Gruppuppgift

Att specificera en grupp i gruppteorin är en av metoderna för att definiera en grupp genom att specificera en genereringsmängd och en uppsättning relationer mellan generatorer . I det här fallet sägs gruppen ha en uppgift . $S$ $R$ $G$ $\langle S\mid R\rangle$

Informellt har den en sådan uppgift om den är "den mest fria " av alla grupper som genereras och är föremål för relationer mellan element från . Mer formellt är gruppen isomorf till faktorgruppen i den fria gruppen som genereras av den normala stängningen av uppsättningen av relationer . $G$ $S$ $S$ $R$ $G$ $S$ $R$

Varje grupp har en uppgift och dessutom många olika uppgifter; uppdrag är ofta det mest kompakta sättet att definiera en grupp.

Gruppuppgifter studeras av en speciell gren av gruppteori - kombinatorisk gruppteori .

Det enklaste exemplet på att ange en grupp är att ange en cyklisk ordningsgrupp : $n$

\langle a\mid a^{n}\rangle .

Detta innebär att vilket element som helst i gruppen kan skrivas som en examen och är ett neutralt element i gruppen. $a$ ${\displaystyle a^{n))$

Relaterade definitioner

En ändligt given grupp (eller en ändligt definierad grupp ) är en grupp som har ett ändligt antal generatorer och definieras i dessa generatorer av ett ändligt antal relationer .
En ändligt genererad grupp är en grupp som har ett ändligt antal generatorer . Varje ändligt given grupp genereras ändligt.
Minsta kardinalitet för uppsättningen generatorer kallas gruppens rang . $S$
- $sid$ En grupps -rang är den högsta rangen av dess undergrupp, som är en
-primär abelisk grupp . $sid$

Terminologi

Termen " uppgift " är inte helt vanlig. Vissa böcker använder [1] [2] termen " grupp (genetisk) kod ". Du kan också möta begreppet " grupprepresentation " i den mening som diskuteras här [3] [4] [5] , det kan betraktas som en översättning av engelskan. grupppresentation är dock tvetydig, eftersom termen grupprepresentation används flitigt för de så kallade linjära representationerna av grupper - de senare har ingenting med uppgiften att göra och är dessutom i någon mening motsatsen till den.

Med det sistnämnda i åtanke kallas uppdraget ibland även för en " presentation ". Mer exakt kan den ovan nämnda isomorfismen av kvotgruppen av en fri grupp in i den grupp som avses kallas en presentation . Prefixet "ko-" indikerar dualiteten av denna isomorfism med avseende på representationen av gruppen, "när, tvärtom, homomorfismen är konstruerad inte "till" G, utan "från" G till någon [välstuderad] grupp av linjära operatorer, permutationer etc. » [6] . $G$

Egenskaper

Det finns ett teorem att en godtycklig grupp är en faktorgrupp av en lämplig fri grupp med avseende på någon normal undergrupp , så att vilken grupp som helst har en uppgift. Uppgiften behöver inte vara den enda. Det är svårt att bevisa eller motbevisa att två uppgifter definierar samma grupp (det gamla problemnamnet är ett av Dans problem). I allmänhet är detta problem algoritmiskt oavgörbart . Det finns flera klasser av grupper för vilka en algoritm för att lösa detta problem har konstruerats. Tietze-transformationer av fyra typer låter dig gå från en uppgift i gruppen till en annan: den första Tietze-transformationen är tillägget av en ny relation som härrör från de gamla till uppsättningen av relationer; den andra Tietze-transformationen är införandet av en ny variabel uttryckt i termer av de gamla; den tredje och fjärde Tietze-transformationen är omvänd till den första respektive andra. Med tanke på problemets algoritmiska olöslighet är det en sorts konst att hitta en kedja av Tietze-transformationer från en representation till en annan.

Med tanke på en grupp är det också svårt att bestämma andra egenskaper hos gruppen, såsom dess ordning eller torsionsundergrupp .

Exempel

Följande tabell listar sätt att ange några vanligt förekommande grupper. I varje fall finns det andra möjliga uppgifter.

Grupp	Träning	Förklaringar
Gratis grupp på S	$\langle S\mid \varnothing \rangle$	En fri grupp är "fri" i den meningen att den inte är begränsad av någon relation.
Z n är en cyklisk grupp av ordningen n	$\langle a\mid a^{n}\rangle$
D n är den dihedriska gruppen av ordningen 2 n	$\langle r,s\mid r^{n}=1,s^{2}=1,s^{-1}rs=r^{-1}\rangle$ eller $\langle x,y\mid x^{n}=y^{2}=(xy)^{2}=1\rangle$	r står för rotation, s för symmetri
D ∞ är en oändlig dihedrisk grupp	$\langle r,s\mid s^{2},(rs)^{2}\rangle$
Kvaternion grupp Q 8	$\langle -1,i,j,k\mid (-1)^{2}=1,\;i^{2}=j^{2}=k^{2}=ijk=-1 \rangle$ eller $\langle x,y\mid x^{4}=1,x^{2}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1}\rangle$
Generaliserad quaternion grupp Q 4 n	$\langle x,y\mid x^{2n}=y^{4}=1,x^{n}=y^{2},y^{-1}xy=x^{-1} \rangle .$
gratis abelian grupp på S	$\langle S\mid R\rangle$	R är mängden av alla kommutatorer av element S
Symmetrisk grupp S n	$\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}\|\sigma _{i}^{2},\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i}=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\ sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if}}\ \|ij\|>1\rangle$ eller $\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}\|\sigma _{i}^{2},(\sigma _{i}\ sigma _{i+1})^{3},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i}\ {\text{if))\ \|ij\| >1\rangle$	σ i är en transposition som byter ut det i -te elementet med i + 1:a.
Flätgrupp B n	$\langle \sigma _{1},\sigma _{2},\dots ,\sigma _{n-1}\|\sigma _{i}\sigma _{i+1}\sigma _{i }=\sigma _{i+1}\sigma _{i}\sigma _{i+1},\sigma _{i}\sigma _{j}=\sigma _{j}\sigma _{i} \ {\text{if}}\ \|ij\|>1\rangle$	Den enda skillnaden från den symmetriska gruppen är att relationerna försvinner . $\sigma _{i}^{2}=1$
Alternerande grupp A n	$\langle s_{3},...,s_{n}\|(s_{i})^{3}=1,(s_{i}s_{j})^{2}=1(3 \leqslant i\neq j\leqslant n)\rangle$	$s_{i}\to (12i)$
Rotationsgruppen för tetraedern , T ≅ A 4	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{3}\rangle$
Oktaederrotationsgrupp , O ≅ S 4 _	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{4}\rangle$
Icosahedron rotationsgrupp , I ≅ A 5	$\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle$
Coxeter grupp	$\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\rangle$	r n är reflektioner i polyederns ytor och vid , — om ytorna inte bildar en tvåkantsvinkel i polyedern $m_{ii}=1$ $m_{ij}\geqslant 2$ $i\neq j$ $m_{ij}=\infty$
Triangelgrupp Δ( l , m , n )	$\langle a,b,c\mid a^{2}=b^{2}=c^{2}=(ab)^{l}=(bc)^{n}=(ca)^ {m}=1\range$	a , b , c - reflektioner
Z × Z	$\langle x,y\mid xy=yx\rangle$
Z / m Z × Z / n Z	$\langle x,y\mid x^{m},y^{n},xy=yx\rangle$
SL(2, Z )	$\langle a,b\mid aba=bab,(aba)^{4}\rangle$
GL(2, Z )	$\langle a,b,j\mid aba=bab,(aba)^{4},j^{2},(ja)^{2},(jb)^{2}\rangle$
Modulär grupp PSL(2, Z )	$\langle a,b\mid a^{2},b^{3}\rangle$	PSL(2, Z ) är den fria produkten av Z /2 Z och Z /3 Z
Bröstgrupp F 4 (2)	$\langle a,b\mid a^{2}=b^{3}=(ab)^{13}=[a,b]^{5}=[a,bab]^{4}= (ababababab^{-1})^{6}=1\rangle$	[ a , b ] - kommutator

Se även

fri grupp

Länkar

↑ 1.3 // Allmän algebra / Under den allmänna redaktionen av L. A. Skornyakov. - M . : Vetenskap. Ch. ed. Phys.-Matte. lit., 1990. - T. 1. - 592 sid.
↑ Kargapolov M. I., Merzlyakov Yu. I. Fundamentals of group theory. — Lan, 2009.
↑ Bogopolsky O.V. Introduktion till gruppteori. - Moskva, Izhevsk: Institutet för datorforskning, 2002.
↑ Lyndon R., Shupp P. Kombinatorisk gruppteori. — M .: Mir, 1980.
↑ Magnus W., Karras A., Solitaire D. Kombinatorisk gruppteori. Representation av grupper vad gäller generatorer och relationer. — M .: Nauka, 1974.
↑ Olshansky A. Yu § 4 // Geometri för att definiera relationer i grupper. - M . : Vetenskap. Ch. ed. Phys.-Matte. lit., 1989. - 448 sid.