Logaritmisk amplitud-fas frekvenssvar

Logaritmisk amplitud-fas frekvenssvar (vanlig förkortning - LAFCH, i utländsk litteratur kallas ofta Bode-diagrammet eller Bode-diagrammet) - en representation av frekvenssvaret för ett linjärt stationärt system på en logaritmisk skala.

Introduktion

LAFC är byggd i form av två grafer: logaritmisk amplitud-frekvensrespons och logaritmisk fas-frekvensrespons , som vanligtvis placeras under varandra.

LACHH

LAFC är beroendet av enhetens förstärkningsmodul (spänning, ström eller effekt) ( , för effekt , på frekvensen på en logaritmisk skala. $20\cdot \lg(|A_{{ut}}|/|A_{{in}}|)$ $10\cdot \lg(|P_{ut}|/|P_{in}|)$

Skala längs abskissan LACHH

Frekvensen plottas längs abskissaxeln på en logaritmisk skala, måttenheten är en dimensionslös storhet:

decade (dec): 1 decennium är lika med 10 gånger frekvensändringen.
oktav (okt): 1 oktav är lika med en frekvensändring på 2 gånger.

Skala längs y-axeln LACHH

Amplituden för utsignalen plottas längs ordinataaxeln i logaritmiska dimensionslösa kvantiteter:

decibel (dB) (en tiondel av en Bel) är förhållandet mellan makter (20 decibel är lika med 10 gånger effekten) [1] .

neper (Np): 1 neper är lika med förändringen i amplituden för signalerna i e gånger

LPCHX

LPFC är beroendet av fasskillnaden för ut- och ingångssignalerna på frekvensen på en semilogaritmisk skala

frekvensen plottas längs abskissan på en logaritmisk skala (i decennier eller oktaver)
y-axeln representerar utgångsfasen i grader eller radianer .

Napier och oktaver är nu föråldrade och knappt använda.

Skälen till att plotta amplitud- och fasegenskaperna på en logaritmisk skala är möjligheten att studera egenskaper inom ett stort område.

Asymptotisk LACH och LPCH

Egentligen används LACHH och LPCHH lite i praktiken.

För en mer visuell analys av egenskaperna används deras modifierade versioner - den asymptotiska logaritmiska amplitudfrekvenskarakteristiken (ALFC) och den asymptotiska logaritmiska fasfrekvenskarakteristiken (ALFC) , medan kurvan ersätts av segment av en streckad linje. Vanligtvis utelämnas ordet "asymptotisk", men man måste alltid komma ihåg att ALACHH (ALPHCH) och LACHH (LPCH) är olika egenskaper.

Analys av system som använder ALPFC är mycket enkel och bekväm, därför används den i stor utsträckning inom olika teknikgrenar, såsom digital signalbehandling , elektroteknik och styrteori .

Namn

I västerländsk litteratur används namnet Bode diagram eller Bode graph , uppkallat efter den framstående ingenjören Hendrik Wade Bode .

I ingenjörskretsar brukar namnet förkortas till LAH .

Programvarupaketet GNU Octave och MATLAB använder bode-funktionen för att bygga LAFC .

Användning

Egenskaper och funktioner

Om systemets överföringsfunktion är rationell , kan LAFC approximeras med raka linjer. Detta är praktiskt när man ritar LAFCH manuellt, såväl som när man kompilerar LAFCH enkla system.

Med hjälp av LAFC är det bekvämt att utföra syntesen av styrsystem , såväl som digitala och analoga filter : i enlighet med vissa kvalitetskriterier byggs den önskade LAFC, approximerad med raka linjer, som sedan delas in i LAFC av individuella elementära länkar, från vilka överföringsfunktionen för systemet ( regulator ) återställs eller filtreras.

LACHH

På LAFC-grafen är abskissan frekvensen på en logaritmisk skala, ordinatan visar amplituden för överföringsfunktionen i decibel .

Presentationen av frekvenssvaret på en logaritmisk skala förenklar konstruktionen av egenskaperna hos komplexa system, eftersom det gör det möjligt att ersätta operationen att multiplicera frekvenssvaret för länkar genom addition, vilket följer av logaritmens egenskap : . $\lg(a\cdot b)=\lg(a)+\lg(b)$

FCH

På grafen för fasfrekvenskarakteristiken är abskissan frekvensen på en logaritmisk skala, ordinatan representerar fasförskjutningen av systemets utsignal i förhållande till ingången (vanligtvis i grader ).

Det är också möjligt att fasförskjutningen på en logaritmisk skala plottas längs y-axeln, i vilket fall karakteristiken kommer att kallas LPFC.

Fall av minsta fassystem

Amplituden och fasen i systemet ändras sällan oberoende av varandra - när amplituden ändras ändras också fasen, och vice versa. För minsta fassystem kan LPFC och LAFC bestämmas unikt från varandra med hjälp av Hilbert-Warrington-transformen .

Byggnad LAFCHH

Huvudidén är baserad på följande matematiska regel för att lägga till logaritmer. Om överföringsfunktionen kan representeras som en fraktionerad rationell funktion

f(x)=A\prod (x+c_{n})^{a_{n}}

sedan:

\log(f(x))=\log(A)+\summa a_{n}log(x+c_{n})

Efter att ha delat upp överföringsfunktionen i elementära länkar är det möjligt att konstruera LAFC för varje enskild länk, och den resulterande LAFC kan erhållas genom enkel addition.

Konstruktion av en asymptotisk LAFC ( approximation av LAFC med raka linjer)

Vid konstruktion av LFR för y-axeln används vanligtvis skalan , det vill säga värdet på frekvenssvaret , lika med 100, förvandlas till 40 decibel av LFR-skalan. Om överföringsfunktionen är: $20\cdot \operatörsnamn {lg} (X)$

H(s)=A\cdot \prod {\frac {(s+x_{n})^{a_{n}}}{(s+y_{n})^{b_{n}}}}

där är en komplex variabel som kan relateras till frekvensen med hjälp av följande formella substitution: , och är konstanter, och är överföringsfunktionen. Sedan kan du bygga LACHH med följande regler:

\s

s=j\omega \

\x_{n}

\y_{n}

\H

vid varje where (noll) ökar linjens lutning med dB per decennium. $\s$ $\omega \=x_{n}$ $(20\cdot a_{n})$

vid varje where (pol) minskar linjens lutning med dB per decennium. $\s$ $\omega \=y_{n}$ $(20\cdot b_{n})$

Det initiala värdet för grafen kan hittas genom att helt enkelt ersätta det cirkulära frekvensvärdet i överföringsfunktionen. $\omega\$

Den initiala lutningen av grafen beror på antalet och ordningen av nollor och poler som är mindre än det initiala frekvensvärdet. Den kan hittas med hjälp av de två första reglerna.

I fallet med komplexa konjugerade nollor eller poler är det nödvändigt att använda andra ordningens länkar, , lutningen ändras vid en punkt omedelbart med dB per decennium. $x^{2}+ax+b$ ${\sqrt {b}}$ $(40\cdot a_{n})$

Korrigering av den approximerade LACH

För att korrigera LACH, ungefärlig med raka linjer, är det nödvändigt:

sätt en punkt vid varje noll dB ovanför linjen ( dB för två komplexa konjugerade nollor) $3\cdot a_{n}\$ $6\cdot a_{n}\$

vid varje pol sätt en punkt dB under linjen ( dB för två komplexa konjugerade poler) $3\cdot a_{n}\$ $6\cdot a_{n}\$

koppla ihop punkter smidigt med raka linjer som asymptoter

Konstruktion av en asymptotisk LPHF (approximation)

För att bygga en approximerad PFC, används överföringsfunktionen i samma form som för LAFC:

H(s)=A\prod {\frac {(s+x_{n})^{a_{n}}}{(s+y_{n})^{b_{n}}}}.

Grundprincipen för att bygga en PFC är att rita separata grafer för varje pol eller nolla och sedan lägga ihop dem. Den exakta fassvarskurvan ges av ekvationen:

\varphi =\operatörsnamn {arctg} \left({\frac {\Im (H(j\omega ))}{\Re (H(j\omega ))))\right).

För att rita ett fassvar för varje pol eller nolla, använd följande regler:

om det är positivt, starta linjen (med noll lutning) vid 0 grader, $\A$
om det är negativt, starta linjen (med noll lutning) vid 180 grader, $\A$
för noll får linjen att luta uppåt med ( för komplext konjugat) grader per decennium från $45\cdot a_{n}$ $90\cdot a_{n}$ $\omega ={\frac {x_{n}}{10)),$
för en stolpe, luta linjen nedåt med ( för komplexa konjugat) grader per decennium, med början från $45\cdot b_{n}$ $90\cdot b_{n}$ $\omega ={\frac {y_{n}}{10)),$
nollställ lutningen igen när fasen ändras med grader för en enkel nolla eller pol och med grader för en komplex konjugerad nolla eller pol, $90\cdot a_{n}$ $180\cdot a_{n}$
lägg till alla linjer och rita den resulterande.

Stabilitetsanalys enligt LAFCH

Nedan finns en tabell som innehåller överföringsfunktioner och LAFC för några typiska elementära länkar. De flesta av de linjära stationära systemen kan representeras som en koppling av sådana länkar. I tabellen - en komplex variabel. $\s$

Nej.	Länk	Transmissionsfunktion	Anteckningar
ett	proportionell	$\K$	$\K=100$
2	idealisk integrering	$\ 1/s$
3	idealisk differentiering	$\s$
fyra	aperiodisk (real integrering)	${\frac {1}{Ts+1}}$	$\T=0,01$
5	oscillerande	${\frac {1}{T^{2}s^{2}+2\;\xi \ Ts+1))$	$\T=0,01$ $\xi \ =0,1$
6	instabil aperiodisk	${\frac {1}{Ts-1}}$	$\T=0,01$ icke-minimum fas
7	första ordningens differentiator (tvingar fram första order)	$\Ts+1$	$\T=0,01$
åtta	framtvinga andra ordningen	$\T^{2}s^{2}+2\;\xi \ Ts+1$	$\T=0,01$ $\xi \ =0,1$
9	ren fördröjning	$\e^{-sT}$	$\T=0,0001$

Motivering

I hjärtat av att bestämma systemets stabilitet betraktas en modell i form av en länk som täcks av negativ feedback och möjligheten att dess inträde i självsvängningar (oscillerande stabilitetsgräns). Villkoret för självsvängningar är närvaron av positiv återkoppling, medan förstärkningen i direktkretsen måste vara åtminstone enhet. Fasen för utsignalen (beskrivs av fas-frekvenskarakteristiken) matas tillbaka genom den negativa återkopplingskretsen till ingången, medan "fasmarginal" är den ytterligare fasförskjutning som måste vara vid utgången för att få positiv återkoppling. Sändningskoefficienten i den direkta grenen beskrivs av amplitud-frekvenskarakteristiken, medan frekvensen som enhetsförstärkningen motsvarar kallas "cutoff frequency", i LAF är cutoff-frekvensen skärningspunkten mellan karakteristiken och abskissan. axel. Grafiskt definieras fasmarginalen som skillnaden mellan fasen vid π radianer (180°) och fasen vid gränsfrekvensen (positivt återkopplingstillstånd); "amplitudmarginal" är avståndet längs amplitudaxeln från gränsfrekvenspunkten till amplituden vid en vinkel av π radianer (villkoret för en enhetskoefficient i den direkta grenen).

Beräkningsalgoritm

För att bestämma stabiliteten hos ett slutet system konstrueras LAFC för ett öppet system (se fig.). Därefter måste du hitta gränsfrekvensen ω cf genom att lösa ekvationen (hädanefter , om det finns flera rötter, måste du välja den största roten), och frekvensen ω in är det maximala av de frekvenser för vilka . Därefter - stabilitetsmarginalen i amplitud, - stabilitetsmarginalen i fas. Om dessa marginaler är negativa är det slutna systemet instabilt; om det är lika med noll ligger det på stabilitetsgränsen. $A(\omega _{cp})=0$ $A(\omega )=20\lg |W(j\omega )|$ $\varphi (\omega )=-180^{\circ }$ $\Delta A=A(\omega _{B})$ $\Delta \varphi =\varphi (\omega _{cp})+180^{\circ }$

Denna algoritm är endast tillämplig på system med minsta fas . I andra fall kan stabilitetskriterierna Nyquist-Mikhailov och Routh-Hurwitz användas för att fastställa stabiliteten .

Logaritmisk amplitud-fas frekvenssvar

Introduktion

LACHH

LPCHX

Asymptotisk LACH och LPCH

Namn

Användning

Egenskaper och funktioner

Byggnad LAFCHH

Stabilitetsanalys enligt LAFCH

Motivering

Beräkningsalgoritm

Se även

Anteckningar

Länkar