CW-komplex

CW-komplex är en typ av topologiskt utrymme med ytterligare struktur (celldelning), introducerad av Whitehead för att tillfredsställa behoven hos homotopi-teorin . I litteraturen på ryska används även namnen cellulärt utrymme , celldelning och cellulärt komplex . Klassen av cellkomplex är bredare än klassen av enkla komplex , men behåller samtidigt den kombinatoriska karaktären, vilket möjliggör effektiva beräkningar.

Definitioner

En öppen n -dimensionell cell är ett topologiskt rymd som är homeomorft till en öppen n -dimensionell boll (i synnerhet är en nolldimensionell cell ett singleton -rum ). Ett CW-komplex är ett Hausdorff-topologiskt utrymme X representerat som en förening av öppna celler på ett sådant sätt att det för varje öppen n -dimensionell cell finns en kontinuerlig mappning f från en sluten n -dimensionell boll till X vars begränsning till det inre av bollen är en homeomorfism till denna cell ( karakteristisk kartläggning ). I detta fall antas två egenskaper vara uppfyllda:

(C) Gränsen för varje cell ingår i föreningen av ett ändligt antal celler med mindre dimensioner;
(W) En delmängd av X är stängd om och endast om dess skärning med stängningen av varje cell är stängd.

Beteckningarna C och W kommer från de engelska orden closure-finiteness och weak topology . [1] [2]

Dimensionen av ett cellkomplex definieras som den övre gränsen för dimensionerna för dess celler. Den n:e ryggraden i ett cellkomplex är föreningen av alla dess celler vars dimension inte överstiger n , standardnotationen för n :te ryggraden i ett cellkomplex X är Xn eller sk n X . En delmängd av ett cellkomplex kallas ett subkomplex om det är stängt och består av hela celler; I synnerhet är varje skelett av ett komplex dess subkomplex.

Alla CW-komplex kan konstrueras induktivt med följande procedur: [3]

vi börjar med en diskret uppsättning , vars punkter anses vara nolldimensionella celler; $X^{0}$
genom induktion bildar vi det n -te spännande trädet från det ( n − 1)-th genom att limma n -dimensionella celler till det med hjälp av godtyckliga kontinuerliga avbildningar . $\varphi _{\alpha }:S^{{n-1}}\to X^{{n-1}}.$ $X^n$ $X^{{n-1}}$ $D_{\alpha }$ $x\sim \varphi _{\alpha }(x),$ $x\in \partial D_{\alpha }.$
Det är möjligt att avsluta den induktiva processen i ett sista steg genom att ställa in eller fortsätta den på obestämd tid genom att ställa in [4] . Topologin för den direkta gränsen sammanfaller med den svaga topologin: en delmängd stängs om och endast om dess skärning med varje $X=X^{n},$ $X=\varinjlim X_{i}$ $\varinjlim X_{i}$ $X_{i}.$

Exempel

Utrymmet är homotopiskt ekvivalent med ett CW-komplex (eftersom det är sammandragbart ), men det är omöjligt att introducera strukturen för ett CW-komplex på det (eftersom alla CW-komplex är lokalt sammandragbara ). $\{re^{{2\pi i\theta }}:0\leq r\leq 1,\theta \in {\mathbb Q}\}\subset {\mathbb C}$
Hawaiiörhänget är ett exempel på ett topologiskt utrymme som inte är homotopiskt likvärdigt med något CW-komplex.
Vilken polyeder som helst är naturligt utrustad med strukturen av ett CW-komplex, och en graf är utrustad med ett endimensionellt CW-komplex.
En n -dimensionell sfär tillåter en cellulär struktur med en nolldimensionell cell och en n -dimensionell cell (eftersom en n -dimensionell sfär är homeomorf till kvotutrymmet för en n -dimensionell boll längs dess gräns). En annan cellpartition utnyttjar det faktum att "ekvatorns" inbäddning delar upp sfären i två n -dimensionella celler (övre och nedre halvklot). Genom induktion gör detta att man kan erhålla en cellpartition av en n - dimensionell sfär med två celler i varje dimension från 0 till n , och genom att tillämpa den direkta gränskonstruktionen kan man erhålla en cellpartition av en sfär . $S^{{n-1}}\till S^{n}$ $S^{\infty }$
Det verkliga projektiva utrymmet tillåter en cellulär struktur med en cell i varje dimension och med en cell i varje jämn dimension. ${\mathbb {RP}}^{n}$ ${\mathbb {CP}}^{n}$
Grassmannian tillåter en uppdelning i celler som kallas Schubert-celler .
För varje kompakt slät grenrör kan man konstruera ett CW-komplex som är homotopiskt likvärdigt med det (till exempel genom att använda Morse-funktionen ).

Cellhomologi

De singulära homologierna för CW-komplexet kan beräknas med användning av de cellulära homologierna , dvs homologierna för det cellulära kedjekomplexet

\cdots \to {H_{{n+1}}}(X^{{n+1}},X^{{n}})\to {H_{{n}}}(X^{{n} },X^{{n-1}})\till {H_{{n-1}}}(X^{{n-1}},X^{{n-2}})\till \cdots ,

där definieras som den tomma uppsättningen. $X^{{-1}}$

Gruppen är en fri abelsk grupp vars generatorer kan identifieras med de orienterade n -dimensionella cellerna i CW-komplexet. Gränskartläggningar är konstruerade enligt följande. Låta vara en godtycklig n -dimensionell cell , begränsningen av dess karakteristiska karta till gränsen, och låt vara en godtycklig ( n − 1)-dimensionell cell. Tänk på sammansättning ${H_{{n}}}(X^{{n}},X^{{n-1}})$ $e_{{n}}^{{\alpha }}$ $x,$ $\chi _{{n}}^{{\alpha }}:\partial e_{{n}}^({\alpha }}\cong S^{{n-1}}\to X^{{n- ett}}$ $e_{{n-1}}^{{\beta }}$

\chi _{{n}}^{{\alpha \beta }}:S^{{n-1}}\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,\partial e_{{n} }^{{\alpha }}\,{\stackrel {\chi _{{n}}^({\alpha }}}{\longrightarrow }}\,X^{{n-1}}\,{\ stackrel {q}{\longrightarrow }}\,X^{{n-1}}/\left(X^{{n-1}}\setminus e_{{n-1}}^{{\beta }} \right)\,{\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\,S^{{n-1)),

där den första mappningen identifierar sig med mappningsfaktoriseringen , och den sista mappningen identifierar sig med att använda den karakteristiska mappningen av cellen . Sedan gränskartan $S^{{n-1}}$ $\partial e_{n}^{\alpha },$ $q$ $X^{{n-1}}/\left(X^{{n-1}}\setminus e_{{n-1}}^{{\beta }}\right)$ $S^{{n-1}}$ $e_{{n-1}}^{{\beta }}$

d_{{n}}:{H_{{n}}}(X_{{n}},X_{{n-1}})\till {H_{{n-1}}}(X_{{n- 1}},X_{{n-2}})

ges av formeln

{d_{{n}}}(e_{{n}}^({\alpha }})=\summa _{{\beta }}\deg \left(\chi _{{n}}^{{\ alpha \beta }}\right)e_{{n-1}}^{{\beta }},

var är graden av mappning och summan tas över alla ( n − 1)-dimensionella celler . $\deg \left(\chi _{{n}}^{{\alpha \beta }}\right)$ $\chi _{{n}}^{{\alpha \beta }}$ $X$

I synnerhet, om det inte finns två celler i cellkomplexet vars dimensioner skiljer sig åt med en, försvinner alla gränsavbildningar och homologigrupperna är fria. Till exempel för jämnt och noll för udda. ${H_{{n))}({\mathbb {CP}}^{n},{\mathbb Z})={\mathbb Z}$ $n$

Egenskaper

Homotopikategorin av CW-komplex, enligt vissa experter, är det bästa alternativet för att konstruera en homotopi-teori. [5] En av de "bra" egenskaperna hos CW-komplex är Whiteheads teorem ( en svag homotopi-ekvivalens mellan CW-komplex är en homotopi-ekvivalens). För vilket topologiskt utrymme som helst finns det ett svagt homotopiskt ekvivalent CW-komplex. [6] Ett annat användbart resultat är att representerbara funktorer i homotopikategorin av CW-komplex har en enkel karakterisering i kategoriska termer ( Browns representabilitetssats ). En cylinder, en kon och en överbyggnad över ett CW-komplex har en naturlig cellstruktur.

Å andra sidan är en produkt av CW-komplex med en naturlig beläggning i celler inte alltid ett CW-komplex - produktens topologi kanske inte sammanfaller med den svaga topologin om båda komplexen inte är lokalt kompakta. Topologin för en produkt i kategorin kompakt genererade utrymmen sammanfaller dock med den svaga topologin och definierar alltid ett CW-komplex [7] . Funktionsutrymmet Hom ( X , Y ) med den kompakta öppna topologin är generellt sett inte ett CW-komplex, men enligt John Milnors teorem [8] är det homotopi ekvivalent med ett CW-komplex under villkoret att X är kompakt .

En täckning av ett CW-komplex X kan förses med strukturen av ett CW-komplex på ett sådant sätt att dess celler mappas homeomorft på cellerna i X .

Finita CW-komplex (komplex med ett ändligt antal celler) är kompakta. Varje kompakt delmängd av ett CW-komplex ingår i ett ändligt delkomplex.

Anteckningar

↑ Whitehead, 1949 , sid. 214.
↑ Fomenko, Fuchs, 1989 , sid. 35.
↑ Hatcher, 2011 , sid. fjorton.
↑ Se artikeln direkt gräns .
↑ Se till exempel D. O. Baladze . Cellpartition - artikel från Mathematical Encyclopedia.
↑ Hatcher, 2011 , sid. 445-446.
↑ Martin Arkowitz. Introduktion till Homotopi teori . - Springer, 2011. - S. 302 . — ISBN 9781441973290 .
↑ Milnor, John. På utrymmen som har homotopitypen av ett CW-komplex // Trans. amer. Matematik. Soc.. - 1959. - T. 90 . — S. 272–280 .

Litteratur

JHC Whitehead. kombinatorisk homotopi. I. // Bull. amer. Matematik. Soc.. - 1949. - Vol. 55.—S. 213–245.
JHC Whitehead. kombinatorisk homotopi. II. // Tjur. amer. Matematik. Soc.. - 1949. - Vol. 55.—S. 453–496.
Hatcher, A. Algebraisk topologi / Per. från engelska. V.V. Prasolova, red. T. E. Panova. - M. : MTSNMO, 2011. - 688 sid. — ISBN 978-5-94057-748-5 .
A.T. Fomenko, D.B. Fuks. Homotopi topologi kurs. - M. : Nauka, 1989. - 528 sid.