst, A Seventeenth Order Polylogaritm Ladder

Litteratur

Borwein, PeterBeräkningsexkursioner i analys ochtalteori . - Springer-Verlag , 2002. - (CMS Books in Mathematics). — ISBN 0-387-95444-9 . Kille. 3.
Boyd, David (2001), Salem nummer , i Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics , Springer , ISBN 978-1-55608-010-4
MJ Mossinghoff. Små Salem-nummer . Tillträdesdatum: 7 januari 2016. (obestämd)
Salem, R.Algebraiska tal och Fourieranalys (obestämd) . — Boston, MA: DC Heath and Company, 1963. - (Heath matematiska monografier).

Algebraiska tal
Olika sorter	Algebraiska heltal Chebyshev noder Konstruktiva siffror Eisensteins helhet Gaussiska heltal Kummer ring Perron nummer Piso-Vijayaraghavan nummer Kvadratisk irrationalitet ℚ Rötter från enhet Salem nummer
Specifik	Conway konstant 3 √ 2 φ δS _ √2 _ √ 3 √5 _ 12 √ 2