Tunneleffekt

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 16 augusti 2022; kontroller kräver 2 redigeringar .

Tunneleffekt , tunnling - övervinna en potentiell barriär av en mikropartikel i fallet när dess totala energi (förblir oförändrad under tunnling) är mindre än barriärens höjd. Tunneleffekten är ett fenomen av uteslutande kvantnatur , omöjligt inom klassisk mekanik och till och med helt motsägelsefullt. En analog till tunneleffekten i vågoptik kan vara penetrationen av en ljusvåg in i ett reflekterande medium (på avstånd av storleksordningen av våglängden för en ljusvåg) under förhållanden då, ur geometrisk optiks synvinkel , total intern reflektion uppstår . Fenomenet tunnling ligger till grund för många viktiga processer inom atom- och molekylfysik , i atomkärnans fysik , fast tillstånd , etc.

Kvantmekanisk beskrivning av essensen av effekten

Enligt klassisk mekanik kan en partikel endast lokaliseras vid de punkter i rymden där dess potentiella energi är mindre än dess totala energi . Detta följer av det faktum att partikelns kinetiska energi $U$

E_{kin}={\frac {p^{2}}{2m}}=EU

kan inte (i klassisk fysik) vara negativ, eftersom momentum i detta fall kommer att vara en imaginär storhet . Det vill säga om två regioner i rymden är åtskilda av en potentiell barriär, så att penetrationen av en partikel genom den inom ramen för den klassiska teorin visar sig vara omöjlig. ${U}>{E}$

Inom kvantmekaniken är faktumet med det imaginära värdet av en partikels rörelsemängd inte nonsens. Låt oss säga att Schrödinger-ekvationen med konstant potential = const, skriven i det endimensionella fallet som $U(x)$

{\frac {{{\rm {d}}^{2}}{\psi }}{({\rm {d}}{x}}^{2}}}+{\frac {2m }{{\hbar }^{2))}{\left({E}-{U}\right)}{\psi }=0,

var är den önskade vågfunktionen , är koordinaten , är den reducerade Planck-konstanten , är partikelns massa , har lösningen $\psi$ $x$ ${\displaystyle {\hbar ))$ $m$

{\psi }=A\exp {\left(i\,{\frac {p}{\hbar }}\,x\right)+B\exp \left(-i\,{\frac { p}{\hbar }}\,x\right)},\quad p={\sqrt {2m\left(EU\right)))

Denna lösning gäller både för situationen och . I det andra, omöjliga i klassisk mekanik, fall, under exponenterna kommer det att finnas ett verkligt värde på grund av ett imaginärt momentum - fysiskt beskriver en sådan lösning dämpningen eller förstärkningen av en våg med en koordinat. Konkretiseringen bestäms av randvillkoren. $E>U$ $E<U$

Värden som inte är noll på at indikerar att det finns en viss sannolikhet att partikeln kommer att hamna i ett klassiskt otillgängligt område, vilket i detta sammanhang kallas en barriär. Om området är oändligt tjockt (halvutrymme) avtar vågfunktionen med ett karakteristiskt djup. Om barriären har en ändlig tjocklek som är jämförbar med detta djup, så stannar dämpningen utanför barriären, och den överförda vågens vågfunktion motsvarar ytterligare utbredning, om än med en lägre amplitud (visas i figuren). ${\displaystyle |\psi (x)|^{2))$ $E<U$

Under tunnlingsprocessen bevaras partikelns totala energi och dess momentumkomponent i planet vinkelrätt mot tunnelriktningen: $E$ $\,{\vec {p}}_{\bot }$ $yz$

E={\rm {{const},\quad {\vec {p}}_{\bot }={\rm {const}}}}

Ovan antogs vid övervägande av det endimensionella fallet att ; om , då i uttrycket för skulle det vara nödvändigt att ersätta med . Underlåtenhet att följa bevarandereglerna är endast möjligt under inverkan av avledande krafter som bryter mot "renheten" i tunnelprocessen. $p_{\bot }=0$ $p_{\bot }\neq 0$ $\psi$ $sid$ ${\displaystyle p_{x}=[2m\left(EU\right)-p_{\bot }^{2}]^{1/2))$

Barriärpenetrationskoefficient

Låt det finnas en rörlig partikel , på vägen mot vilken det finns en potentiell barriär , och före och efter den . Låt vidare början av barriären sammanfalla med ursprunget för koordinater, och "bredden" på barriären är . $U(x)$ $U=0$ $a$

Sedan för den första (före barriären) och den tredje (efter) regionen ger Schrödinger-ekvationen en lösning i form av summan av två exponentialer med reella exponenter:

{{\psi }_{I}}={A_{1}}\exp {\left(ikx\right)}+{B_{1}}\exp {\left(-ikx\right)}

{{\psi }_{III}}={A_{3}}\exp {\left(ik(xa)\right)}+{B_{3}}\exp {\left(-ik( xa)\right)}

medan lösningen för det andra området (barriären) kan vara komplex och bestäms av typen av profil . Här $\psi _{II}(x)$ $U(x)$

k={\sqrt {\frac {2mE}{\hbar ^{2))))

Eftersom termen beskriver den reflekterade vågen som kommer från plus oändlighet, som är frånvarande i region III, måste vi sätta . ${\displaystyle {B_{3}}\exp {\left(-ik(xa)\right)))$ ${B_{3}}=0$

Barriärens transparenskoefficient (överföringskoefficient) är lika med modulen för förhållandet mellan flödestätheten för passerade partiklar och flödestätheten för fallna partiklar:

T={\frac {j_{III}}{j_{I}}}

Följande formel används för att bestämma partikelflödet:

{\displaystyle {j}={\frac {i{\hbar }}{2m}}{\left({\frac {{\partial }{{\psi }^{*}}}{{\partial }x }}{\psi }-{\frac {{\partial }{\psi }}({\partial }x}}({\psi }^{*}}\right))))

där * -tecknet betecknar komplex konjugation . Genom att ersätta vågfunktionerna som anges ovan med denna formel får vi:

{T}={\frac {|{A_{3}}|^{2}}{|{A_{1}}|^{2}}}

Därför, för att bestämma överföringskoefficienten , krävs det att du känner till och . $T$ $A_{1}$ $A_{3}$

Rektangulär potentialbarriär

När det gäller den enklaste rektangulära barriären vid , har vågfunktionen i barriären formen: $U(x)=U_{0}$ $0<x<a$

{{\psi }_{II}}={A_{2}}\exp {\left(-{\kappa }x\right)}+{B_{2}}\exp {\left({ \kappa }x\right)},

var är vågnumret .

{\displaystyle \kappa ={\sqrt {{\frac {2m}{\hbar ^{2))}{\left({U_{0}-E}\right)))))

I den analytiska beräkningen av de pre-exponentiella faktorerna i uttrycken för används "villkoren för att länka funktioner": kraven på kontinuitet och deras derivator vid båda knutpunkterna. $\psi _{I},$ $\psi _{II},$ $\psi _{III}$ $\psi$ $d\psi /dx$

Efter att ha gjort matematiken får vi :

T={\frac {1}{1+{\frac {U_{0}^{2}}{4E\left(U_{0}-E\right)))\sinh ^{2}( \kappa a)}}.

Skrivningen av denna formel är mer naturlig för fallet . Men formeln är också giltig för passagen över barriären, medan den hyperboliska sinusen kan ersättas med den vanliga genom formeln . $E<U_{0}.$ $E>U_{0},$ $\sinh(is)=i\sin s$

Det framgår av analysen av formeln för att, i motsats till det klassiska fallet, för det första är passagen också möjlig vid , och för det andra är passagen vid inte garanterad (se figuren). $T$ ${\displaystyle E<U_{0))$ $E>U_{0}$

I allmänhet, för lägre energier , för att transparenskoefficienten ska ha märkbara värden, måste barriären vara tunn och låg. $U_{0},$

Om överföringskoefficienten är liten, omvandlas formeln till: $E\ll U_{0},$

T={\frac {16(U_{0}-E)E}{U_{0}^{2}}}\cdot \exp \left(-{\frac {2a{\sqrt {2m( U_{0}-E))))}{\hbar }}\right),

där den pre-exponentiella faktorn ofta kan anses vara nära enhet och kan utelämnas.

Fri form potentiell barriär

En potentiell barriär av en godtycklig form kan mentalt delas upp i ett system av små rektangulära barriärer med potentiell energi som står bredvid varandra . $U(x)$ $\Delta x$ $U_{i}.$

T=\prod T_{i}=\prod \exp \left(-{\frac {2{\sqrt {2m(U_{i}-E)))}{\hbar }}\Delta x\ höger)=\exp \left(-\sum {\frac {2{\sqrt {2m(U_{i}-E)))}{\hbar }}\Delta x\right).

Den preexponentiella faktorn sattes till ett. Om vi tenderar till noll i det sista uttrycket och går från summering till integration får vi [1] : $\Delta x$

T=\exp \left(-{\frac {2}{\hbar }}\int \limits _{x_{1}}^{x_{2}}{\sqrt {2m(U(x) -E)))\,{\rm {{d}x}}\höger),

var och kommer från villkoret: $x_{1}$ $x_{2}$ ${U(x_{1})}={U(x_{2})}=E.$

Mer berättigat kan denna formel härledas med hjälp av den så kallade semiklassiska approximationen (det är också Wentzel-Kramers-Brillouin approximationen).

Förenklad förklaring

Tunneleffekten kan förklaras av osäkerhetsrelationen skriven som:

\Delta x\Delta p\geqslant {\frac {\hbar }{2))

den visar att när en kvantpartikel är begränsad i rymden, det vill säga dess säkerhet i x ökar , blir dess rörelsemängd p mindre säker. Slumpmässigt kan momentumosäkerheten tillföra energi till partikeln för att övervinna barriären. Med viss sannolikhet kan alltså en kvantpartikel penetrera barriären. Denna sannolikhet är desto större, ju mindre massa partikeln är, desto smalare är den potentiella barriären och ju mindre energi partikeln saknar för att nå barriärens höjd, den penetrerande partikelns medelenergi kommer att förbli oförändrad [2] . $\Delta sid$

Systemets totala energi är summan av kinetik och potential, och därför måste, samtidigt som den totala energin bibehålls, för en partikel under en potentiell barriär, den kinetiska energin vara negativ. Denna uppenbara motsägelse löses med hjälp av följande övervägande. Det är omöjligt att dela upp den totala energin i två kinetiska och potentiella, eftersom det följer av detta att rörelsemängden och koordinaten är kända för partikeln, vilket är omöjligt utifrån osäkerhetsprincipen. För att begränsa partikelns position till området under barriären måste man också ta hänsyn till osäkerheten i momentumet. Det följer av formeln för passagekoefficienten genom barriären att partiklar passerar genom den potentiella barriären på ett märkbart sätt endast när dess tjocklek bestäms av den ungefärliga likheten $l$

{\frac {2}{\hbar }}{\sqrt {2m{\left(U_{m}-E\right)))}l\ca 1

Här är den maximala höjden på barriären. För att upptäcka en partikel inuti en potentiell barriär måste vi mäta dess koordinat med en noggrannhet som inte överstiger dess penetrationsdjup . Det följer av osäkerhetsprincipen att i detta fall får partikelns rörelsemängd en dispersion ${\displaystyle U_{m))$ $\Delta x<l$

{\overline {\Delta p^{2))}>{\frac {\hbar ^{2)){4{\overline {\Delta x^{2))))}={\frac { \hbar ^{2}}{4l^{2}}}

Värdet kan hittas från formeln , som ett resultat får vi $l$ ${\frac {2}{\hbar }}{\sqrt {2m{\left(U_{m}-E\right)))}l\ca 1$

{\frac {\overline {\Delta p^{2}}}{2m}}>U_{m}-E

Således ökar den kinetiska energin hos en partikel när den passerar genom barriären med den mängd som krävs för att passera barriären som ett resultat av uppkomsten av osäkerheten i dess rörelsemängd, bestämt av osäkerhetsprincipen som ett resultat av osäkerheten i att mäta dess koordinater [3] . Detta uttryck kan också hämtas från osäkerhetsrelationen för energi-tid [4] . $\Delta E\Delta t\geqslant \hbar /2$

Exempel på manifestationen av tunneleffekten

Om mångfalden av manifestationssfärer

Tunneleffekten, trots universaliteten i dess teori, manifesterar sig i en mängd olika fysiska system. Specifika typer av system skiljer sig åt i sättet att skapa en potentiell energiprofil (i icke-endimensionella fall ) och i typen av tunnelpartiklar. Till exempel, i Josephson-effekten , parar så kallade Cooper tunnel genom en dielektrisk film mellan supraledare . I fallet med alfasönderfall är tunnelpartiklarna kärnorna av heliumatomer (alfapartiklar), och koordinatberoendet för den potentiella energin "med en barriär" bildas på grund av starka kärnkrafter. $U(x)$ $U({\vec {r)))$

Exempel inom halvledarelektronik

Ett viktigt fall av tunnling är överföringen av elektroner i strukturer som innehåller halvledar- eller dielektriska skikt. Som är känt från bandteorin om en fast kropp , kanske en elektron i sådana material inte har någon energi, utan bara under ett visst värde eller över något annat.Regionen kallas förbjuden och uppgår vanligtvis till flera eV . I ett homogent material utan applicering av elektrisk spänning är profilerna horisontella linjer (i figuren - a). Men om det finns flera lager uppstår hopp också vid korsningarna, det vill säga en barriär skapas (i figuren - b, d). Barriärer kan också skapas eller ändras i närvaro av ett elektriskt fält som orsakar böjning/lutning (i figuren - c). För att tunnelströmmen ska flyta måste det finnas en skillnad i Fermi-energierna till vänster och höger om barriären. $E_{v}$ $E_{c}.$ $E_{v}\ldots E_{c}$ $(E_{g})$ $E_{v}(x),$ $E_{c}(x)$ $E_{v}$ $E_{c}$ $E_{v}(x),$ $E_{c}(x)$ $E_F$

Det finns många strukturer och solid-state-anordningar av praktisk betydelse med liknande energiprofiler av kanterna på den tillåtna zonen (b, d i figuren). Bland strukturerna i den diskuterade klassen:

de flesta typer av fälteffekttransistorer med en isolerad grind, halvledarstrukturer (ofta polykristallint kisel polySi) - dielektrisk (ofta SiO 2 ) - halvledare (ofta Si );
tunneldiod (två halvledarregioner under förhållanden där en av dem är högre än den andra, i figuren - c); $E_{v}$ $E_{c}$
system med tunna oxidfilmer som täcker ett antal metaller (särskilt aluminium ), tunnling av laddningsbärare genom sådana filmer (mitten av fig. d) säkerställer konduktiviteten hos punkterna för mekanisk anslutning av ledare (trådvridningar, klämmor, byglar );
system där autoelektronisk emission realiseras - tunnling av elektroner genom en potentiell barriär från en fast kropp till vakuum vid ett högt elektriskt fält nära dess yta (till höger i figuren - d);
olika tunnelanordningar baserade på heterostrukturer , inklusive resonanstunnlingsdioder.

Nedan presenteras den "vanliga" tunneldioden och resonansdioden mer i detalj.

Tunneldiod

En tunneldiod är en sorts halvledardiod ( pn-övergång ), en egenskap hos vilken är en stark, till punkten av degeneration , dopning av p- och n-delarna. Med sådan dopning sker energiöverlappningen av valensbandet för p-delen och ledningsbandet för n-delen inte bara vid den omvända ("-" på p) spänningen, utan också vid små värden på direkt ("+" på p). Dessutom visar sig utarmningsområdet som bildas nära övergångsgränsen vara mycket smalare än med lättdopning och är som ett resultat tunnelgenomsläppligt. När spänningen för någon polaritet ökar från noll, ökar strömmen snabbt på grund av effekten av elektrontunnling mellan ledningsbandet för n-delen och valensbandet för p-delen. Framåtförspänningsläget är mest signifikant: tunnling vid denna polaritet fortsätter tills den spänning vid vilken kanten av valensbandet för p-delen (utanför utarmningsområdet) och kanten av ledningsbandet för n-delen (även utanför utarmningsområdet) är lika i energi. Vid högre framspänningar fungerar dioden normalt [5] .

På grund av tunnlingsprocessen är likströms-spänningskarakteristiken för tunneldioden N-formad och har en sektion med negativt differentialmotstånd - där strömmen minskar med ökande spänning. Dessutom är tunnling en snabb process. Dessa tunneldiodegenskaper används i vissa applikationer, såsom högfrekventa enheter, där den karakteristiska tunnlingssannolikheten varierar med samma frekvens som förspänningen [5] .

Resonant tunneldiod

Resonant tunnlingsdioden (RTD) uppvisar också en N-formad egenskap, men kvanttunnelmekanismen är annorlunda. En sådan diod har en resonansspänning, som motsvarar en stor ström, som uppnås i en struktur med två tunna barriärer placerade mycket nära varandra (profilen på kanten av ledningsbandet har formen av en barriärbrunn- barriär). Det finns en uppsättning diskreta energinivåer i den potentiella brunnen för nuvarande bärare . När den lägsta kvasistationära nivån i brunnen ligger högre i energi än den typiska energin för elektronerna i den emitterande kontakten, är tunnlingen extremt svag och det går nästan ingen ström genom dioden. Så snart dessa energier utjämnas genom att öka den pålagda spänningen kommer elektronerna att flyta som genom en ledare. När spänningen ökar ytterligare sker avstämning från resonanstillståndet och tunnling blir mycket mindre sannolikt. Strömmen genom RTD minskar och förblir liten tills villkoret för resonanspassage genom den andra energinivån är uppfyllt [6] .

Historia och upptäcktsresande

Upptäckten av tunneleffekten föregicks av A. Becquerels upptäckt 1896 av radioaktivt sönderfall , vars studie fortsatte av makarna Marie och Pierre Curie , som fick Nobelpriset för sin forskning 1903 [7] . Baserat på deras forskning under det kommande decenniet formulerades teorin om radioaktiv halveringstid , som snart bekräftades experimentellt.

Samtidigt, 1901, fick en ung forskare, Robert Francis Earhart, som undersökte beteendet hos gaser mellan elektroder i olika lägen med en interferometer , plötsligt oförklarliga data. Efter att ha bekantat sig med resultaten av experimenten föreslog den berömde vetenskapsmannen D. Thomson att en ännu ej beskriven lag fungerar här, och uppmanade forskare för ytterligare forskning. 1911 och 1914 upprepade en av hans doktorander , Franz Rother, Earharts experiment, med en känsligare galvanometer för mätningar istället för en interferometer, och fixade definitivt ett oförklarligt stationärt elektronemissionsfält som uppstod mellan elektroderna . År 1926 använde samma Roser i experimentet den senaste galvanometern med en känslighet på 26 pA och registrerade ett stationärt fält av elektronemission som uppstod mellan tätt placerade elektroder även i högvakuum [8] .

1927 blev den tyske fysikern Friedrich Hund den förste att matematiskt avslöja "tunneleffekten" när man beräknade resten av dubbelbrunnspotentialen [7] . Samma år publicerade Leonid Mandelstam och Mikhail Leontovich , som analyserade konsekvenserna av den då "nya" Schrödinger-vågekvationen , oberoende ett dokument där de presenterade en mer allmän övervägande av detta fenomen [9] . År 1928, oberoende av varandra, tillämpades formlerna för tunneleffekter i deras arbete av den ryske vetenskapsmannen Georgy Gamow (som kände till upptäckterna av Mandelstam och Leontovich [10] ) och de amerikanska forskarna Ronald Gurney och Edward Condon i utveckla teorin om alfasönderfall [11] [12] [13] [14] [15] . Båda studierna löste samtidigt Schrödinger-ekvationen för den nukleära potentialmodellen och underbyggde matematiskt sambandet mellan partiklars radioaktiva halveringstid och deras radioaktiva utsläpp, sannolikheten för tunnling.

Efter att ha deltagit i Gamows seminarium utvecklade den tyske forskaren Max Born framgångsrikt sin teori och antydde att "tunneleffekten" inte är begränsad till kärnfysikområdet, utan har en mycket bredare effekt, eftersom den uppstår enligt kvantmekanikens lagar och , alltså, är tillämplig för att beskriva fenomen i många andra system [16] . Med autonom emission från en metall till ett vakuum, till exempel, enligt "Fowler-Nordheim-lagen" , formulerad samma 1928.

1957 ledde studiet av halvledare , utvecklingen av transistor- och diodteknologier , till upptäckten av elektrontunnling i mekaniska partiklar. 1973 fick amerikanen David Josephson Nobelpriset i fysik "För den teoretiska förutsägelsen av egenskaperna hos supraledningsströmmen som passerar genom en tunnelbarriär", tillsammans med japanen Leo Esaki och norrmannen Ivar Giever "For the experimental discoveries of tunneling ". fenomen i halvledare respektive supraledare" [16] . 2016 upptäcktes också " kvanttunnelering av vatten " [17] .

Anteckningar

↑ Yavorsky B. M. , Detlaf A. A. , Lebedev A. K. Handbok i fysik för ingenjörer och universitetsstudenter. - M .: Oniks, 2007. - ISBN 978-5-488-01248-6 . – Upplaga 5 100 ex. - S. 774.
↑ Artikel "Tunneleffekt" i TSB , andra stycket
↑ Blokhintsev D.I. Grunderna i kvantmekaniken. Handledning .. - 5-e. - M . : Nauka, 1976. - S. 421-423. — 664 sid.
↑ Razavy, 2013 , sid. tio.
↑ 1 2 Krane, Kenneth. Modern fysik (obestämd) . - New York: John Wiley and Sons , 1983. - s . 423 . - ISBN 978-0-471-07963-7 .
↑ Knight, RD Fysik för forskare och ingenjörer : Med modern fysik . — Pearson Education, 2004. - P. 1311. - ISBN 978-0-321-22369-2 .
↑ 12 Nimtz ; haibel. Noll tidsrum (obestämd) . - Wiley-VCH , 2008. - P. 1.
↑ Thomas Cuff. STM (Scanning Tunneling Microscope) [Robert Francis Earharts bortglömda bidrag till upptäckten av kvanttunneling. ] . ResearchGate . Hämtad 1 juni 2016. Arkiverad från originalet 26 januari 2017. (obestämd)
↑ Mandelstam, L.; Leontowitsch, M. (1928). Zur Theorie der Schrödingerschen Gleichung. Zeitschrift fur Physik . 47 (1-2): 131-136. Bibcode : 1928ZPhy...47..131M . DOI : 10.1007/BF01391061 . S2CID 125101370 .
↑ Feinberg, E. L. (2002). "Förfadern (om Leonid Isaakovich Mandelstam)". Fysik-Uspekhi . 45 (1): 81-100. Bibcode : 2002PhyU...45...81F . DOI : 10.1070/PU2002v045n01ABEH001126 .
↑ G. Gamov . Uppsats om utvecklingen av teorin om strukturen av atomkärnan (I. Theory of radioactive decay) // UFN 1930. V. 4. Arkivexemplar av 5 februari 2011 på Wayback Machine
↑ Gurney, RW; Condon, EU Quantum Mechanics and Radioactive Disintegration // Nature . - 1928. - Vol. 122 , nr. 3073 . — S. 439 . - doi : 10.1038/122439a0 . — .
↑ Gurney, RW; Condon, EU Quantum Mechanics and Radioactive Disintegration (neopr.) // Phys. Varv. - 1929. - T. 33 , nr 2 . - S. 127-140 . - doi : 10.1103/PhysRev.33.127 . - .
↑ Bethe, Hans (27 oktober 1966), Hans Bethe - Session I . Intervju med Charles Weiner; Jagdish Mehra , Cornell University, Niels Bohr Library & Archives, American Institute of Physics, College Park, MD USA , < https://www.aip.org/history-programs/niels-bohr-library/oral-histories/4504- 1 > . Hämtad 1 maj 2016. .
↑ Friedlander, Gerhart; Kennedy, Joseph E.; Miller, Julian Malcolm. Kärn- och radiokemi (neopr.) . — 2:a. - New York: John Wiley & Sons , 1964. - S. 225-227. - ISBN 978-0-471-86255-0 .
↑ 1 2 Razavy, Mohsen. Quantum Theory of Tunneling (neopr.) . - World Scientific , 2003. - P. 4 , 462. - ISBN 9812564888 .
↑ Kolesnikov et al. Quantum Tunneling of Water in Beryl: A New State of the Water Molecule . Fysiska granskningsbrev (22 april 2016). doi : 10.1103/PhysRevLett.116.167802 . Hämtad 23 april 2016. Arkiverad från originalet 12 maj 2021. (obestämd)

Länkar

Tunnelutsläpp - artikel från Great Soviet Encyclopedia .
Tunneleffekt // Stora sovjetiska encyklopedin : [i 30 volymer] / kap. ed. A. M. Prokhorov . - 3:e uppl. - M . : Soviet Encyclopedia, 1969-1978.

Litteratur

Gol'danskii VI, Trakhtenberg LI, Flerov VN Tunnelfenomen i kemisk fysik. M.: Nauka, 1986. - 296 sid.
Blokhintsev D. I. Fundamentals of Quantum Mechanics, 4:e upplagan, M., 1963.
Landau L. D. , Lifshits E. M. Kvantmekanik (icke-relativistisk teori). — 3:e upplagan, reviderad och förstorad. — M .: Nauka , 1974. — 752 sid. - (" Teoretisk fysik ", volym III).
Razavy Mohsen. Quantum Theory of Tunneling = Quantum Theory of Tunneling. — 2:a. - Singapore: World Scientific Publishing Co., 2013. - 820 sid. — ISBN 9814525006 .

Ordböcker och uppslagsverk	Stor norsk Stor norsk Stor ryss Britannica (online)
I bibliografiska kataloger	GND : 4136216-0 J9U : 987007555903405171 LCCN : sh85138672 NDL : 00573280