En serie omvända kvadrater

En serie av omvända kvadrater är en oändlig serie :

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\ frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots

Problemet med att hitta summan av denna serie förblev olöst under lång tid. Eftersom europeiska matematikers uppmärksamhet på detta problem uppmärksammades av baselprofessorn i matematik Jacob Bernoulli (1689), kallas det i historien ofta för " Baselproblemet " (eller " Baselproblemet "). Den förste att hitta summan av serien 1735 var den 28-årige Leonhard Euler , den visade sig vara lika med

{\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1{,}6449340668482264364724151666460251892189499012067984377355582293\dots

(Se OEIS -sekvens A013661 ).

Denna summa förekommer i många andra problem inom talteorin .

Lösningen av detta problem (och relaterade sådana) gav inte bara den unga Euler världsberömmelse [1] , utan hade också en betydande inverkan på den fortsatta utvecklingen av analys , talteori , och därefter komplex analys . Än en gång (efter upptäckten av Leibniz-serien ) gick siffran bortom geometrin och bekräftade dess universalitet. Slutligen visade sig den omvända kvadratserien vara det första steget mot införandet av Riemann zeta-funktionen [2] . Euler själv började denna väg, efter att ha övervägt en generalisering av den omvända kvadratserien - en serie för en godtycklig jämn potens s , och även härledde den grundläggande Euler-identiteten : $\pi$

{\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\ frac {1}{4^{s}}}+\dots ={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s} }}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1 -11^{-s}}}\cdot \dots

Produkten på höger sida tas över alla primtal .

Historik

Historiker upptäckte först resonemang om en serie omvända kvadrater i den italienske matematikern Pietro Mengolis avhandling ( Novae quadraturae arithmeticae seu de additione fractionum , 1644, publicerad 1650), men sedan väckte problemet inte allmänt intresse. Mengoli bestämde att serien konvergerar och fann summan av de första 10 termerna [3] :

{\frac {1968329}{1270080}}\approx 1{,}54977.

Senare försökte många framstående matematiker utan framgång hitta summan av serien, inklusive Leibniz , Stirling , de Moivre , Christian Goldbach , bröderna Jacob och Johann Bernoulli . De beräknade också flera signifikanta siffror av summan av serien. Goldbach visade att summan finns i intervallet (41/25; 5/3), Stirling i avhandlingen Methodus Differentialis (1730) lyckades beräkna ett ganska exakt värde på summan: 1,644934066, men ingen kunde avgöra exakt vad detta värde var kan vara relaterat [3] [4] [5] .

Jacob Bernoulli uppmanade i sina Arithmetic Propositions on Infinite Series (1689): "Om någon lyckas hitta något som hittills inte har givit efter för våra ansträngningar, och om han förmedlar det till oss, då kommer vi att stå honom i stor tacksamhet" [2] ] [6] . Men under Jacob Bernoullis liv dök inte lösningen upp.

Euler var den första som lyckades , nästan ett halvt sekel efter Bernoullis omvändelse. Troligtvis berättade Johann Bernoulli, Jacobs bror, för Euler om detta problem. Euler rapporterade upptäckten i anteckningen "Om summor av omvända serier" ( De summis serierum reciprocarum , 1735) [7] för tidskriften "Commentarii Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae" från St. Petersburgs vetenskapsakademi . Värdet av summan som Euler hittade rapporterade också i ett brev till sin vän Daniel Bernoulli , son till Johann Bernoulli [8] :

Nyligen hittade jag, och ganska oväntat, ett elegant uttryck för summan av en serie relaterad till kvadraten av en cirkel ... Den sexfaldiga summan av denna serie är nämligen lika med kvadraten på omkretsen av en cirkel vars diameter är 1.

Daniel berättade för sin far, som uttryckte tvivel om giltigheten av Eulers expansion av sinus till en oändlig produkt (se nedan ). Därför, 1748, motiverade Euler resultatet mer rigoröst i sin monografi Introduktion till analysen av infinitesimals ( Introductio in analysin infinitorum , Volym I, Kapitel X) [9] .

Som John Derbyshire noterar , gjorde det andra (efter Leibniz-serien ) framträdandet av ett nummer i ett oväntat, helt icke-geometriskt sammanhang ett starkt intryck på 1700-talets matematiker [10] . $\pi$

Som en kontroll beräknade Euler manuellt summan av den 20-siffriga serien (uppenbarligen med hjälp av Euler-Maclaurin-formeln , eftersom den omvända kvadratserien konvergerar ganska långsamt). Sedan jämförde han summan med värdet med hjälp av det ungefärliga värdet av talet som redan var känt vid den tiden och såg till att båda värdena, inom kontots noggrannhet, sammanfaller. Därefter (1743) publicerade Euler ytterligare två olika sätt att summera en serie inversa kvadrater [11] . ${\frac {\pi ^{2}}{6)),$ $\pi$

Seriekonvergens

För att verifiera att den omvända kvadratserien konvergerar räcker det att bevisa att följande serie konvergerar [12] :

1+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{3\cdot 4}}+{\frac {1}{4\cdot 5}}+\dots

Denna serie majoriserar den omvända kvadratserien, eftersom varje term i den (förutom den första) är större än i den omvända kvadratserien. Det kan representeras som en teleskopisk summa :

1+\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right )+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\right)+\dots

Den partiella summan av denna serie är därför serien konvergerar, och dess summa är lika med 2. Därför, genom jämförelse kriterium , och serien av inversa kvadrater konvergerar till något nummer i intervallet (1, 2) [12] . $S_{n}$ $2-{1 \over n},$

För att uppskatta graden av konvergens av delsummor kan man använda formeln

{\frac {1}{m+1}}=\int \limits _{m+1}^{\infty }{{\frac {1}{t^{2}}}dt}<\ summa _{n=m+1}^{\mathcal {\infty }}{\frac {1}{n^{2}}}<\int \limits _{m}^{\infty }{{\frac {1}{t^{2}}}dt}={\frac {1}{m}}.

Summan i mitten av formeln är skillnaden mellan serien och dess :e delsumma, det vill säga det absoluta felet för delsumman. Det kan ses från formeln att seriens konvergens är ganska långsam - de första tusen termerna i serien ( ) ger ett ordningsfel , det vill säga på tredje decimalen. För att få 6 korrekta tecken måste du lägga till en miljon medlemmar i serien [13] . $m$ $m=1000$ $10^{-3}$

1988 beräknade Roy D. North of Colorado Springs summan av en miljon termer av en serie inversa kvadrater på en dator och upptäckte ett märkligt mönster - den sjätte decimalen är, som man kan förvänta sig, felaktig, men följande 6 siffror är korrekt. Sedan är ett tecken fel, och efter det är fem siffror korrekta igen:

Total radsumma ( ) $\pi ^{2}/6$	1,64493 4 066848 2 26436 472415166646025189218949901…
Delsumma av en miljon medlemmar	1,64493 3 066848 7 26436 305748499979391855885616544…
Fel	0,000000999999500000166666666666333333333333357...

Detta fel kan representeras som summan

10^{-6}-{\frac {1}{2}}10^{-12}+{\frac {1}{6}}10^{-18}-{\frac {1} {30}}10^{-30}+{\frac {1}{42}}10^{-42}+\dots \,,

där koefficienterna vid potenserna 10 är Bernoulli-talen [13] . Beviset för detta faktum kan hittas i 1989 års tidning av Borwein, Borwein och Dilcher [14] .

Eulers första metod för att hitta summan av en serie

I slutet av 1600-talet, tack vare Newtons och andra matematikers arbete, var serieutvidgningen av sinusfunktionen känd :

\sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7} }{7!}}+\dots

Euler lyckades få ytterligare en expansion av sinus - inte till en summa, utan till en oändlig produkt [15] :

\sin x=x\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^ {2}}{4\pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdot \ vänster(1-{\frac {x^{2}}{16\pi ^{2}}}\höger)\cdot \dots

Genom att likställa båda uttrycken och reducera med kan du få: $x,$

\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{4\ pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{9\pi ^{2}}}\right)\cdot \left(1-{\frac {x^{2}}{16\pi ^{2}}}\right)\cdot \dots =1-{\frac {x^{2}}{3!}}+{\frac {x^{ 4}}{5!}}-{\frac {x^{6}}{7!}}+\dots

(ett)

Eftersom denna identitet gäller för alla måste koefficienterna för i båda dess delar vara lika: $x,$ $x^{2}$

-{\frac {1}{\pi ^{2}}}-{\frac {1}{4\pi ^{2}}}-{\frac {1}{9\pi ^{2 ))}-{\frac {1}{16\pi ^{2}}}-\dots =-{\frac {1}{6}}.

Genom att multiplicera båda sidor av jämlikheten med kan vi äntligen få [16] : $-\pi ^{2},$

{\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\ frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}.

Den angivna metoden är baserad på expansionen av sinus till en oändlig produkt, men Euler gav inte denna expansion en ordentlig motivering, utan begränsade sig till att hänvisa till det faktum att både vänster och höger del, betraktad som polynom , har samma rötter: Johann och Daniil Bernoulli påpekade felaktigheten i en sådan härledning, eftersom den bara gäller polynom av ändlig grad och inte oändliga serier. I detta avseende publicerade Euler flera fler summeringsmetoder, motiverade mer strikt och ledde till samma resultat [11] . Ändå visade sig den angivna expansionen vara sann och bevisades därefter [17] . $0,\pm \pi ,\pm 2\pi ,\pm 3\pi ,\pm 4\pi \dots$

Eulers andra metod

År 1741 tog Euler hänsyn till ovanstående kritik av sin ursprungliga metod och publicerade en annan summeringsmetod baserad på serieintegrering [18] . För detta betraktar vi en integral av formen

E=\int \limits _{0}^{1}{{\frac {\arcsin x}{\sqrt {1-x^{2))))\ dx}=\int \limits _{ 0}^{1}{\arcsin x\ d\arcsin x}={\frac {\pi ^{2}}{8}}.

För att beräkna integralen kan du använda expansionen av bågen i en serie på intervallet : $[0,1]$

\arcsin x=x+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!))\cdot {\frac {x^{ 2n+1}}{2n+1}}.

Denna serie konvergerar enhetligt , och den kan integreras term för term:

E=\int \limits _{0}^{1}{\frac {x}{\sqrt {1-x^{2))))\ dx+\sum _{n=1}^{\ infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!(2n+1)}}\int \limits _{0}^{1}{\frac {x^{2n+1} }{\sqrt {1-x^{2}}}}\ dx.

Den första integralen är , och den andra efter substitution visar sig vara lika härifrån: $ett$ $x=\sin t$ ${\textstyle {\frac {(2n)!!}{(2n+1)!!)),}$

E=1+\summa _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{(2n+1)^{2))}=\summa _{n=1}^{\ infty }{\frac {1}{(2n-1)^{2}}}.

Denna summa innehåller de inversa kvadraterna av udda tal. Den erforderliga summan av serien av inversa kvadrater består av två delar, varav den första är lika och den andra innehåller de inversa kvadraterna av jämna tal: $S$ $E,$

S={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+ {\frac {1}{4^{2}}}+\dots =E+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{ \frac {1}{6^{2}}}+\dots ={\frac {\pi ^{2}}{8}}+{1 \over 4}S.

Det är där ${3 \over 4}S={\frac {\pi ^{2}}{8)),$ $S={\frac {\pi ^{2}}{6}}.$

Alternativa sätt att hitta summan

Fourier-serien

En av de enklaste metoderna för att få denna summa är att använda Fourier-seriens expansion av funktionen . För en jämn funktion har denna expansion formen [19] $f(x)=x^{2}$

f(x)=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\cos nx.

Koefficienterna beräknas enligt standardformler: $en$

a_{0}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }x^{2}dx={\pi ^{2} \ över 3};\quad a_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits _{-\pi }^{\pi }x^{2}\cos(nx)dx=( -1)^{n}{\frac {4}{n^{2}}}.

Som ett resultat tar nedbrytningen formen [19]

x^{2}={\pi ^{2} \över 3}+\summa _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {4\cos( nx)}{n^{2}}}.

Att ersätta ett värde i denna formel ger resultatet $x=\pi$

\pi ^{2}={\pi ^{2} \över 3}+\summa _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {4(- 1)^{n}}{n^{2}}},

eller

{2 \over 3}\pi ^{2}=4\summa _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2))}.

Slutresultatet erhålls [19] genom att dividera båda sidor med 4.

Om du istället för att ersätta , får en alternerande summa: $x=\pi$ $x=0,$

{\frac {1}{1^{2}}}-{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}-{\ frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}-\dots ={\pi ^{2} \över 12}.

Ett annat sätt att lösa problemet genom Fourieranalys är att använda Parsevals likhet för funktionen $f(x)=x.$

Nedbrytningsmetod för hyperbolisk cotangens

Denna metod låter dig hitta summorna för alla serier av inversa jämna potenser:

S_{2n}=\sum _{m=1}^{\infty }{\frac {1}{m^{2n))}.

Den är baserad på två expansionsformler för den hyperboliska cotangensen . Den första [20] är giltig för : $|x|<1$

\pi x\cdot \operatörsnamn {cth} (\pi x)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}S_{2n}x ^{2n}.

Den andra formeln [21] relaterar den hyperboliska cotangensen till Bernoulli-talen : $B_{n}$

\pi x\cdot \operatörsnamn {cth} (\pi x)=1+\summa _{n=1}^{\infty }{\frac {(2\pi )^{2n}B_{n }}{(2n)!}}x^{2n}

Att likställa koefficienterna med samma potenser ger en formel för att koppla samman summorna av serien med Bernoulli-talen: $x$

B_{n}=(-1)^{n-1}{\frac {2(2n)!}{(2\pi )^{2n))}S_{2n}.

I synnerhet erhålls det initiala resultatet när man överväger att ta hänsyn $n=1$ ${\textstyle B_{1}={1 \över 6}.}$

Andra tillvägagångssätt

I artikeln av K. P. Kokhas [16] ges flera olika sätt att summera en serie: genom integraler , komplexa rester , gammafunktion , expansion av bågen eller cotangensen , kvadrering av Leibniz-serien . En annan samling av summeringsmetoder presenteras i Chapmans papper [22] .

En intressant fysikalisk-geometrisk representation av summeringen av en serie inversa kvadrater presenteras i en artikel av Johan Westlund [23] och i en videoföreläsning på YouTube-kanalen 3Blue1Brown [24] .

Variationer och generaliseringar

Baserat på formeln ( 1 ), beräknade Euler summorna inte bara för en serie inversa kvadrater, utan också för serier av andra jämna potenser, upp till den 26:e, till exempel [2] :

{\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\ frac {1}{4^{4}}}+{\frac {1}{5^{4}}}+\dots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}),

{\frac {1}{1^{6}}}+{\frac {1}{2^{6}}}+{\frac {1}{3^{6}}}+{\ frac {1}{4^{6}}}+{\frac {1}{5^{6}}}+\dots ={\frac {\pi ^{6}}{945}}

etc. Euler fick också reda på att summan av sådana serier är relaterade till Bernoulli-talen enligt följande [9] : $B_{{n}}$

S_{2k}=(-1)^{k-1}{\frac {(2\pi )^{2k}}{2(2k)!}}B_{2k}.

Euler sammanfattade också en modifiering av en serie inversa kvadrater som innehåller (i nämnare) kvadrater eller andra jämna potenser av udda tal [25] ; summan av serien visade sig också vara relaterade till antalet $\pi.$

För serier av udda potenser är det teoretiska uttrycket för deras summor fortfarande inte känt. Det har bara bevisats att summan av en serie inversa kuber ( Aperis konstant ) är ett irrationellt tal [2] .

Om vi betraktar exponenten i den allmänna serien av inversa potenser som en variabel (inte nödvändigtvis heltal), så får vi Riemann zeta-funktionen , som spelar en enorm roll i analys och talteori:

\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s))}.

Så summan av den omvända kvadratserien är $\zeta (2).$

De första studierna av zetafunktionens egenskaper utfördes av Euler. 1748 publicerade han monografin "Introduktion till analysen av infinitesimals", där han bevisade " Eulers identitet " [26] :

\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{- s}}},

där produkten tas över alla primtal Denna jämlikhet spelade en stor roll i utvecklingen av analytisk talteori , den baserades på studier av Chebyshev och Riemann om fördelningen av primtal i den naturliga serien. 1859 dök Riemanns djupa arbete upp som utvidgade definitionen av zeta-funktionen till den komplexa domänen . Riemann övervägde i detalj sambandet mellan zetafunktionen och fördelningen av primtal [26] . $sid.$

År 1768 föreslog Euler en annan generalisering av den omvända kvadratserien, Euler -dilogaritmen [27] :

\operatorname {Li} _{2}(x)=-\int _{0}^{x}{\frac {\ln(1-t)}{t))\,\mathrm {d} t={\frac {x^{1}}{1^{2}}}+{\frac {x^{2}}{2^{2}}}+{\frac {x^{3}} {3^{2}}}+\dots

Vissa applikationer

Summan av en serie omvända kvadrater, den förekommer också i många problem inom talteorin. $\zeta (2),$

Summan av divisorer av ett naturligt tal växer i genomsnitt [28] som en linjär funktion . $N$ $\zeta (2)\cdot N$

Sannolikheten att två slumpmässigt valda naturliga tal i intervallet från 1 visar sig vara coprime tenderar att Med andra ord är medeldensiteten av coprimtal i talserien [29] lika med $N$ $N$ ${\textstil 1/\zeta(2).}$ ${\textstil 1/\zeta(2).}$

Låt vara antalet kvadratfria naturliga tal i intervallet från 1 till Det uppfyller den ungefärliga formeln [30] [31] [32] $Q(x)$ $x.$

Q(x)\approx {\frac {x}{\zeta (2)))

Kumulativ Euler-funktion

\Phi (n):=\sum _{k=1}^{n}\varphi (k),\quad n\in \mathbf {N} ,

var är Euler-funktionen , har följande asymptotik [33] : $\varphi (n)$

\Phi (n)\sim {\frac {1}{2\zeta (2)}}\cdot n^{2}+O\left(n\log n\right).

Anteckningar

↑ Stewart, Ian . Professor Stewarts otroliga siffror = Professor Stewarts otroliga siffror. - M . : Alpina facklitteratur, 2016. - S. 222-223. — 422 sid. - ISBN 978-5-91671-530-9 .
↑ 1 2 3 4 Derbyshire, 2010 , sid. 90-92, 103-109.
↑ 1 2 Sofo, Anthony. Basel-problemet med en förlängning . Hämtad: 3 augusti 2020. (obestämd)
↑ Leonhard Eulers biografi (otillgänglig länk) . Hämtad 16 april 2016. Arkiverad från originalet 17 mars 2008. (obestämd)
↑ Euler et le problemème de Bale . Hämtad 5 augusti 2020. Arkiverad från originalet 23 januari 2021. (obestämd)
↑ Poya D. Matematik och rimliga resonemang. - Ed. 2:a, korrigerad. - M . : Nauka, 1975. - S. 40.
↑ Leonhard Euler. Desummis serierum reciprocarum . Tillträdesdatum: 17 april 2016. (obestämd)
↑ Navarro, Joaquin. Upp till gränsen för antal . Hämtad 10 augusti 2016. Arkiverad från originalet 15 september 2016. (obestämd)
↑ 1 2 History of Mathematics, Volym III, 1972 , sid. 337.
↑ Derbyshire, 2010 , sid. 92.
↑ 1 2 Vileitner G. Matematikens historia från Descartes till mitten av 1800-talet. - M. : GIFML, 1960. - S. 143-144. — 468 sid.
↑ 1 2 Vorobyov N. N. Serieteori . - 4:e uppl. - M . : Nauka, 1979. - S. 52 . — 408 sid. - (Utvalda kapitel i högre matematik för ingenjörer och studenter vid högre läroanstalter).
↑ 1 2 Aigner, Ziegler, 2006 , sid. 49.
↑ Borwein, Borwein, Dilcher, 1989
↑ Antonio Duran, 2014 , sid. 109-114.
↑ 1 2 Kokhas K.P., 2004 .
↑ Fikhtengolts G. M., 1966 , sid. 374-376.
↑ Fikhtengolts G. M., 1966 , sid. 671.
↑ 1 2 3 Fikhtengolts G. M. Differential- och integralkalkylens förlopp. - Ed. 3:a. - M . : Nauka, 1963. - T. III. - S. 443, 451. - 656 sid.
↑ Fikhtengolts G. M., 1966 , sid. 484.
↑ Fikhtengolts G. M., 1966 , sid. 495-496.
↑ Robin Chapman .
↑ Wästlund, Johan. Summering av omvända kvadrater med euklidisk geometri . Hämtad 6 augusti 2020. Arkiverad från originalet 24 februari 2020. (obestämd)
↑ Varför är pi här? Och varför är det fyrkantigt? Ett geometriskt svar på Baselproblemet på YouTube
↑ Zhukov A. V. Det allestädes närvarande numret "pi". - 2:a uppl. - M . : Förlag LKI, 2007. - S. 145. - 216 sid. - ISBN 978-5-382-00174-6 .
↑ 1 2 Otradnykh F.P. Matematik från 1700-talet och akademikern Leonhard Euler. - M . : Sovjetvetenskap, 1954. - S. 33. - 39 sid.
↑ Leonhard Euler , Institutiones calculi integraler
↑ Arnold V. I. Dynamik, statistik och projektiv geometri för Galois-fält. - M. : MTSNMO, 2005. - S. 70. - 72 sid.
↑ Cohen E. Aritmetiska funktioner associerade med godtyckliga uppsättningar av heltal // Acta Arithmetica . - 1959. - Vol. 5 . - s. 407-415 . Arkiverad 2 maj 2019. (Se även artikelanteckning: Errata Arkiverad 14 augusti 2020 på Wayback Machine . Anmärkning hänvisar till "Corollary 3.3" på sid. 413).
↑ Jia C.-H. Fördelningen av kvadratfria tal (engelska) // Science in China. Serie A - Matematik, Fysik, Astronomi & Teknikvetenskap. - 1993. - Vol. 36 , iss. 2 . - S. 154-169 . doi : 10.1360 /ya1993-36-2-154 .
↑ Pappalardi F. A Survey on k -freeness // Talteori. Fortsättning av konferensen i analytisk talteori till ära av prof. Subbarao (engelska) / Vol. Utg.: SD Adhikari, R. Balasubramanian, K. Srinivas. - Mysore: Ramanujan Mathematical Society, 2002. - S. 77-88. — 161 sid. - (Föreläsningsanteckningsserien: nummer 1). — ISBN 9788190254510 .
↑ Sinha K. Genomsnittliga beställningar av vissa aritmetiska funktioner // Journal of the Ramanujan Mathematical Society. - 2006. - Vol. 21 , iss. 3 . - s. 267-277 . Arkiverad från originalet den 14 februari 2012.
↑ Weisstein, Eric W. Totient Summatory Function (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Litteratur

Aigner M. , Ziegler G. Bevis från boken . Det bästa beviset från Euklids tid till våra dagar. - M . : Mir, 2006. - S. 49 . — 256 sid. — ISBN 5-03-003690-3 .
Derbyshire, John. Simpelt beroende. Bernhard Riemann och det största olösta problemet i matematik. - Astrel, 2010. - S. 90-92, 103-109. — 464 sid. — ISBN 978-5-271-25422-2 .
Duran, Antonio. Poesi av siffror. Fina och matte. — M .: De Agostini, 2014. — 160 sid. — (Matematikens värld: i 45 band, band 27). — ISBN 978-5-9774-0722-9 .
1700-talets matematik // Matematikens historia / Redigerad av A.P. Yushkevich , i tre volymer. - M . : Nauka, 1972. - T. III.
Fikhtengol'ts G. M. Kurs för differential- och integralkalkyl. - ed. 6:a. - M . : Nauka, 1966. - T. II. - S. 461-462, 490, 496, 671. - 800 sid. - ISBN 5-9221-0155-2 .
Borwein J. M., Borwein P. B., Dilcher K. Pi, Euler-tal och asymptotiska expansioner // Amer. Matematik. En gång i månaden. - 1989. - Nr 96. - P. 681-687.

Länkar

Kokhas K. P. Summan av inversa kvadrater // Matematisk utbildning. - 2004. - Utgåva. 8 . — S. 142–163 .
Sobolevsky A., doktor i fysik.-matte. Vetenskaper (IPPI RAS). Runt Baselproblemet: Bernoulli, Euler, Riemann (2014). - videoföreläsning. Hämtad: 24 maj 2016. (obestämd)
Chapman, Robin. Evaluating ζ(2) (engelska) (1999). Tillträdesdatum: 17 april 2016.
Pengelley DJ Dansar mellan kontinuerligt och diskret: Eulers summeringsformel (engelska) (länk ej tillgänglig) . Euler 2K+2-konferens, Rumford, Maine (2002). Hämtad 17 april 2016. Arkiverad från originalet 9 augusti 2017.
Weisstein EW Riemann Zeta Funktion zeta(2 ) . MathWorld - En Wolfram webbresurs. Tillträdesdatum: 17 april 2016.

Sekvenser och rader
Sekvenser	Numerisk sekvens Grundläggande sekvens Linjär återkommande sekvens Fibonacci-siffror lockiga siffror Faktoriell Barker-sekvens de bruijn sekvens
Rader, grundläggande	Radsumma Resten av raden Villkorlig konvergens Omväxlande serie Rad flersektion
Nummerserier ( operationer med nummerserier )	harmonisk serie Leibniz-serien En serie omvända kvadrater En serie ömsesidiga primtal Dirichlet rad Mercator-serien Rad Grandi 1 - 2 + 3 - 4 + ... 1 + 2 + 3 + 4 + ...
funktionella rader	Taylor-serien Laurent-serien Fourier-serier Trigonometrisk Fourier-serie trigonometrisk serie Wiener-serien
Andra radtyper	Neumann-serien Puiseux rad