Kvantgas

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 25 augusti 2021; kontroller kräver 22 redigeringar .

En kvantgas är en gas av partiklar eller kvasipartiklar som följer kvantstatistik.

Egenskaperna hos en kvantgas beror på dess grad av degeneration , som kännetecknas av degenerationstemperaturen. Degenerationstemperaturen beror på gasdensiteten, är partikelkoncentrationen , är partikelmassan, är Boltzmann-konstanten . Förutsatt att gasen är icke-degenererad och partikelenergifördelningen beskrivs av Boltzmann-fördelningen . I fallet hamnar gasen i området för kvantdegeneration och är, beroende på partikelstatistiken, antingen en degenererad Fermi-gas ( Fermi–Dirac-statistik ) eller en Bose-gas ( Bose–Einstein-statistik ). $T_{0}$ $T_0 \sim \frac{N^{(2/3)}}{mk}$ $N$ $m$ $k$ $T \gg T_0$ $T \ll T_0$

Kvantgasmodellen används i stor utsträckning för att lösa problem inom fast tillståndets fysik (elektrongas i metaller), astrofysik (egenskaper hos vita dvärgar och neutronstjärnor), fysik av kondenserad materia ( superfluiditet ).

Skilj mellan ideal och verklig kvantgas.

En idealisk kvantgas

Villkoret för en kvantgas idealitet är tillståndet för icke-interaktion mellan de partiklar som den består av. På grund av frånvaron av interaktion kan vi anta att fyllningen av ett eller annat kvanttillstånd i systemet inte påverkar fyllningen av andra tillstånd. I det allmänna fallet, om det till exempel finns en Coulomb-interaktion mellan partiklar , måste den anses vara svag för att den ideala gasapproximationen ska ge bra resultat. Detta leder till sällsynthetstillståndet , där är partikelspridningslängden eller, vilket är densamma, . Därför antas det att vid , var är degenerationstemperaturen, är egenskaperna hos en kvantgas till stor del oberoende av statistiken över dess beståndsdelar och kan beskrivas av Maxwell-Boltzmann-statistiken . Dessutom, eftersom det inte finns något sätt att exakt kontrollera antalet partiklar i systemet, är det vettigt att arbeta i termer av den stora kanoniska ensemblen . $Na^3 \ll 1$ $a$ $kT \ll \frac{\hbar^2}{ma^2}$ $T \gg T_0$ $T_{0}$

Sedan, på grund av staternas oberoende, ges fördelningsfunktionen för en ideal Bose - Fermi -gas av formeln $\Sigma =\prod _{\alpha} \Sigma _{\alpha},$ $\Sigma_{\alpha} =(1 \pm e^{-(\varepsilon _{\alpha }-\mu)/(kT)})^{\mp 1}$ $\varepsilon _{\alpha }$ $\mu$

Den stora termodynamiska potentialen för en ideal kvantgas som motsvarar denna fördelningsfunktion är:

$\Omega =-kT\ln(\Sigma)=-AV\int \frac{d\varepsilon \quad \varepsilon ^{3/2}}{e^{(\varepsilon -\mu)/(kT)}\ pm 1},\qquad A=\frac {2^{7/2}\pi m^{3/2}g}{3h^3}$ ,

där är volymen av systemet, är Plancks konstant och är spindegeneration . $V$ $h$ $g=2s+1$

Genomsnittligt antal partiklar per nivå: . $<N_{\alpha}>=\frac{1}{e^{(\varepsilon _{\alpha }-\mu)/(kT)}\pm 1}$

Man kan förena uttrycket för den termodynamiska potentialen ännu mer om man märker att integranden i fallen med Fermi- och Bose-gaser skiljer sig endast i tecken. Därefter bör alla dimensionella parametrar tas ut under integralen. Då skrivs den termodynamiska potentialen som:

$\Omega =-\överlinje AV(kT)^{5/2}{G}_{3/2}({\mu}/{(kT)}),\qquad \overline A=A\Gamma (5/ 2).$ ,

där funktionen introducerades , ${G}_{k}(x) = \begin{cases} {F_{k}(x)}, Fermi-Dirac \\ \zeta _{k+1}(e^x), Bose-Einstein \end {fall}$

Med beteckningar:

För en Fermi-gas är Fermi-Dirac-funktionen: . $F_k(\eta )=\frac 1{\Gamma (k+1)}\int_0^{\infty }\frac {dx\quad x^k}{e^{x-\eta }+1}$
För en Bose-gas, den generaliserade Riemann - funktionen : . $\zeta$ $\zeta _k(a)=\summa _{n=1}^{\infty }\frac{a^n}{n^k}=\frac 1{\Gamma (k)}\int _0^{\infty }\frac {dx\quad x^{k-1}}{e^x/a-1}$

Sedan, med hjälp av en enkel relation och Maxwells termodynamiska relationer , kan man få olika termodynamiska egenskaper i en allmän form: $\partial_{\eta}G_k(\eta)=G_{k-1}(\eta)$

Koncentration	$n=-\frac{1}{V}\Biggr (\frac {\partial \Omega }{\partial \mu}\Biggl )_{T,V}$	$\overline A(kT)^{3/2}{G}_{1/2}({\mu}/{(kT)})$	Entropi	$S(T,V,\mu )=-\Biggr (\frac {\partial \Omega}{\partial T}\Biggl )_{V,\mu }$	$\overline AVk^{5/2}\Bigg\{\frac 52T^{3/2}{G}_{3/2}({\mu}/{(kT)})-\frac {\mu } kT^{1/2}{G}_{1/2}({\mu}/{(kT)})\Bigg\}.$
Tryck	$p=-\Biggr (\frac {\partial \Omega }{\partial V}\Biggl )_{T,\mu }$	$\overline A(kT)^{5/2}{G}_{3/2}({\mu}/{(kT)})$	Värmekapacitet	$C_{V,N}=T\Biggr (\frac {\partial S }{\partial T}\Biggl )_{V,N}$	$\overline AVk^{5/2}T^{3/2}\Bigg\{\frac{15}4{G}_{3/2}({\mu}/{(kT)})-\frac 94\frac {{G}^{2}_{1/2}({\mu}/{(kT)})}{{G}_{-1/2}({\mu}/{(kT) )})}\Bigg\}.$

Dessa formler fortsätter att fungera vid både låga och höga temperaturer. [ klara upp ]

Degenererad gas

En degenererad gas är en gas vars egenskaper väsentligt påverkas av kvantmekaniska effekter som härrör från identiteten hos dess partiklar. Inverkan av partiklars identitet blir betydande när medelavstånden mellan dem minskar till avstånd som står i proportion till de Broglie-våglängden som är associerad med partikeln, det vill säga villkoret är uppfyllt:

N^{-1/3}\sim r\sim \lambda

var är volymkoncentrationen av partiklar ,

N

{\displaystyle \lambda =h/{\left(mv\right)))

är de Broglie-våglängden för massapartiklar som rör sig med en hastighet av .

m

v

Degenerationsvillkoren är uppfyllda vid en tillräckligt låg temperatur (för en idealisk gas ) och en hög partikelkoncentration . $T$ $v\sim {\sqrt {T}}$ $N$

Degenerering av Fermi- och Bose-gaser

Egenskaperna hos Bose- och Fermi-gaser är fundamentalt olika: ett godtyckligt stort antal bosoner kan vara i ett kvanttillstånd, medan inte mer än en fermion kan vara i ett kvanttillstånd.

Typen av degeneration beror på den statistik som partiklarna lyder. Om för en Fermi-gas, på grund av Pauli-principens verkan, trycket hos en degenererad gas är högre än trycket hos en idealgas under samma förhållanden, så är trycket för en degenererad Bose-gas lägre än trycket på en idealisk gas på grund av Bose-Einstein-kondensering .

I en Fermi-gas, med fullständig degeneration (vid ), fylls alla lägre energinivåer upp till ett visst maximum, kallat Fermi-nivån , och alla efterföljande förblir tomma. En ökning av temperaturen ändrar endast något lite denna fördelning av metallelektroner över nivåer: en liten del av elektroner som ligger på nivåer nära Ferminivån går till tomma nivåer med högre energi, vilket frigör nivåerna under Ferminivån från vilken övergången gjordes . $T=0K$

När en gas av bosoner degenererar från partiklar med en annan massa än noll (sådana bosoner kan vara atomer och molekyler ), måste en viss del av systemets partiklar gå in i ett tillstånd med noll rörelsemängd; detta fenomen kallas Bose-Einstein-kondensering . Ju närmare temperaturen är absolut noll, desto fler partiklar bör vara i detta tillstånd. System av sådana partiklar, när temperaturen sjunker till mycket låga värden, övergår emellertid till ett fast eller flytande (för helium ) tillstånd, till vilket den ideala gasapproximationen inte är tillämplig.

För en gas med nollmassabosoner , som inkluderar fotoner , är degenerationstemperaturen oändlig; därför är fotongasen alltid degenererad, och klassisk statistik kan inte tillämpas på den. Fotongasen är den enda degenererade ideala Bose-gasen av stabila partiklar. Bose-Einstein-kondensering förekommer dock inte i den, eftersom det inte finns några fotoner med noll momentum (fotoner rör sig alltid med ljusets hastighet ).

Ett viktigt exempel på en Fermi-gas vid tillräckligt låga temperaturer är elektrongasen i metaller . För denna gas visar sig degenerationstemperaturen vara i storleksordningen 10 000 K, därför fungerar den degenererade elektrongasapproximationen bra i metaller vid rumstemperatur. Det bör noteras att i fallet med halvledare går denna modell in i Maxwell-Boltzmann-modellen , på grund av läget för Fermi-nivån inuti bandgapet.

Fenomenet med degeneration av Fermi-gaser spelar en viktig roll i utvecklingen av stjärnor : till exempel balanserar trycket från elektrondegenererad gas gravitationen hos vita dvärgar , och trycket från neutrondegenererad gas balanserar gravitationen i neutronstjärnor .

Nedan är huvudformlerna för båda fallen av degeneration.

Degenererad Fermi-gas

För , integranden i formeln för funktionen förlorar kontinuitet. Funktionens hopp sker vid en energi lika med - Fermi-energin . När temperaturen är nära, men skiljer sig från noll, kan integranden expanderas till en serie (i termer av parametern ) och integralen tar formen: $T=0$ ${G}_{k}$ $\mu(T)|_{T=0}$ $kT$

\int _{0}^{\infty}\frac {d\varepsilon \phi (\varepsilon )}{e^{(\varepsilon -\mu)/(kT)}+1}=\int _{0} ^{\mu }d\varepsilon \phi (\varepsilon)+ (kT)^{2}\frac{\pi^2}{6}\phi '(\mu)+ O((kT)^{4} ).

Genom att ersätta detta uttryck i tillståndsekvationerna och uttryck för termodynamiska egenskaper får vi ( ): $\alpha={\pi^2 \över 6}$

Koncentration	$n\approx A\Bigg(\mu ^{3/2}+\frac 34\alpha \frac{(kT)^{2}}{\sqrt{\mu }}\Bigg)$	Entropi	$S(T,V,\mu)\approx 3\alpha \frac {AV}T\varepsilon_{F}^{1/2}(kT)^{2}$
Tryck	$p\approx \varepsilon_{F}^{5/2}\Bigg(\frac25+2\alpha \frac{(kT)^{2}}{\varepsilon_{F}^{2}}\Bigg)$	Värmekapacitet	$C_{V,N}\approx 3\alpha AV\varepsilon _{F}^{1/2}k^{2}T.$

När vi löser den första ekvationen med iterationsmetoden finner vi uttrycket för den kemiska potentialen och Fermi-energin:

\mu=\varepsilon _{F}\Bigg[1-\frac 12\alpha \frac{(kT)^{2}}{\varepsilon_{F}^{2}}+O\Bigg(\frac{k ^{4}T^{4}}{\varepsilon_{F}^{4}}\Bigg)\Bigg],\qquad \varepsilon _{F}=\Bigg({3n \over 2A}\Bigg)^ {2/3}.

Således, vid en temperatur nära noll, är den ideala Fermi-gasen i grundtillståndet, dess partiklar upptar alla energinivåer upp till , och alla nivåer ovanför är fria. $\varepsilon _{F}$ $\varepsilon _{F}$

Det bör noteras att den ideala gasapproximationen inte beskriver många viktiga effekter, såsom fenomenet supraledning, superfluiditet, etc.

Degenererad Bose-gas

Med en minskning av temperaturen eller en ökning av densiteten hos Bose-gasen kommer parametern , därav den kemiska potentialen och att bli noll vid ändliga värden relaterade till relationen . I det här fallet är populationen av nollnivån formellt lika med oändligheten, så punkten kallas Bose-kondensationspunkten. Fenomenet med Bose-kondensering kan inte beskrivas i termer av den ideala Bose-gasapproximationen, så vi begränsar oss till att beskriva Bose-gasens beteende i närheten av Bose-kondenseringspunkten. $a=e^{\mu/(kT)} \högerpil 1$ $\mu \högerpil 0$ $n_0, T_0$ $n_{0}(kT_{0})^{-3/2}/\overline A=\zeta _{3/2}(1)\approx 2.6$ $(n_0, T_0)$

Asymptotiken för funktionen vid är $\zeta_{3/2}(e^{\mu/(kT)})=\frac 1{\Gamma(3/2)}\int _{0}^{\infty }\frac {dx x^{ 1/2}}{e^{x-\mu/(kT)}-1}$ $\mu\to0, T\to T_0$

\zeta _{3/2}(e^{\mu /(kT)})\approx \frac {n_{0}}{\overline A(kT_{0})^{3/2}}+\frac {\pi}{\Gamma(3/2)}\sqrt {\frac{|\mu |}{kT))+O(\frac {\mu}{kT}),

varifrån följer uttrycket för den kemiska potentialen: var är avvikelserna från Bose-kondensationspunkten. $T=T_0$ $\mu \approx {\frac {\Gamma ^{{2}}(3/2)}{\pi ^{{2}}{\överlinje A}^{2}(kT_{{0}})^{ {2)))){\Bigg (}\delta n-3n_{{0)){\frac {\delta T}{2T_{{0)))){\Bigg )}^{{2)),$ $\delta n, \quad \delta T$

För att beräkna entropin och värmekapaciteten behöver vi också asymptotik för funktionerna och , som kan erhållas på samma sätt som den föregående och har formen: $\zeta_{1/2}(e^{\mu/(kT)})$ $\zeta_{5/2}(e^{\mu/(kT)})$

\zeta _{5/2}(e^{\mu /(kT)})\approx \mbox{const} + O(\frac{\mu}{kT}),\quad \zeta _{1/2 }(e^{\mu /(kT)})\approx \mbox{const} \sqrt {\frac {kT}{|\mu |}} +O(1)

Se även

Litteratur

Landau L. D., Lifshitz E. M. Statistisk fysik.
Cooney F. M. Statistisk fysik.
M. Komarova, M. Nalimov. kvantgaser. - St. Petersburg State University, 2005.
Jean Letessier, Johann Rafelski, T. Ericson, PY Landshoff. Hadroner och Quark-Gluon Plasma. - Cambridge University Press , 2002. - 415 sid. — ISBN 9780511037276 .

Materias termodynamiska tillstånd

Fas tillstånd

Aggregeringstillstånd Fasbalans Fasregel fas diagram Tillståndsekvation
Fast	kristaller Monokristall polykristall Kristallit
Mesofas	Amorfa kroppar glasartat tillstånd flytande kristall Nematic Smektisk kolesteriskt Kolumnfas Mesogen Membran
Flytande	Idealisk vätska Metastabilt tillstånd överhettad vätska underkyld vätska sträckt vätska Nedsmältning superkritisk vätska
Gas	Idealisk gas riktig gas Ånga Mättad ånga överhettad ånga övermättad ånga
Plasma	elektromagnetiska Quark-gluon plasma Glazma
Låg temperatur	bose kondensat Fermioniskt kondensat kvantgas bose gas Fermi gas degenererad gas kvantvätska bose vätska Fermi vätska superflytande fast ämne Fenomen Superfluiditet Superledningsförmåga
Övrig	märklig sak fotonisk molekyl färgglaskondensat

Fasövergångar

Första sorten

Andra sorten

i elektriska fenomen	ferroelektrisk Antiferroelektrisk
i magnetiska fenomen	ferromagneter Paramagneter Antiferromagneter

kvant

lambdapunkt

Dispergera system

Geler
- Aerogel
Lösningar
kolloidsystem
- grov
- Fritt spridd kolloidal
Sol
Sprejburk
- Rök
- Damm
- Dimma
- dimma
Suspension
Emulsion

se även