Endomorfism

Endomorfism är en morfism av ett kategoriobjekt in i sig självt; inom ramen för universell algebra är det en homomorfism som kartlägger ett algebraiskt system i sig själv.

I vilken kategori som helst är sammansättningen av två endomorfismer också en endomorfism, sammansättningen är associativ och det finns en identisk endomorfism. Det följer att alla endomorfismer för ett objekt bildar en monoid , som betecknas (eller för att understryka kategorin ). $X$ $X$ $\operatörsnamn {Slut}(X)$ $\operatörsnamn {End}_{C}(X)$ $C$

En reversibel endomorfism (som har egenskaperna hos en isomorfism ) kallas en automorfism . Uppsättningen av automorfismer är en delmängd med en naturlig gruppstruktur och betecknas med . $\operatörsnamn {Slut}(X)$ $\operatörsnamn {Aut}(X)$

Vilken som helst två endomorfismer av en Abelisk grupp kan läggas till enligt regeln . Med addition definierad på detta sätt, bildar endomorfismerna av någon abelisk grupp en ring som kallas endomorphismringen . Till exempel är endomorfismer av en fri abelsk grupp ringen av alla matriser med heltalskoefficienter. Endomorfismer av ett vektorrum eller en modul bildar också en ring, liksom endomorfismer av något objekt av en preadditiv kategori . Endomorphisms av en kommutativ monoid bildar en semiring , medan endomorphisms av en icke-kommutativ grupp bildar en struktur som kallas en near-ring . $(f+g)(a)=f(a)+g(a)$ ${\mathbb Z}^{n}$ $n\ gånger n$

Litteratur

Nathan Jacobson . Grundläggande algebra (obestämd) . — 2:a. - Dover, 2009. - Vol. 1. - ISBN 978-0-486-47189-1 .
McLane S. Kategorier för den arbetande matematikern / Per. från engelska. ed. V. A. Artamonova. - M. : Fizmatlit, 2004. - 352 sid. — ISBN 5-9221-0400-4 .