Väteatom

En väteliknande atom eller väteliknande jon är vilken atomkärna som helst som har en elektron [1] och är därför isoelektronisk till en väteatom . Dessa joner bär en positiv laddning , där är kärnans laddningsnummer . Exempel på väteliknande joner är He + , Li 2+ , Be 3+ och B 4+ . Eftersom väteliknande joner är tvåpartikelsystem vars interaktion endast beror på avståndet mellan de två partiklarna, har deras (icke-relativistiska) Schrödinger-ekvation och (relativistiska) Dirac-ekvation lösningar i analytisk form. Lösningar är enelektronfunktioner och kallas väteliknande atomorbitaler [2] . $e(Z-1)$ $Z$

Andra system kan också kallas väteliknande, såsom muonium (en elektron bunden till en antimuon ), positronium (ett system av elektron och positron ), vissa exotiska atomer (bildade med andra partiklar), eller Rydberg-atomer (där en elektron är i omloppsbana med så hög energi att resten av atomens partiklar ser ut som en punktladdning ).

Schrödingers lösning

I lösningen av den icke-relativistiska Schrödinger-ekvationen är väteliknande atomorbitaler egenfunktioner av en-elektrons rörelsemängdsoperator L och dess z - komponent Lz . En väteliknande atomomloppsbana identifieras unikt av värdena för det huvudsakliga kvanttalet n , vinkelmomentet kvantnumret l och det magnetiska kvanttalet m . Energiegenvärdena beror inte på l eller m , utan enbart på n . Till dem ska läggas det tvåvärdiga spinnkvanttalet m s = ± ½ . Detta skapar grunden för Klechkovsky-regeln , som begränsar de tillåtna värdena för de fyra kvanttalen i de elektroniska konfigurationerna av atomer med ett stort antal elektroner. I väteliknande atomer bildar alla degenererade orbitaler med fasta n och l , m och m s , varierande mellan vissa värden (se nedan), ett atomärt elektronskal .

Schrödinger-ekvationen för atomer eller atomjoner med mer än en elektron har inte lösts analytiskt på grund av beräkningskomplexitet orsakad av Coulomb-interaktionen mellan elektroner. I detta fall används numeriska metoder för att erhålla (ungefärliga) vågfunktioner eller andra egenskaper från kvantmekaniska beräkningar. På grund av sfärisk symmetri ( Hamiltonian ) är atomens totala rörelsemängd, J , en bevarad storhet. Många numeriska procedurer använder produkter av atomära orbitaler, som är egenfunktioner för en - elektronoperatorerna L och Lz . De radiella delarna av dessa atomära orbitaler representeras ibland som tabeller eller ibland Slater orbitaler . Vinkelmomentrelaterade funktioner används för att konstruera multielektronegenfunktionerna J 2 (och möjligen S 2 ).

I kvantkemiska beräkningar kan väteliknande atomorbitaler inte tjäna som grund för expansion, eftersom den inte är komplett. För att få en komplett uppsättning är det nödvändigt att komplettera basen med kvadratiska icke-integrerbara tillstånd av kontinuumet ( E > 0 ), det vill säga täcka hela enelektronens Hilbert-rymden [3] .

I den enklaste modellen är atomorbitalerna för väteliknande joner lösningar av Schrödinger-ekvationen i en sfäriskt symmetrisk potential. I det här fallet, den potentiella energin som ges av Coulombs lag :

V(r)=-{\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}},

var

ε 0 - vakuumets permittivitet ,
Z är laddningstalet (antalet protoner i kärnan),
e - elementär laddning (elektronladdning),
r är avståndet mellan elektronen från kärnan.

Efter att ha skrivit vågfunktionen som en produkt av funktioner:

\psi (r,\theta ,\phi )=R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta ,\phi )\,

(i sfäriska koordinater ), där är sfäriska övertoner , kommer vi fram till följande Schrödinger-ekvation: $Y_{{lm}}$

-{\frac {\hbar ^{2}}{2\mu }}\left[{1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2 }{\partial R(r) \over \partial r}\right)-{l(l+1)R(r) \over r^{2}}\right]+V(r)R(r)= Fela),

där är den reducerade elektronmassan och är den reducerade Planck-konstanten . $\mu$ $\hbar$

Olika värden på l ger lösningar med olika rörelsemängd , där l (ett icke-negativt heltal) är kvanttalet för rörelsemängden i omloppsbanan . Det magnetiska kvanttalet m (uppfyller villkoret ) är projektionen av rörelsemängden i omloppsbanan på z- axeln . $-l\leq m\leq l$

Icke-relativistisk vågfunktion och energi

Förutom l och m erhålls ett tredje heltal n > 0 från de randvillkor som ställs på den radiella vågfunktionen R. Funktionerna R och Y , som ger lösningen till ekvationen ovan, beror på värdena på dessa heltal, så kallade kvanttal . Vågfunktioner tilldelas vanligtvis värdena på kvanttal som de beror på. Det slutliga uttrycket för den normaliserade vågfunktionen:

\psi _{nlm}=R_{nl}(r)\,Y_{lm}(\theta ,\phi ),

R_{nl}(r)={\sqrt {{\left({\frac {2Z}{na_{\mu ))}\right)}^{3}{\frac {(nl-1) !}{2n[(n+l)!]}}}}e^{-Zr/{na_{\mu }}}\left({\frac {2Zr}{na_{\mu }}}\right) ^{l}L_{nl-1}^{2l+1}\left({\frac {2Zr}{na_{\mu }}}\right),

var

$L_{nl-1}^{2l+1}$ är generaliserade Laguerre-polynom .
$a_{\mu }={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2)) \over {\mu e^{2))}={\frac {\hbar c}{\ alpha \mu c^{2}}}={{m_{\mathrm {e} }} \över {\mu }}a_{0},$

där α är finstrukturkonstanten . är kärnans-elektronsystemets reducerade massa, det vill säga var är kärnans massa. Som regel är kärnan mycket mer massiv än elektronen, så (Men för positronium )

\mu

\mu ={{m_{\mathrm {N} }m_{\mathrm {e} }} \över {m_{\mathrm {N} }+m_{\mathrm {e} }}},

{\displaystyle m_{\mathrm {N} ))

\mu \approx m_{\mathrm {e} }.

\mu =m_{\mathrm {e} }/2.

$E_{n}=-\left({\frac {Z^{2}\mu e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^ {2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}=-\left({\frac {Z^{2}\hbar ^{2}}{2\mu a_{\ mu }^{2))}\right){\frac {1}{n^{2))}=-{\frac {\mu c^{2}Z^{2}\alpha ^{2)) {2n^{2}}}.$
$Y_{lm}(\theta ,\phi )\,$ är en sfärisk harmonisk .

Pariteten på grund av vinkelvågsfunktionen är lika med . ${\displaystyle {\left({-1}\right)}^{l))$

Kvantnummer

Kvanttal n , l och m är heltal som har följande värden:

n=1,2,3,4,\dots ,

l=0,1,2,\dots ,n-1,

m=-l,-l+1,\ldots ,0,\ldots ,l-1,l.

Den teoretiska tolkningen av dessa kvanttal ges i den här artikeln . Denna artikel ger bland annat en gruppteoretisk motivering till varför och också $l<n\,$ $-l\leq m\leq \,l.$

Vinkelmoment

Varje atomomlopp är associerad med ett omloppsrörelsemängd L. Detta är en vektoroperator och egenvärdena för dess kvadrat L 2 ≡ L2
x+ L2 år _
+ L2z _
definierad som

L^{2}Y_{lm}=\hbar ^{2}l(l+1)Y_{lm}.

Projektionen av denna vektor på en godtycklig riktning kvantiseras . Om en godtycklig riktning kallas z definieras kvantiseringen som

L_{\mathrm {z} }Y_{lm}=\hbar mY_{lm},

där m är begränsat enligt ovan. Observera att L 2 och L z pendlar och har ett gemensamt egentillstånd, vilket överensstämmer med Heisenbergs osäkerhetsprincip . Eftersom L x och L y inte pendlar med Lz är det omöjligt att hitta ett tillstånd som är ett egentillstånd för alla tre komponenterna samtidigt. Därför är värdena för x - och y - komponenterna inte exakta, utan ges av en sannolikhetsfunktion av ändlig bredd. Det faktum att x- och y - komponenterna i den orbitala vinkelmomentvektorn inte är väldefinierade innebär att riktningen för den orbitala vinkelmomentvektorn inte heller är definierad, även om dess komponent längs z -axeln är väldefinierad.

Dessa relationer ger inte elektronens totala rörelsemängd. För att hitta den totala rörelsemängden måste elektronernas spinn beaktas.

Denna kvantisering av rörelsemängd korrelerar nära med Niels Bohrs (se Bohr-modellen ) 1913 föreslagna modell av atomen utan kunskap om vågfunktionerna.

Aktiverar spin-omloppsinteraktion

I en verklig atom kan spinn av en rörlig elektron interagera med kärnans elektriska fält genom relativistiska effekter, ett fenomen som kallas spin-omloppsinteraktion . När denna koppling tas med i beräkningen, bevaras spinn och orbitalmomentum inte längre separat, vilket kan representeras som elektronprecession . Därför är det nödvändigt att ersätta kvanttalen l , m och spinnprojektionen m s med kvanttal som representerar den totala rörelsemängden (inklusive spinn): j och m j , samt kvantparitetstalet .

Lösning av Dirac-ekvationen

År 1928 härledde den engelske fysikern Paul Dirac en ekvation som, till skillnad från Schrödinger-ekvationen, är helt kompatibel med speciell relativitetsteori . Diracs ekvation för väteliknande atomer löstes samma år (förutsatt en enkel Coulomb-potential runt en punktladdning) av Walter Gordon . Istället för en (eventuellt komplex) funktion, som i Schrödinger-ekvationen, måste fyra komplexa funktioner hittas som utgör bispinor . Den första och andra funktionen (eller spinorkomponenterna) motsvarar (i den vanliga grunden) tillstånden "spin-up" och "spin-down", som för den tredje och fjärde komponenten.

Termerna "spin-up" och "spin-down" hänvisar till den valda riktningen, som vanligtvis är z -riktningen . En elektron kan inte bara befinna sig i ett av dessa rena tillstånd, utan också i en superposition av spin upp och ner tillstånd, vilket motsvarar en rotationsaxel som pekar i någon annan riktning. Rotationsläget kan bero på platsen.

En elektron i närheten av kärnan, där dess hastighet kan närma sig den relativistiska, har nödvändigtvis amplituder som inte är noll för de tredje och fjärde komponenterna. Bort från kärnan kan de vara små, men nära kärnan blir de stora.

Hamiltonianens egenfunktioner , dvs. funktioner som har en viss energi (och som därför är stationära - inte utvecklas med tiden förutom en fasförskjutning) har energier som inte bara beror på det huvudsakliga kvanttalet n , som för Schrödinger-ekvationen, utan också på kvanttalet av den totala rörelsemängden j . Kvanttalet j bestämmer summan av kvadraterna av tre vinkelmoment, vilket är lika med j · ( j + 1) (multiplicerat med kvadraten av Plancks konstant ħ 2 ). Dessa vinkelmoment inkluderar både orbital vinkelmomentum (relaterat till vinkelberoendet av ψ ) och spinnmomentum (relaterat till elektronens spintillstånd). Uppdelningen av energierna i tillstånd med samma huvudsakliga kvantnummer n på grund av skillnader i j kallas finstruktur . Värdet på kvanttalet för den totala rörelsemängden j ligger i intervallet från 1/2 till n − 1/2 med steget 1.

Orbitaler för ett givet tillstånd kan skrivas med två radiella funktioner och två vinkelfunktioner. De radiella funktionerna beror på både det huvudsakliga kvanttalet n och heltalet k , definierade som:

k={\begin{cases}-j-{\tfrac {1}{2)),&{\text{if }}j=l+{\tfrac {1}{2)),\\+ j+{\tfrac {1}{2)),&{\text{if }}j=l-{\tfrac {1}{2)),\end{cases}}

där l är det orbitala kvanttalet i intervallet från 0 till n − 1 . Vinkelfunktionerna beror på k och på kvanttalet m , som varierar från -j till j i enhetssteg. Tillstånd är märkta med de latinska bokstäverna S, P, D, F, och så vidare för att beteckna tillstånd med l lika med 0, 1, 2, 3, och så vidare (se orbital quantum number ), med indexet givet av j . Tillstånden för n = 4 listas till exempel i följande tabell (de måste föregås av n , till exempel 4S 1/2 ):

	m = −7/2	m = −5/2	m = −3/2	m = −1/2	m = 1/2	m = 3/2	m = 5/2	m = 7/2
k = 3, l = 3		F 5/2	F 5/2	F 5/2	F 5/2	F 5/2	F 5/2
k = 2, l = 2			D3 /2	D3 /2	D3 /2	D3 /2
' 'k= 1,l = 1				P 1/2	P 1/2
k = 0
k = −1, l = 0				S 1/2	S 1/2
k = −2, l = 1			P 3/2	P 3/2	P 3/2	P 3/2
k = −3, l = 2		D 5/2	D 5/2	D 5/2	D 5/2	D 5/2	D 5/2
k = −4, l = 3	F 7/2	F 7/2	F 7/2	F 7/2	F 7/2	F 7/2	F 7/2	F 7/2

Dessa beteckningar kan också kompletteras med indexet m . Antalet tillstånd med huvudsakligt kvantnummer n är 2 n 2 , varav för alla tillåtna j finns det 4 j + 2 tillstånd, förutom det största ( j = n − 1/2 ), för vilket det bara finns 2 j + 1 tillstånd. Eftersom alla orbitaler med givna värden på n och j har samma energi enligt Dirac-ekvationen, utgör de en bas för det funktionsutrymme som har denna energi - var och en av de tillåtna funktionerna kan representeras som en överlagring av dessa baser funktioner.

Energi som funktion av n och | k | (där modulen för k är, per definition, j + 1/2 ) är

{\begin{array}{rl}E_{n\,j}&=\mu c^{2}\left(1+\left[{\dfrac {Z\alpha }{n-|k| +{\sqrt {k^{2}-Z^{2}\alpha ^{2}}}}}\right]^{2}\right)^{-1/2}\\&\\&\ ungefär \mu c^{2}\left\{1-{\dfrac {Z^{2}\alpha ^{2}}{2n^{2}}}\left[1+{\dfrac {Z^{ 2}\alpha ^{2}}{n}}\left({\dfrac {1}{|k|}}-{\dfrac {3}{4n}}\right)\right]\right\}. \end{array}}

(Energin beror naturligtvis på nollpunkten som används.) Observera att om vi tar Z större än 137 (högre än kärnladdningen för något känt element), så skulle vi ha ett negativt värde under kvadratroten för S 1/2 och P orbitaler 1/2 , vilket betyder att de inte skulle existera. Schrödingerlösningen motsvarar att ersätta den inre konsolen i det andra uttrycket med 1. Noggrannheten för energiskillnaden mellan de två lägsta vätetillstånden, beräknad från Schrödingerlösningen, är cirka 9 ppm ( 90 μ eV mindre än experimentvärdet på cirka 10 eV ), medan noggrannheten i Dirac-ekvationen för samma energiskillnad är cirka 3 miljondelar (och mer än experimentvärdet). Schrödingerlösningen ger alltid tillståndsenergin något högre än den mer exakta Dirac-ekvationen. Dirac-ekvationen ger vissa nivåer av väte ganska exakt (till exempel ger beräkningen för 4P 1/2 -tillståndet en energi som bara är 2⋅10 -10 eV högre än experimentet), andra är något mindre exakta (till exempel den beräknade energin för 2S 1/2 -nivån är 4⋅10 -6 eV under experimentvärdet) [4] . Förändringen i energi på grund av användningen av Dirac-ekvationen snarare än Schrödinger-lösningen är av storleksordningen α 2 , och av denna anledning kallas α för finstrukturkonstanten .

Lösningen av Dirac-ekvationen för kvanttal n , k och m har formen:

$\Psi ={\begin{pmatrix}g_{n,k}(r)r^{-1}\Omega _{k,m}(\theta ,\phi )\\if_{n,k} (r)r^{-1}\Omega _{-k,m}(\theta ,\phi )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}g_{n,k}(r)r^{ -1}{\sqrt {(k+{\tfrac {1}{2}}-m)/(2k+1)}}Y_{k,m-1/2}(\theta ,\phi )\\- g_{n,k}(r)r^{-1}\operatörsnamn {sgn} k{\sqrt {(k+{\tfrac {1}{2}}+m)/(2k+1)))Y_{ k,m+1/2}(\theta ,\phi )\\if_{n,k}(r)r^{-1}{\sqrt {(-k+{\tfrac {1}{2}}- m)/(-2k+1)}}Y_{-k,m-1/2}(\theta ,\phi )\\-if_{n,k}(r)r^{-1}\operatörsnamn { sgn} k{\sqrt {(-k+{\tfrac {1}{2}}-m)/(-2k+1)))Y_{-k,m+1/2}(\theta ,\phi ) \end{pmatrix}},$

där Ω s är kolumnerna för de två sfäriska övertonsfunktionerna , som visas till höger. betecknar den sfäriska övertonsfunktionen $Y_{a,b}(\theta ,\phi )$

Y_{a,b}(\theta ,\phi )={\begin{cases}(-1)^{b}{\sqrt {{\frac {2a+1}{4\pi }}{ \frac {(ab)!}{(a+b)!}}}}P_{a}^{b}(\cos \theta )e^{ib\phi },&{\text{if }}a >0,\\Y_{-a-1,b}(\theta ,\phi ),&{\text{if }}a<0,\end{cases}}

var finns de associerade Legendre-polynomen . (Denna definition av Ω inkluderar sfäriska övertoner som inte existerar, till exempel , men faktorn framför dem är noll.) $P_{a}^{b}$ $Y_{0,1}$

Några hörnfunktioner skrivs ut nedan. Normaliseringsfaktorn har utelämnats för att förenkla uttryck.

\Omega _{-1,-1/2}\propto {\binom {0}{1)),

\Omega _{-1,1/2}\propto {\binom {1}{0)),

\Omega _{1,-1/2}\propto {\binom {(x-iy)/r}{z/r)),

\Omega _{1,1/2}\propto {\binom {z/r}{(x+iy)/r)).

Detta visar att för S 1/2 ( k = −1) orbitalen har de två övre komponenterna av Ψ noll omloppsrörelsemängd, som för S-orbitalen i Schrödinger, men de två nedre komponenterna är orbitaler som liknar P-orbitalen. av Schrödinger. I lösningen P 1/2 ( k = 1 ) är situationen den omvända. I båda fallen upphäver snurran för varje komponent dess omloppsrörelsemängd kring z - axeln för att ge det korrekta värdet för den totala rörelsemängden kring z -axeln .

De två spinorerna Ω följer förhållandet:

\Omega _{k,m}={\begin{pmatrix}z/r&(x-iy)/r\\(x+iy)/r&-z/r\end{pmatrix}}\Omega _ {-k,m}.

För att skriva funktioner och definiera en ny, skalad radiell variabel ρ: $g_{n,k}(r)$ $f_{n,k}(r)$

\rho \equiv 2Cr

med koefficient

C={\frac {\sqrt {\mu ^{2}c^{4}-E^{2))}{\hbar c)),

där E är energin ( ) skriven ovan. Vi definierar γ som $E_{n\,j}$

\gamma \equiv {\sqrt {k^{2}-Z^{2}\alpha ^{2}}}.

När k = − n (vilket motsvarar det maximala möjliga j för ett givet n - ett fall som realiseras för sådana orbitaler som 1S 1/2 , 2P 3/2 , 3D 5/2 ...), då och är också hittas av formlerna $g_{n,k}(r),$ $f_{n,k}(r)$

g_{n,-n}(r)=A(n+\gamma )\rho ^{\gamma }e^{-\rho /2},

f_{n,-n}(r)=AZ\alpha \rho ^{\gamma }e^{-\rho /2},

där A är en normaliseringskonstant inklusive gammafunktionen

A={\frac {1}{\sqrt {2n(n+\gamma )}}}{\sqrt {\frac {C}{\gamma \Gamma (2\gamma )))}.

Observera att på grund av Z -faktorn α är funktionen f ( r ) liten jämfört med g ( r ) för kärnor med inte för mycket laddning. Observera också att i det här fallet ges energin av approximationen

E_{n,n-1/2}={\frac {\gamma }{n}}\mu c^{2}={\sqrt {1-{\frac {Z^{2}\alpha ^{2}}{n^{2}}}}}\,\mu c^{2}

och den radiella avklingningskonstanten C är

C={\frac {Z\alpha }{n}}{\frac {\mu c^{2}}{\hbar c}}.

I det allmänna fallet (när k inte är lika med - n ), och baseras på två generaliserade Laguerre-polynom av ordning och : $g_{n,k}(r)$ $f_{n,k}(r)$ $n-|k|-1$ $n-|k|$

g_{n,k}(r)=A\rho ^{\gamma }e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho L_{n-|k|-1}^{ 2\gamma +1}(\rho )+(\gamma -k){\frac {\gamma \mu c^{2}-kE}{\hbar cC))L_{n-|k|}^{2 \gamma -1}(\rho )\right),

f_{n,k}(r)=A\rho ^{\gamma }e^{-\rho /2}\left((\gamma -k)\rho L_{n-|k|-1 }^{2\gamma +1}(\rho )+Z\alpha {\frac {\gamma \mu c^{2}-kE}{\hbar cC))L_{n-|k|}^{2 \gamma -1}(\rho )\right).

Normaliseringskonstanten A definieras här som

A={\frac {1}{\sqrt {2k(k-\gamma )}}}{\sqrt ({\frac {C}{n-|k|+\gamma }}{\frac { (n-|k|-1)!}{\Gamma (n-|k|+2\gamma +1)}}{\frac {1}{2}}\left(\left({\frac {Ek }{\gamma \mu c^{2}}}\right)^{2}+{\frac {Ek}{\gamma \mu c^{2}}}\right)))

Återigen är f liten jämfört med g (förutom mycket liten r ), för när k är positiv dominerar den första termen av summan inom parentes och α är stor jämfört med γ − k , och när k är negativ, den andra termen dominerar och α är liten jämfört med med γ − k . Observera att den dominanta termen är ganska lik den motsvarande Schrödinger-lösningen - överskriften av Laguerre-polynomet är något mindre ( 2 γ + 1 eller 2 γ − 1 istället för 2 l + 1 , vilket är det närmaste heltal), liksom potens av ρ ( γ eller γ − 1 istället för l , närmaste heltal). Det exponentiella sönderfallet är något snabbare än i Schrödinger-lösningen.

1S orbital

Orbital 1S 1/2 , spin upp, med normaliseringskonstant utelämnad:

\Psi \propto {\begin{pmatrix}(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\0\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e ^{-Cr}z/r\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}(x+iy)/r\end{pmatrix}}.

Observera att γ är något mindre än 1, så toppfunktionen liknar en exponentiellt minskande funktion av r , förutom mycket liten r , där den teoretiskt går till oändlighet. Men värdet överstiger 10 endast när värdet på r är mindre än detta mycket lilla tal (mycket mindre än protonens radie), såvida inte Z är mycket stor. $r^{\gamma -1}$ $10^{1/(\gamma -1)},$

Orbital 1S 1/2 , spin down, med normaliseringskonstanten utelämnad, har formen:

\Psi \propto {\begin{pmatrix}0\\(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e ^{-Cr}(x-iy)/r\\-iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}z/r\end{pmatrix)).

Vi kan blanda ihop dem för att få superpositions orbitaler med spinn orienterade i någon annan riktning, som så:

\Psi \propto {\begin{pmatrix}(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\(1+\gamma )r^{\gamma -1}e ^{-Cr}\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}(x-iy+z)/r\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{- Cr}(x+iy-z)/r\end{pmatrix}},

vilket motsvarar spinn och rörelsemängd riktad längs x -axeln . Att lägga till en spin-down orbital multiplicerad med i med en spin-up orbital resulterar i en y -orienterad orbital .

2P 1/2 - och 2S 1/2 -orbitaler

Låt oss ta ett annat exempel. 2P 1/2 -orbital, snurra upp, proportionell

\Psi \propto {\begin{pmatrix}\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho +(\gamma -1){\frac { \gamma \mu c^{2}-E}{\hbar cC))(-\rho +2\gamma )\right)z/r\\\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho +(\gamma -1){\frac {\gamma \mu c^{2}-E}{\hbar cC))(-\rho +2\gamma )\ höger)(x+iy)/r\\i\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left((\gamma -1)\rho +Z\alpha {\frac {\ gamma \mu c^{2}-E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)\\0\end{pmatrix}}.

(Man bör komma ihåg att ρ = 2 rC . Den radiella avklingningskonstanten C är hälften så stor som för 1S orbitaler (eftersom det huvudsakliga kvanttalet är dubbelt så stort), men γ förblir detsamma (eftersom k 2 är detsamma).

Observera att när ρ är liten jämfört med α (eller r är liten jämfört med ), dominerar orbitalen av "S"-typ (den tredje komponenten av bispinoren). $\hbar c/(\mu c^{2})$

För 2S 1/2 orbital , spin up, har vi

\Psi \propto {\begin{pmatrix}\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho +(\gamma +1){\frac { \gamma \mu c^{2}+E}{\hbar cC))(-\rho +2\gamma )\right)\\0\\i\rho ^{\gamma -1}e^{-\ rho /2}\left((\gamma +1)\rho +Z\alpha {\frac {\gamma \mu c^{2}+E}{\hbar cC))(-\rho +2\gamma ) \right)z/r\\i\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left((\gamma +1)\rho +Z\alpha {\frac {\gamma \mu c^{2}+E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)(x+iy)/r\end{pmatrix}}

Nu är den första komponenten S-liknande, och det finns ett avstånd runt ρ = 2 där den försvinner, medan den nedre tvåkomponentsdelen är P-liknande.

Negativa energilösningar

Förutom bundna tillstånd, där energin är mindre än energin hos en elektron vid oändligheten från kärnan, finns lösningar av Dirac-ekvationen vid en högre energi, vilket motsvarar en obunden elektron som interagerar med kärnan. Dessa lösningar normaliseras inte till ett, men lösningar kan hittas som går till noll när r går till oändligheten (vilket inte är möjligt när förutom ovanstående E -värden i bunden tillstånd ). Det finns liknande lösningar med Dessa negativa energilösningar liknar de positiva energilösningarna som har motsatt energi, men för det fall då kärnan stöter bort elektronen istället för att dra till sig den, förutom att lösningarna för de två översta komponenterna är omvända med lösningarna för de två lägre. $|E|<\mu c^{2},$ $E<-\mu c^{2}.$

Lösningar av Dirac-ekvationen med negativ energi existerar även i frånvaro av den Coulomb-kraft som skapas av kärnan. Dirac föreslog att vi kunde betrakta nästan alla dessa stater som redan fyllda (se Dirac Sea ). Om ett av dessa negativa energitillstånd inte är fyllt framstår det som en elektron som stöts bort av den positivt laddade kärnan. Detta fick Dirac att anta förekomsten av positivt laddade elektroner, och hans förutsägelse bekräftades av upptäckten av positronen .

Tillämpningsgränser för Gordon-lösningen i Dirac-ekvationen

Dirac-ekvationen med en enkel Coulomb-potential skapad av en icke-magnetisk punktkärna var inte sista ordet, och dess förutsägelser skiljer sig från experimentella resultat, som tidigare nämnts. Mer exakta resultat inkluderar Lamb shift ( strålningskorrigeringar som uppstår från kvantelektrodynamik ) [5] och hyperfin struktur .

Anteckningar

↑ Väteliknande atomer // Fysiskt uppslagsverk : [i 5 volymer] / Kap. ed. A. M. Prokhorov . - M . : Soviet Encyclopedia , 1988. - T. 1: Aharonov - Bohm-effekt - Långa rader. - S. 300. - 707 sid. — 100 000 exemplar.
↑ Inom kvantkemin är en orbital synonymt med en "en-elektronfunktion" som är integrerad med kvadraten på funktionen , , . $x$ $y$ $z$
↑ Detta uppmärksammades redan 1928 av den norske teoretikern Egil Hilleros: Hylleraas EA Über den Grundzustand des Heliumatoms (tyska) // Zeitschrift für Physik. - 1928. - Bd. 48 . - S. 469-494 . - doi : 10.1007/BF01340013 . - .
Senare noterades detta faktum återigen 1955 i arbetet: Shull H., Löwdin P.-O. Kontinuumets roll i överlagring av konfigurationer // J. Chem. Phys.. - 1955. - Vol. 23 . - S. 1362 . - doi : 10.1063/1.1742296 .
↑ Beräkningar från tabell 4.1 i Felix Nendzig. Kvantteorin om väteatomen . Hämtad 20 oktober 2013. Arkiverad från originalet 20 oktober 2013. (obestämd)
↑ Angående beräkningen av strålningskorrigeringar, se den ovan citerade boken av F. Nendzig, del 6.

Litteratur

Teschl G. Matematiska metoder i kvantmekanik; Med applikationer till Schrödinger -operatörer . - American Mathematical Society , 2009. - ISBN 978-0-8218-4660-5 .
Tipler P., Llewellyn R. Modern Physics. - 4:e upplagan - New York: W.H. Freeman and Company, 2003.

Ordböcker och uppslagsverk	Stor katalanska Stor ryss Universalis