Hyperboloid modell

Hyperboloidmodellen , även känd som Minkowski-modellen eller Lorentz-modellen ( Herman Minkowski , Hendrik Lorentz ), är en modell av n - dimensionell Lobachevsky-geometri , där varje punkt representeras av en punkt på den övre ytan av en två-ark hyperboloid i ( n +1)-dimensionell Minkowski-rymd och m -plan representeras av skärningspunkten mellan ( m +1)-plan i Minkowski-rymden med S + . Den hyperboliska distansfunktionen i denna modell uppfyller ett enkelt uttryck. Hyperboloidmodellen av ett n - dimensionellt hyperboliskt utrymme är nära besläktat med Beltrami-Klein- modellen och Poincaré-diskmodellen , eftersom de är projektiva modeller i den meningen att gruppen av rörelser är en undergrupp av den projektiva gruppen . $S^{+}$

Minkowskis kvadratiska form

Om det finns vektorer i ( n + 1) -dimensionellt koordinatrum , definieras Minkowskis kvadratiska form som $(x_{0},x_{1},\dots,x_{n})$ $\R^{n+1}$

Q(x_{0},x_{1},\ldots ,x_{n})=x_{0}^{2}-x_{1}^{2}-\ldots -x_{n}^ {2}.

Vektorer , så att , bildar en n - dimensionell hyperboloid S , bestående av två sammankopplade komponenter , eller ark — toppen eller framtida, ark , där och botten, eller tidigare, ark , där . Punkterna i den n -dimensionella hyperboloidmodellen är punkterna på det framtida arket . $v\in \mathbb {R} ^{n+1}$ $Q(v)=1$ $S^{+}$ $x_{0}>0$ $S^{-}$ $x_{0}<0$ $S^{+}$

Den bilinjära Minkowskiformen B är polariseringen av den kvadratiska Minkowskiformen Q ,

B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=(Q(\mathbf {u} +\mathbf {v} )-Q(\mathbf {u} )-Q(\mathbf {v} ))/2.

Eller uttryckligen

B((x_{0},x_{1},\ldots,x_{n}),(y_{0},y_{1},\ldots,y_{n}))=x_{0} y_{0}-x_{1}y_{1}-\ldots -x_{n}y_{n}.

Det hyperboliska avståndet mellan två punkter u och v i rymden ges av , $S^{+}$ $d(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\operatörsnamn {\mathrm {arch} } (B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} ))$

där båge är den omvända funktionen av hyperbolisk cosinus .

Direkt

En rät linje i hyperboliskt n - rymden modelleras av en geodetisk på en hyperboloid. En geodetisk på en hyperboloid är en (icke-tom) skärning med ett tvådimensionellt linjärt delrum (inklusive origo) för det n +1-dimensionella Minkowskirymden. Om vi tar som u och v basvektorerna för ett linjärt delrum med

B(\mathbf {u} ,\mathbf {u} )=1

B(\mathbf {v} ,\mathbf {v} )=-1

B(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=B(\mathbf {v} ,\mathbf {u} )=0

och använd sedan w som parameter för punkter på geodetiken

\mathbf {u} \,\mathrm {ch} \,w+\mathbf {v} \,\mathrm {sh} \,w

kommer att vara en punkt på geodetiken [1] .

Mer generellt kommer ett k -dimensionellt "plan" i ett hyperboliskt n -rum att modelleras av den (icke-tomma) skärningen av hyperboloiden med det k +1-dimensionella linjära underrummet (inklusive ursprunget) av Minkowski-rummet.

Rörelser

Den obestämda ortogonala gruppen O(1, n ), även kallad den ( n +1)-dimensionella Lorentz-gruppen , är Lie-gruppen av reella ( n +1) ×( n +1) matriser som bevarar Minkowskis bilinjära form. Med andra ord är det gruppen av linjära rörelser i Minkowski-rummet . I synnerhet bevarar denna grupp hyperboloiden S. Kom ihåg att obestämda ortogonala grupper har fyra sammankopplade komponenter som motsvarar inversion eller orienteringsbevarande på varje delrum (här, 1-dimensionell och n - dimensionell), och bildar de fyra Klein-gruppen . Undergruppen O(1, n ) som bevarar tecknet för den första koordinaten är den ortokroniska Lorentz-gruppen , betecknad O + (1, n ), och har två komponenter som motsvarar att bevara eller vända orienteringen av underrummet. Dess undergrupp SO + (1, n ), bestående av matriser med determinant ett, är en sammankopplad Lie-grupp med dimensionen n ( n + 1)/2, som verkar på S + genom linjära automorfismer och bevarar hyperboliskt avstånd. Denna åtgärd är transitiv och är stabilisatorn för vektorn (1,0,...,0) som består av matriser av formen

{\begin{pmatrix}1&0&\ldots &0\\0&&&\\\vdots &&A&\\0&&&\\\end{pmatrix))

där tillhör den kompakta speciella ortogonala gruppen SO( n ) (generaliserar rotationsgruppen SO(3) för n = 3 ). Det följer att ett n - dimensionellt hyperboliskt utrymme kan representeras som ett homogent utrymme och ett Riemannskt symmetriskt utrymme av rang 1, $A$

\mathbb {H} ^{n}=\mathrm {SO} ^{+}(1,n)/\mathrm {SO} (n).

Gruppen SO + (1, n ) är hela gruppen av orienteringsbevarande rörelser i ett n - dimensionellt hyperboliskt rum.

Historik

I flera tidningar mellan 1878 och 1885 använde Wilhelm Killing [2] [3] [4] representationen av Lobachevskys geometri , som han tillskriver Karl Weierstrass . I synnerhet diskuterar han kvadratiska former som eller för godtyckliga dimensioner , där är det dubbla måttet på krökning, betyder euklidisk geometri , elliptisk geometri och betyder hyperbolisk geometri. För detaljer, se Historia om Lorentz-transformationer, avsnittet "Killing" . ${\displaystyle k^{2}t^{2}+u^{2}+v^{2}+w^{2}=k^{2))$ $k^{2}x_{0}^{2}+x_{1}^{2}+\dots +x_{n}^{2}=k^{2}$ $k$ $k^{2}=\infty$ $k^{2}>0$ $k^{2}<0$

Enligt Jeremy Gray (1986) [5] använde Poincaré hyperboloidmodellen i sina personliga anteckningar 1880. Poincaré publicerade sina resultat 1881 där han diskuterar invariansen av den kvadratiska formen [6] . Gray visar var hyperboloidmodellen uttryckligen nämns i Poincarés senare arbete [7] . För detaljer, se Historia om Lorentz-transformationer, avsnitt "Poincaré" . $\xi ^{2}+\eta ^{2}-\zeta ^{2}=-1$

Också Homersham Cox 1882 [8] [9] använde Weierstrass-koordinater (utan att använda detta namn) som tillfredsställer relationen , såväl som relationen . För detaljer, se Historia om Lorentz-transformationer, avsnittet "Cox" . $z^{2}-x^{2}-y^{2}=1$ $w^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=1$

Modellen användes vidare av Alfred Clebsch och Ferdinand von Lindemann 1891 när de diskuterade relationerna och [10] . För detaljer, se Historia om Lorentz-transformationer, avsnittet "Linderman" . $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}-4k^{2}x_{3}^{2}=-4k^{2}$ $x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}-4k^{2}x_{4}^{2}=-4k^{2}$

Weierstrass-koordinater användes också av Gerard (1892), Hausdorff (1899), Woods (1903) och Liebman (1905) .

Senare (1885) hävdade Killing att Weierstrass-koordinatfrasen motsvarar elementen i hyperboloidmodellen enligt följande: givet punktprodukten på , är Weierstrass-koordinaterna för punkten $\langle \cdot ,\cdot \rangle$ $\mathbb{R}^n$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n))$

(x,{\sqrt {1+\langle x,x\rangle )))\in \mathbb {R} ^{n+1},

vad kan jämföras med uttrycket

{\displaystyle (x,{\sqrt {1-\langle x,x\rangle )))\in \mathbb {R} ^{n+1))

för hemisfärmodellen [11] .

Som ett metriskt utrymme ansågs hyperboloiden av Alexander Macfarlane i hans bok Papers in Space Analysis (1894). Han märkte att punkter på en hyperboloid kan skrivas som

\mathrm {sh} \,A+\alpha \,\mathrm {sh} \,A,

där α är en basvektor ortogonal mot hyperboloidens axel. Till exempel fick han den hyperboliska lagen för cosinus genom att använda fysikens algebra [1] .

H. Jensen fokuserade på hyperboloidmodellen i 1909 års uppsats "Representation of hyperbolic geometry on a two-sheeted hyperboloid" [12] . 1993 beskrev W. F. Reynolds modellens tidiga historia i en artikel publicerad i American Mathematical Monthly [13] .

Eftersom den var en allmänt accepterad modell på 1900-talet identifierades den med Geschwindigkeitsvectoren (tyska, hastighetsvektorer) av Hermann Minkowski i Minkowski-rymden . Scott Walther nämner i sin uppsats från 1999 "Non-Euclidean Style of Special Relativity" [14] Minkowskis medvetenhet, men spårar ursprunget till modellen till Helmholtz snarare än Weierstrass eller Killing.

Under de första åren användes den relativistiska hyperboloidmodellen av Vladimir Varichak för att förklara hastighetens fysik. I sin rapport till German Mathematical Society 1912 hänvisade han till Weierstrass-koordinaterna [15] .

Se även

Konform euklidisk modell
Hyperboliska quaternioner

Anteckningar

↑ 12 Macfarlane , 1894 .
↑ Död, 1878 , sid. 72-83.
↑ Död, 1880 , sid. 265-287.
↑ Död, 1885 .
↑ Gray, 1986 , sid. 271-2.
↑ Poincare, 1881 , sid. 132-138.
↑ Poincare, 1887 , sid. 71-91.
↑ Cox, 1881 , sid. 178-192.
↑ Cox, 1882 , sid. 193-215.
↑ Lindemann, 1891 , sid. 524.
↑ Deza E., Deza M., 2006 .
↑ Jansen, 1909 , sid. 409-440.
↑ Reynolds, 1993 , sid. 442-55.
↑ Scott, 1999 , sid. 91–127.
↑ Varićak, 1912 , sid. 103–127.

Litteratur

Killing W. Ueber zwei Raumformen mit constanter positiver Krümmung (tyska) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1878. - Bd. 86 . - S. 72-83 .
Killing W. Die Rechnung in den Nicht-Euklidischen Raumformen (tyska) // Journal für die reine und angewandte Mathematik. - 1880. - Bd. 89 . — S. 265-287 .
Killing W. Die nicht-euklidischen Raumformen (tyska) . — 1885.

Jeremy Grey. Linjära differentialekvationer och gruppteori från Riemann till Poincaré . - 1986. - S. 271-2.
Poincaré H. Sur les applications de la géométrie non-euclidienne à la théorie des formes quadratiques (franska) // Association française pour l'avancement des sciences. - 1881. - Vol. 10 . - S. 132-138 .
Poincaré H. Om geometrins grundläggande hypoteser // Samlade verk (engelska) . - 1887. - Vol. 11. - S. 71-91.
Cox H. Homogena koordinater i imaginär geometri och deras tillämpning på kraftsystem (engelska) // The quarterly journal of pure and applyed mathematics. - 1881. - Vol. 18 , iss. 70 . — S. 178-192 .
Cox H. Homogena koordinater i imaginär geometri och deras tillämpning på kraftsystem (forts . ) // The quarterly journal of pure and applyed mathematics. - 1882. - Vol. 18 , iss. 71 . — S. 193-215 .
Lindemann F. Vorlesungen über Geometrie von Clebsch II (tyska) . - Leipzig, 1891. - S. 524.
Elena Deza, Michel Deza . Dictionary of Distances . – 2006.
Jansen H. Abbildung hyperbolische Geometrie auf ein zweischaliges Hyperboloid (tyska) // Mitt. Matematik. Gesellsch Hamburg. - 1909. - H. 4 . — S. 409-440 .
Alexander Macfarlane . Uppsatser om rymdanalys . — New York: B. Westerman, 1894.
Alekseevskij DV, Vinberg EB, Solodovnikov AS Geometry of Spaces of Constant Curvature (engelska) . - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1993. - (Encyclopaedia of Mathematical Sciences). — ISBN 3-540-52000-7 .
James Andersson. Hyperbolisk geometri . — 2:a. - Berlin, New York: Springer-Verlag , 2005. - (Springer Undergraduate Mathematics Series). — ISBN 978-1-85233-934-0 .
John G. Ratcliffe. Kapitel 3 // Grunderna för hyperboliska grenrör . - Berlin, New York: Springer-Verlag , 1994. - ISBN 978-0-387-94348-0 .
Miles Reid , Balazs Szendroi. Geometri och topologi . - Cambridge University Press , 2005. - P. Figur 3.10, s 45. - ISBN 0-521-61325-6 .
Patrick J. Ryan. Euklidisk och icke-euklidisk geometri: ett analytiskt tillvägagångssätt . - Cambridge, London, New York, New Rochelle, Melbourne, Sydney: Cambridge University Press , 1986. - ISBN 0-521-25654-2 .
William F. Reynolds. Hyperbolisk geometri på en hyperboloid // American Mathematical Monthly . - 1993. - Iss. 100 . - S. 442-55 .
Scott Walter. Den icke-euklidiska stilen av minkowskisk relativitet // Det symboliska universum: Geometry and Physics (engelska) / J. Gray. - Oxford University Press, 1999. - S. 91-127.
Varićak V. Om den icke-euklidiska tolkningen av relativitetsteorin (engelska) // Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung. - 1912. - Vol. 21 . — S. 103–127 .