Binärt talsystem

Talsystem i kulturen
indo-arabiska
Arabiska tamilska burmesiska	Khmer Lao Mongoliska Thai
Öst asiat
kinesiska japanska Suzhou koreanska	Vietnamesiska räknepinnar
Alfabetisk
Abjadia Armeniska Aryabhata kyrilliska grekiska	georgiska etiopiska judiska Akshara Sankhya
Övrig
Babyloniska egyptiska etruskiska romerska Donau	Attic Kipu Mayan Egeiska KPPU-symboler
positionella
2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 16 , 20 , 60
Nega-positionell
symmetrisk
blandade system
Fibonacci
icke-positionell
Singular (unär)

Det binära talsystemet är ett positionsnummersystem med bas 2. På grund av dess direkta implementering i digitala elektroniska kretsar på logiska grindar , används det binära systemet i nästan alla moderna datorer och andra elektroniska beräkningsenheter .

Binär notation av tal

I det binära systemet skrivs siffror med två symboler ( 0 och 1 ). För att inte blanda ihop i vilket talsystem numret är skrivet är det försett med en pekare längst ner till höger. Till exempel ett tal i decimal 5 10 , i binärt 101 2 . Ibland betecknas ett binärt tal med prefixet 0b eller symbolen & (ampersand) [1] , till exempel 0b101 respektive &101 .

I det binära talsystemet (som i andra talsystem förutom decimal) läses tecknen ett i taget. Till exempel uttalas siffran 1012 "ett noll ett".

Naturliga tal

Ett naturligt tal, skrivet i binärt som , har betydelsen: $(a_{{n-1}}a_{{n-2}}\dots a_{{1}}a_{0})_{2}$

(a_{{n-1}}a_{{n-2}}\dots a_{{1}}a_{0})_{2}=\summa _{{k=0}}^{{n- 1}}a_{k}2^{k},

var:

$n$ - antalet siffror (tecken) i numret,
$a_{k}$ — värden på siffror från uppsättningen {0,1},
$k$ - siffrans serienummer.

Negativa tal

Negativa binära tal betecknas på samma sätt som decimaltal: med ett "-" framför talet. Ett negativt heltal skrivet i binär notation har nämligen värdet: $(-a_{{n-1}}a_{{n-2}}\dots a_{{1}}a_{0})_{2}$

(-a_{{n-1}}a_{{n-2}}\dots a_{{1}}a_{0})_{2}=-\summa _{{k=0}}^{{ n-1}}a_{k}2^{k}.

Inom beräkningar används det ofta för att skriva negativa binära tal i tvåkomplement .

Bråktal

Ett bråktal, skrivet i binärt som , har ett värde: $(a_{{n-1}}a_{{n-2}}\dots a_{{1}}a_{{0}},a_{{-1}}a_{{-2}}\dots a_{ {-(m-1)}}a_{{-m}})_{2}$

( a n − ett a n − 2 … a ett a 0 , a − ett a − 2 … a − ( m − ett ) a − m ) 2 = ∑ k = − m n − ett a k 2 k , {\displaystyle (a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{ -m})_{2}=\summa _{k=-m}^{n-1}a_{k}2^{k},}

(a_{n-1}a_{n-2}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots a_{-(m-1)}a_{ -m})_{2}=\summa _{k=-m}^{n-1}a_{k}2^{k},

var:

$m$ - antalet siffror i bråkdelen av talet,
$a_{k}$ är värdena för siffrorna från uppsättningen . $\{0,1\}$

Addition, subtraktion och multiplikation av binära tal

Tilläggstabell

+	0	ett
0	0	ett
ett	ett	0 (överför 1 till hög bit)

subtraktionstabell

-	0	ett
0	0	ett
ett	1 (lån från seniorkategori)	0

Ett exempel på kolumntillägg (decimaluttrycket 14 10 + 5 10 = 19 10 i binärt ser ut som 1110 2 + 101 2 = 10011 2 ):

+		ett	ett	ett	0
+			ett	0	ett

	ett	0	0	ett	ett

Multiplikationstabell

×	0	ett
0	0	0
ett	0	ett

Ett exempel på multiplikation med en "kolumn" (decimaluttrycket 14 10 * 5 10 \u003d 70 10 i binärt ser ut som 1110 2 * 101 2 \u003d 1000110 2 ):

×				ett	ett	ett	0
×					ett	0	ett

+				ett	ett	ett	0
+		ett	ett	ett	0

	ett	0	0	0	ett	ett	0

Talomvandlingar

För att konvertera från binär till decimal, använd följande tabell med bas 2 potenser:

1024

512

256

128

åtta

fyra

ett

Från och med siffran 1 multipliceras alla tal med två. Punkten efter 1 kallas en binär punkt.

Konvertera binära till decimala tal

Låt oss säga att det binära talet 110001 2 ges . För att konvertera till decimal, skriv det som en summa över siffrorna enligt följande:

1 * 2 5 + 1 * 2 4 + 0 * 2 3 + 0 * 2 2 + 0 * 2 1 + 1 * 2 0 = 49

Samma sak lite annorlunda:

1 * 32 + 1 * 16 + 0 * 8 + 0 * 4 + 0 * 2 + 1 * 1 = 49

Du kan skriva detta i tabellform enligt följande:

512	256	128	64	32	16	åtta	fyra	2	ett
				ett	ett	0	0	0	ett
				+32	+16	+0	+0	+0	+1

Flytta från höger till vänster. Under varje binär enhet skriver du dess motsvarighet på raden nedan. Lägg till de resulterande decimaltalen. Således är det binära talet 110001 2 ekvivalent med decimaltalet 49 10 .

Konvertera binära bråktal till decimaltal

Du måste konvertera talet 1011010.101 2 till decimalsystemet. Låt oss skriva detta nummer så här:

1 * 2 6 + 0 * 2 5 + 1 * 2 4 + 1 * 2 3 + 0 * 2 2 + 1 * 2 1 + 0 * 2 0 + 1 * 2 −1 + 0 * 2 −2 + 1 * 2 −3 = 90,625

Samma sak lite annorlunda:

1 *64 + 0 *32 + 1 *16 + 1 *8 + 0 *4 + 1 *2 + 0 *1 + 1 *0,5 + 0 *0,25 + 1 *0,125 = 90,625

Eller enligt tabellen:

64	32	16	åtta	fyra	2	ett		0,5	0,25	0,125
ett	0	ett	ett	0	ett	0	,	ett	0	ett
+64	+0	+16	+8	+0	+2	+0		+0,5	+0	+0,125

Horners förvandling

För att konvertera tal från binära till decimaler med denna metod måste du summera talen från vänster till höger, multiplicera det tidigare erhållna resultatet med systemets bas (i det här fallet 2). Horners metod konverteras vanligtvis från binär till decimal. Den omvända operationen är svår, eftersom den kräver färdigheter i addition och multiplikation i det binära talsystemet.

Till exempel konverteras det binära talet 1011011 2 till decimal enligt följande:

0*2 + 1 = 1
1*2 + 0 = 2
2*2 + 1 = 5
5*2 + 1 = 11
11*2 + 0 = 22
22*2 + 1 = 45
45*2 + 1 = 91

Det vill säga, i decimalsystemet kommer detta tal att skrivas som 91.

Översättning av bråkdelen av tal med Horners metod

Siffrorna tas från talet från höger till vänster och dividerat med talsystemets grund (2).

Till exempel 0,1101 2

(0 + 1 )/2 = 0,5
(0,5 + 0 )/2 = 0,25
(0,25 + 1 )/2 = 0,625
(0,625 + 1 )/2 = 0,8125

Svar: 0,1101 2 = 0,8125 10

Decimal till binär konvertering

Låt oss säga att vi måste konvertera talet 19 till binärt. Du kan använda följande procedur:

19/2 = 9 med rest 1
9/2 = 4 med rest 1
4/2 = 2 utan rest 0
2/2 = 1 utan rest 0
1/2 = 0 med rest 1

Så vi dividerar varje kvot med 2 och skriver resten till slutet av den binära notationen. Vi fortsätter divisionen tills kvoten är 0. Vi skriver resultatet från höger till vänster. Det vill säga den nedersta siffran (1) kommer att vara den längst till vänster osv. Som ett resultat får vi talet 19 i binär notation: 10011 .

Konvertera bråktal decimaltal till binära

Om det finns en heltalsdel i det ursprungliga talet konverteras den separat från bråkdelen. Omvandlingen av ett bråktal från decimaltalsystemet till binärt utförs enligt följande algoritm:

Bråket multipliceras med basen i det binära talsystemet (2);
I den resulterande produkten allokeras heltalsdelen, som tas som den mest signifikanta siffran i numret i det binära talsystemet;
Algoritmen avslutas om bråkdelen av den resulterande produkten är lika med noll eller om den erforderliga beräkningsnoggrannheten uppnås. Annars fortsätter beräkningarna över den del av produkten.

Exempel: Du vill konvertera decimaltalet 206.116 till ett binärt bråktal.

Översättningen av heltalsdelen ger 206 10 =11001110 2 enligt de tidigare beskrivna algoritmerna. Vi multiplicerar bråkdelen av 0,116 med bas 2 och sätter heltalsdelarna av produkten i siffrorna efter decimalpunkten för det önskade binära bråktalet:

0.116 • 2 = 0.232 0.232 •
2 = 0.464 0.464 • 2 = 0.928 0.928 • 2 = 1.856 0.856 • 2 = 1.712 0.712 • 2 = 1.424 0.424 • 2 = 0.848 0.848 • 2 = 1.696 0.696 • 2 = 1.392 0.392 • 2 = 0.784 etc.

Således 0,116 10 ≈ 0,0001110110 2

Vi får: 206.116 10 ≈ 11001110.0001110110 2

Applikationer

I digitala enheter

Det binära systemet används i digitala enheter eftersom det är det enklaste och uppfyller kraven:

Ju färre värden som finns i systemet, desto lättare är det att göra enskilda element som fungerar på dessa värden. I synnerhet kan två siffror i det binära talsystemet enkelt representeras av många fysiska fenomen: det finns ström (strömmen är större än tröskelvärdet) - det finns ingen ström (strömmen är mindre än tröskelvärdet), den magnetiska fältinduktionen är större än tröskelvärdet eller inte (magnetfältsinduktionen är mindre än tröskelvärdet) etc.
Ju lägre antal tillstånd för ett element, desto högre brusimmunitet och desto snabbare kan det fungera. Till exempel, för att koda tre tillstånd i termer av spänning, ström eller magnetfältsinduktion, skulle du behöva ange två tröskelvärden och två komparatorer ,

Inom beräkningar används det ofta för att skriva negativa binära tal i tvåkomplement . Till exempel kan talet -5 10 skrivas som -101 2 men skulle lagras som 1111111111111111111111111111011 2 på en 32-bitars dator .

Generaliseringar

Det binära talsystemet är en kombination av ett binärt kodningssystem och en exponentiell viktfunktion med en bas lika med 2. Ett tal kan skrivas i binär kod , och talsystemet kanske inte är binärt, utan med en annan bas. Exempel: BCD-kodning , där decimalsiffror skrivs binärt och talsystemet är decimalt.

Historik

En komplett uppsättning av 8 trigram och 64 hexagram , analogt med 3-bitars och 6-bitars siffror, var känd i det antika Kina i de klassiska texterna i Book of Changes . Ordningen på hexagram i Förändringarnas bok , ordnade i enlighet med värdena för motsvarande binära siffror (från 0 till 63), och metoden för att erhålla dem utvecklades av den kinesiske vetenskapsmannen och filosofen Shao Yong i 1000-talet . Det finns dock inga bevis som visar att Shao Yong förstod reglerna för binär aritmetik och placerade tuplar med två tecken i lexikografisk ordning .
Den indiske matematikern Pingala ( 200 f.Kr. ) utvecklade det matematiska ramverket för att beskriva poesi genom att använda den första kända tillämpningen av det binära systemet [2] [3] .

Prototypen av databaserna som användes flitigt i centrala Anderna ( Peru , Bolivia ) för statliga och offentliga ändamål under I-II årtusendet e.Kr. t.ex. det fanns en knuten skrift av Incas - kipu , bestående av både numeriska poster i decimalsystemet [4] och icke-numeriska poster i det binära kodningssystemet [5] . Den quipu använde primära och sekundära nycklar, positionsnummer, färgkodning och bildandet av serier av upprepande data [6] . Kipu användes för första gången i mänsklighetens historia för att tillämpa en sådan redovisningsmetod som dubbel bokföring [7] .
Uppsättningar som är kombinationer av binära siffror användes av afrikaner i traditionell spådom (som Ifa ) tillsammans med medeltida geomancy .
År 1605 beskrev Francis Bacon ett system där bokstäverna i alfabetet kunde reduceras till sekvenser av binära siffror, som i sin tur kunde kodas som subtila teckensnittsändringar i vilken slumpmässig text som helst. Ett viktigt steg i utvecklingen av den allmänna teorin om binär kodning är observationen att denna metod kan användas för alla objekt [8] (se Bacons chiffer ).

Det moderna binära systemet beskrevs fullständigt av Leibniz på 1600-talet i Explication de l'Arithmétique Binaire [9] . Leibniz talsystem använde siffrorna 0 och 1, precis som det moderna binära systemet. Som en person fascinerad av kinesisk kultur kände Leibniz till Förändringarnas bok och märkte att hexagram motsvarar binära tal från 0 till 111111. Han beundrade det faktum att denna visning är bevis på stora kinesiska framgångar inom filosofisk matematik på den tiden [10] .

År 1854 publicerade den engelske matematikern George Boole ett framträdande arbete som beskrev algebraiska system som tillämpade på logik , som nu är känd som boolesk algebra eller logikens algebra . Hans logiska kalkyl var avsedd att spela en viktig roll i utvecklingen av moderna digitala elektroniska kretsar.
1937 lämnade Claude Shannon in sin doktorsavhandling , Symbolic Analysis of Relay and Switching Circuits vid MIT , där boolesk algebra och binär aritmetik tillämpades på elektroniska reläer och switchar. I princip all modern digital teknik är baserad på Shannons avhandling .
I november 1937 byggde George Stiebitz , som senare arbetade på Bell Labs , en reläbaserad "Model K" (från det engelska köket " Kök " där monteringen gjordes) dator som utförde binär addition. I slutet av 1938 lanserade Bell Labs ett forskningsprogram ledd av Stibitz. Datorn skapad under hans ledning, färdig den 8 januari 1940, kunde utföra operationer med komplexa tal . Under en demonstration vid American Mathematical Society -konferensen vid Dartmouth College den 11 september 1940, visade Stiebitz förmågan att skicka kommandon till en fjärrkalkylator för komplexa tal över en telefonlinje med hjälp av en teleskrivmaskin . Detta var det första försöket att använda en fjärrdator via en telefonlinje. Bland konferensdeltagarna som bevittnade demonstrationen var John von Neumann , John Mauchly och Norbert Wiener , som senare skrev om det i sina memoarer.

Se även

Anteckningar

↑ Popova Olga Vladimirovna. Lärobok i datavetenskap . Hämtad 3 november 2014. Arkiverad från originalet 3 november 2014. (obestämd)
↑ Sanchez, Julio & Canton, Maria P. (2007), Mikrokontrollerprogrammering: mikrochippet PIC , Boca Raton, Florida: CRC Press, sid. 37, ISBN 0-8493-7189-9
↑ W.S. Anglin och J. Lambek, The Heritage of Thales , Springer, 1995, ISBN 0-387-94544-X
↑ Ordish George, Hyams, Edward. Inkans sista: ett amerikanskt imperiums uppgång och fall. - New York: Barnes & Noble, 1996. - S. 80. - ISBN 0-88029-595-3 .
↑ Experter "dechiffrerar" Inkasträngar . Arkiverad från originalet den 18 augusti 2011. (obestämd)
↑ Carlos Radicati di Primeglio, Gary Urton. Estudios sobre los quipus (neopr.) . - S. 49.
↑ Dale Buckmaster. The Incan Quipu and the Jacobsen Hypothesis // Journal of Accounting Research : journal. - 1974. - Vol. 12 , nr. 1 . - S. 178-181 .
↑ Bacon Francis , The Advancement of Learning , vol. 6, London, sid. Kapitel 1 , < http://home.hiwaay.net/~paul/bacon/advancement/book6ch1.html > Arkiverad 18 mars 2017 på Wayback Machine
↑ http://www.leibniz-translations.com/binary.htm Arkiverad 11 februari 2021 på Wayback Machine Leibniz Translation.com FÖRKLARING AV BINÄR ARITMETIK
↑ Aiton, Eric J. (1985), Leibniz: A Biography , Taylor & Francis, s. 245–8, ISBN 0-85274-470-6

Länkar

Binary calculus // Encyclopedic Dictionary of Brockhaus and Efron : i 86 volymer (82 volymer och 4 ytterligare). - St Petersburg. 1890-1907.
Lärobok "Aritmetiska grunder för datorer och system." Del 1. Talsystem
Hexadecimal decimal binär oktalomvandlare för programmerare Arkiverad 21 februari 2011 på Wayback Machine
Omvandlare av heltal och bråktal från binärt till decimaltal .
Fomin SV Nummersystem . — M .: Nauka , 1987. — 48 sid. - ( Populära föreläsningar om matematik ). (alternativ länk), (alternativ länk till RSL-webbplatsen)
Nummersystem: riktlinjer och uppdrag för självständigt arbete inom disciplinen "Informatik" för studenter inom alla specialiteter . - Saratov: staten Saratov. tekniska universitetet , 2009. - 24 sid.
Lyubomudrov A.A. Nummersystem. Metoder för att omvandla tal från ett positionstalssystem med bas p1 till ett positionstalssystem med bas p2 . — M .: NRNU MEPhI , 2009. — 28 sid.
Andreeva E.V. Talsystem och datoraritmetik: lärobok. ersättning. - ed. 3:a . - M . : Binom. Labb. kunskap, 2004. - 254 sid.
Nummersystem (16 september 2014)
MGIU: Informatik. Uppgift 1. Nummersystem. (21 februari 2014)
Binärt talsystem - en visuell förklaring av funktionsprincipen för positionsnummersystem (särskilt binärt)

Ordböcker och uppslagsverk	Stor dansk Stor norsk Brockhaus och Efron Litet Brockhaus och Efron Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	GND : 4150805-1 NDL : 00568548