Wigner klassificering

Wigner-klassificeringen är en matematisk klassificering av irreducerbara enhetsrepresentationer av Poincaré-gruppen som har gett massegenvärden och beskriver elementarpartiklar med icke-negativa energier i teoretisk fysik (eftersom Poincaré-gruppen är icke-kompakt, är dessa enhetsrepresentationer oändliga- dimensionell). Den introducerades av Eugene Wigner för klassificering av partiklar och fält i fysik (se artikeln elementär partikelfysik och representationsteori ). Använder begreppet stabilisatorundergrupper i denna grupp, kallade små Wigner-grupper av olika masstillstånd.

Casimir-invarianterna i Poincaré-gruppen är var är 4-momentumoperatorn och , där är Lyubansky-pseudovector . Egenvärdena för dessa operatorer har en viktig fysisk betydelse. Den första är relaterad till kvadraten på massan, och den andra är relaterad till helicitet eller spin . ${\displaystyle C_{1}=P^{\mu }P_{\mu ))$ $P$ $C_{2}=W^{\alpha }W_{\alpha }$ $W$

Således kan fysiskt relevanta representationer klassificeras enligt värdena för massan och 4-momentumoperatorn : ; , men ; och med . [1] Wigner fann att egenskaperna hos representationer av masslösa partiklar är fundamentalt annorlunda än egenskaperna hos representationer av massiva partiklar. $m$ $P$ $m>0$ $m=0$ $P_{0}>0$ $m=0$ $P^{\mu }=0$

I det första fallet ( ) beskrivs egenutrymmet (se generaliserade egenrum för obegränsade operatorer ) med en 4-momentumoperator av en grupprepresentation SO(3) . I den projektiva representationen beskrivs den av den irreducible enhetsrepresentationen Spin(3), som kännetecknar deras spinn och positiva massa. $m>0$ $P=(m,0,0,0)$
För det andra fallet ( , men ) används stabilisatorn för P =( k,0,0,-k ) . Detta är det dubbla höljet för den euklidiska gruppen SE(2) (se enhetsstrålerepresentation ). Det finns två typer av irreducerbara representationer , varav en kännetecknas av en faktor på 1/2, kallad helicitet , och den andra kallas en kontinuerlig spin- representation . $m=0$ $P_{0}>0$
Det sista fallet ( c ) beskriver ett vakuum . Den enda finita dimensionella enhetsrepresentationen är den triviala representationen , kallad vakuumet. $m=0$ $P^{\mu }=0$

Massiva skalära fält

Som ett exempel, betrakta en irreducerbar enhetsrepresentation som beskriver partiklar med positiv massa m > 0 och noll spin s = 0 . Det motsvarar utrymmet för massiva skalära fält .

Vi definierar en hyperboloid yta G i 4-moment utrymmet som:

P_{0}^{2}-P_{1}^{2}-P_{2}^{2}-P_{3}^{2}=m^{2}

, .

P_{0}>0

Minkowski-måttet är begränsat till ett Riemann-mått på G , vilket ger G den metriska strukturen för ett hyperboliskt utrymme , i synnerhet är det en hyperboloidmodell av ett hyperboliskt utrymme (se Minkowski-rymdgeometrin för ett bevis). Poincaré-gruppen H verkar på G eftersom den (genom att glömma verkan av översättningsundergruppen R 4 med översättningen inuti H ) bevarar den inre Minkowski-produkten , och elementet x i översättningsundergruppen R 4 i Poincare-gruppen verkar på L 2 ( G) genom att multiplicera med lämpliga fasfaktorer exp ( -i p x ) , där p \in G . Dessa två åtgärder kan kombineras på ett bekvämt sätt med hjälp av de inducerade representationerna för att erhålla en handling av H på L 2 (G) som kombinerar G -rörelser och fasmultiplikation.

Detta leder till Poincare-gruppens verkan på utrymmet av kvadratintegrerbara funktioner definierade på hyperytan G i Minkowski-rummet. De kan ses som mått definierade i Minkowski-rymden som är centrerade på en uppsättning N definierad som:

{\displaystyle E^{2}-P_{1}^{2}-P_{2}^{2}-P_{3}^{2}=m^{2))

E\equiv P_{0}>0.

Fouriertransformen (för alla fyra variablerna) för domäner med positiv energi ger lösningar av Klein-Gordons ekvation med finit energi, definierad på Minkowski-rummet, nämligen:

{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\nabla ^{2}\psi +m^{2}\psi =0,

i det rationella enhetssystemet . Således realiseras den irreducerbara representationen av Poincare-gruppen m > 0, s = 0 genom dess verkan på det lämpliga utrymmet av lösningar av den linjära vågekvationen.

Teorin om projektiva representationer

Oreducerbara "projektiva" enhetliga representationer av Poincare-gruppen spelar en viktig roll i teoretisk fysik . I kvantfältteorin representerar två vektorer i ett kvant-Hilbert-rum som skiljer sig åt i multiplikation med en konstant samma fysiska tillstånd. Som ett resultat har två enhetsoperatorer, som endast skiljer sig åt med en faktor, samma effekt på fysiska tillstånd. Därför definieras de enhetliga operatorerna som representerar Poincaré-symmetrin endast upp till en konstant, och deras gruppsammansättning måste skilja sig endast med en konstant.

Enligt Bargmanns teorem har varje projektiv enhetsrepresentation av en Poincaré-grupp den vanliga enhetsrepresentationen av dess universella hölje, som är ett dubbelt hölje. (Bargmans teorem gäller eftersom Poincaré-gruppens dubbla hölje inte tillåter icke-triviala endimensionella centrala förlängningar .

Övergången till dubbeltäckning är viktig eftersom den tillåter fall av spin och ett halvt udda heltal. Till exempel, i fallet med positiv massa, är den lilla gruppen SU(2) och inte SO(3); SU(2)-representationer inkluderar då både heltals- och halvheltalsspinnfall.

Ytterligare information

Denna klassificering utesluter tachyonlösningar , lösningar utan fast massa, infrapartiklar utan fast massa, etc. Sådana lösningar har fysisk betydelse när man betraktar virtuella tillstånd. Ett välkänt exempel är fallet med djup oelastisk spridning , där en kolliderande lepton och hadron byter ut en virtuell rumslig foton med varandra . Dessa fysiskt viktiga situationer motiverar introduktionen av begreppen transversellt och longitudinellt polariserade fotoner, såväl som det relaterade konceptet för transversella och longitudinella strukturfunktioner, i den matematiska modelleringen av dessa virtuella tillstånd som ett sätt att studera det interna kvark- och gluoninnehållet i hadroner. Ur en matematisk synvinkel betraktas gruppen SO(2,1) istället för den vanliga gruppen SO(3) som förekommer i det vanliga massiva fallet ovan. Detta förklarar uppkomsten av två tvärgående polarisationsvektorer och , som uppfyller och , för jämförelse med det vanliga fallet med en fri boson , som har tre polarisationsvektorer , som var och en uppfyller . ${\displaystyle \epsilon _{T}^{\lambda =1,2))$ $\epsilon_{L}$ $\epsilon _{T}^{2}=-1$ $\epsilon _{L}^{2}=+1$ $Z_0$ ${\displaystyle \epsilon _{T}^{\lambda =1,2,3))$ $\epsilon _{T}^{2}=-1$

Se även

Induced View
Representationsteori för diffeomorfismgrupper
Representationsteori för den galileiska gruppen
Representationsteori för Poincaré-gruppen
Imprimitivitetssystem
Pauli–Lubansky pseudovector

Anteckningar

↑ Bogolyubov, 1969 , sid. 111.

Länkar

Bargmann, V .; Wigner, E.P. (1948). "Gruppteoretisk diskussion om relativistiska vågekvationer" . Proc. Natl. Acad. sci. USA 34 (5): 211&ndash, 23. Bibcode : 1948PNAS...34..211B . DOI : 10.1073/pnas.34.5.211 . PMC 1079095 . PMID 16578292 .
Mackey, George. Enhetsgruppsrepresentationer i fysik, sannolikhet och talteori. - The Benjamin/Cummings Publishing Company , 1978. - Vol. 55. - ISBN 978-0805367034 . .
Sternberg, Shlomo. Gruppteori och fysik . - Cambridge University Press , 1994. - ISBN 978-0521248709 .
Tung, Wu Ki. Gruppteori i fysik. - World Scientific Publishing Company , 1985. - ISBN 978-9971966577 .
Weinberg, S (2002), The Quantum Theory of Fields, vol I , Cambridge University Press, Kapitel 2 (Relativistisk kvantmekanik) , ISBN 0-521-55001-7 , < https://archive.org/details/quantumtheoryoff00stev/ sida/ >
Wigner, E.P. (1939), Om enhetliga representationer av den inhomogena Lorentz-gruppen , Annals of Mathematics vol. 40 (1): 149–204 , DOI 10.2307/1968551

Litteratur

Bogolyubov N. N. , Logunov A. A. , Todorov, I. T. Grunderna i den axiomatiska metoden i kvantfältteori. — M .: Nauka , 1969. — 424 sid.