Kvantharmonisk oscillator

En kvantharmonisk oscillator är en fysisk modell inom kvantmekaniken , som är en parabolisk potentialbrunn för en partikel med massa och är en analog till en enkel harmonisk oscillator . När vi analyserar beteendet hos detta system tar vi inte hänsyn till krafterna som verkar på partikeln, utan Hamiltonian , det vill säga oscillatorns totala energi, och den potentiella energin antas vara kvadratiskt beroende av koordinaterna. Att ta hänsyn till följande termer i expansionen av den potentiella energin längs koordinaten leder till begreppet en anharmonisk oscillator . $m$

Problemet med harmoniska oscillatorer i koordinatrepresentation

Hamiltonian för en kvantoscillator med massan m, vars naturliga frekvens är ω, ser ut så här:

\!{\hat {H}}={\frac {{\hat p}^{2}}{2m}}+{\frac {m\omega ^{2}{\hat q}^{2}} {2}}

I samordnad representation , . Problemet med att hitta energinivåerna för en harmonisk oscillator reduceras till att hitta sådana tal E för vilka den partiella differentialekvationen ${\hat p}=-i\hbar \partial /\partial x$ ${\hat q}=x$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\psi (x)+{\frac {m\omega ^{2}x^{2}}{2}}\psi (x)=E\psi (x)

har en lösning i klassen kvadratintegrerbara funktioner .

För $E_{n}=\hbar \omega \left(n+{1 \over 2}\right)\ ,\ n=0,1,2,\ldots$

lösningen ser ut som:

\psi _{n}(x)={\frac {1}{{\sqrt {2^{n}n!))))\cdot \left({\frac {m\omega }{\pi \hbar }}\right)^{{1/4}}\cdot \exp \left(-{\frac {m\omega x^{2}}{2\hbar }}\right)\cdot H_{n}\ vänster({\sqrt {{\frac {m\omega }{\hbar }}}}x\höger),

funktioner är hermitpolynom : $H_n$

H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{{x^{2}}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{{- x^{2}}}

Detta intervall av E -värden förtjänar uppmärksamhet av två skäl: för det första är energinivåerna diskreta och lika fördelade (likavstånd) , det vill säga skillnaden i energi mellan två intilliggande nivåer är konstant och lika med ; för det andra är det minsta energivärdet . Denna nivå kallas huvud- , vakuum- eller nivån av nollsvängningar . $\hbar \omega$ $\hbar \omega /2$

Skapande och förstörelse operatörer

Det är mycket lättare att erhålla spektrumet för en harmonisk oscillator med hjälp av skapande och förintelseoperatorer som är konjugerade till varandra .

Födelseoperatorn är , annihilationsoperatorn är , deras kommutator är lika med ${\hat {a}}^{+}$ ${\hat {a}}$

[{\hat {a)),{\hat {a}}^{+}]={\hat {a}}{\hat {a}}^{+}-{\hat {a} }^{+}{\hat {a}}={\frac {i}{\hbar }}({\hat {p}}{\hat {q}}-{\hat {q}}{\hat {p)))=1

Med hjälp av skapande och förintelseoperatorer kan Hamiltonian för en kvantoscillator skrivas i en kompakt form:

{\hat {H}}=\hbar \omega \left({\hat {a}}^{+}{\hat {a}}+{\frac {1}{2}}\right)=\hbar \omega \left({\hat {n}}+{\frac {1}{2}}\right)

var är operatören för nivånumret (fyllningsnummer). Egenvektorerna för en sådan Hamiltonian är Fock-tillstånd , och representationen av lösningen av problemet i denna form kallas "representationen av antalet partiklar". ${\hat {n}}={\hat {a}}^{+}{\hat {a}}$

Anharmonisk oscillator

En anharmonisk oscillator förstås som en oscillator med ett icke-kvadratiskt beroende av den potentiella energin på koordinaten. Den enklaste approximationen av en anharmonisk oscillator är approximationen av potentiell energi fram till den tredje termen i Taylor-serien :

{\hat {H}}={{\hat {p}}^{2} \over 2m}+{1 \over 2}m\omega ^{2}{\hat {q}}^{ 2}+\lambda {\hat {q}}^{3}

Den exakta lösningen av problemet med energispektrumet för en sådan oscillator är ganska mödosam, men det är möjligt att beräkna korrigeringarna av energin, om vi antar att den kubiska termen är liten jämfört med den kvadratiska, och använder störningen teori .

I representationen av skapelse- och förintelseoperatorerna (andra kvantiseringsrepresentationen) är kubiktermen lika med

\lambda \left({\hbar \over 2m\omega}\right)^{{3 \over 2}}({\hat {a}}+{\hat {a}}^{+})^{3 }.

Denna operator har noll diagonala element, och därför saknas den första korrigeringen av störningsteorin. Den andra korrigeringen av energin i ett godtyckligt icke- vakuumtillstånd är $\left|\psi _{E}\right\rangle$

\Delta E^{{(2)}}=\lambda ^{2}\left\langle \psi _{E}\right|q^{3}{1 \over E-\hbar \omega /2}q ^{3}\left|\psi _{E}\right\rangle .

Flerpartikelkvantoscillator

I det enklaste fallet med växelverkan mellan flera partiklar kan modellen av en kvantoscillator med många partiklar tillämpas, vilket innebär växelverkan mellan närliggande partiklar enligt en kvadratisk lag:

{\hat {H}}=\sum _{i=1}^{N}({\hat {p}}_{i}^{2} \over 2m}+{1 \over 2} m\omega ^{2}\summa _{i<j}^{N}({\hat {q}}_{i}-{\hat {q}}_{j})^{2}

Här menar vi avvikelsen från jämviktspositionen och rörelsemängden för den -e partikeln. Summeringen utförs endast över angränsande partiklar. ${\hat {q}}_{i}$ ${\hat {p}}_{i}$ $i$

En sådan modell leder till en teoretisk belägg för fononer - Bose - kvasipartiklar observerade i ett fast ämne.

Övergångar under påverkan av en yttre kraft

Under påverkan av en yttre kraft kan en kvantoscillator flytta från en energinivå ( ) till en annan ( ). Sannolikheten för denna övergång för en oscillator utan dämpning ges av formeln: $med)$ $n$ $m$ $W_{n,m}(t)$

W_{n,m}(t)={\frac {n!}{m!}}|\delta |^{2(nm)}exp\left(-|\delta ^{2}|\ vänster(L_{n}^{mn}(|\delta |^{2})\höger)^{2}\höger)

där funktionen definieras som: $\delta (t)$

\delta (t)=-il\hbar \int \limits _{0}^{t}{f(\tau )exp(i\omega \tau )d\tau }

och är Laguerre polynom . $L_{m}^{{mn}}$

Se även

Litteratur

Landau L.D., Lifshits E.M. Kvantmekanik (icke-relativistisk teori). — 3:e upplagan, reviderad och förstorad. — M .: Nauka , 1974 . — 752 sid. - ("Teoretisk fysik", volym III).

Modeller av kvantmekanik
Endimensionell utan snurr	fri partikel Grop med ändlösa väggar Rektangulär kvantbrunn deltapotential Triangulär kvantbrunn Harmonisk oscillator Potentiell språngbräda Pöschl-Teller potential väl Modifierad Pöschl-Teller potentialbrunn Partikel i en periodisk potential Dirac potentialkam Partikel i ringen
Flerdimensionell utan snurr	cirkulär oscillator Vätemolekyljon Symmetrisk topp Sfäriskt symmetriska potentialer Woods-Saxon potential Keplers problem Yukawa potential Morsepotential Hulthen potential Kratzers molekylära potential Exponentiell potential
Inklusive spinn	väteatom Hydridjon heliumatom