E (nummer)

Irrationella tal ζ (3) - ρ - √ 2 - √ 3 - √ 5 - ln 2 - φ,Φ - ψ - α,δ - e - e π och π
Notation	Antal poäng $e$
Binär	10.101101111110000101010001011001…
Decimal	2,7182818284590452353602874713527...
Hexadecimal	2,B7E151628AED2A6A...
Sexagesimal	2; 43 05 48 52 29 48 35 …
Rationella approximationer	8/3 ; _ _ 11/4 ; _ _ 19/7 ; _ _ 87/32 ; _ _ 106/39 ; _ _ 193/71 ; _ _ 1264/465 ; _ _ 2721/1001 ; _ _ 23225 / 8544 (listad i ordning efter ökande noggrannhet)
Fortsatt bråkdel	[2; 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, …] (Detta fortsatta bråk är inte periodiskt . Skrivet i linjär notation)

2,7182818284 5904523536 0287471352 6624977572 4709369995 9574966967 6277240766 3035354759 4571382178 5251664274 2746639193 2003059921 8174135966 2904357290 0334295260 5956307381 3232862794 3490763233 8298807531 9525101901 1573834187 9307021540 8914993488 4167509244 7614606680 8226480016 8477411853 7423454424 3710753907 7744992069 5517027618 3860626133 1384583000 7520449338 2656029760 6737113200 7093287091 2744374704 7230696977 2093101416 9283681902 5515108657 4637721112 5238978442 5056953696 7707854499 6996794686 4454905987 9316368892 3009879312 7736178215 4249992295 7635148220 8269895193 6680331825 2886939849 6465105820 9392398294 8879332036 2509443117 3012381970 6841614039 7019837679 3206832823 7646480429 5311802328 7825098194 5581530175 6717361332 0698112509 9618188159 3041690351 5988885193 4580727386 6738589422 8792284998 9208680582 5749279610 4841984443 6346324496 8487560233 6248270419 7862320900 2160990235 3043699418 4914631409 3431738143 6405462531 5209618369 0888707016 76839642 43 7814059271 4563549061 3031072085 1038375051 0115747704 1718986106 8739696552 1267154688 935403

De första 1000 decimalerna av e [1]

(sekvens A001113 i OEIS )

$e$ - basen av den naturliga logaritmen , matematisk konstant , irrationellt och transcendentalt tal. Ungefär lika med 2,71828. Numret kallas ibland Euler - numret eller Napier- numret . Betecknas med liten latinsk bokstav " e ". $e$

Talet spelar en viktig roll i differential- och integralkalkylen , såväl som i många andra grenar av matematiken . $e$

Eftersom exponentialfunktionen integrerar och differentierar "in i sig själv", accepteras logaritmerna som naturliga i basen . $e^{x}$ $e$

Sätt att bestämma

Antalet kan definieras på flera sätt. $e$

Genom gränsen: $e=\lim _{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$ (andra anmärkningsvärda gränsen ). ${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!)))))$ (detta följer av De Moivre-Stirling-formeln ).
Som summan av serien : $e=\summa _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!)}}$ eller . ${\frac {1}{e}}=\sum _{n=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n!)}}$
Som det enda nummer för vilket $a$ $\int \limits _{1}^{a}{\frac {dx}{x}}=1.$
Som det enda positiva tal som är sant $a$ ${\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}.$

Egenskaper

Exponentens derivata är lika med exponenten själv: Denna egenskap spelar en viktig roll för att lösa differentialekvationer. Så, till exempel, den allmänna lösningen av en differentialekvation är funktionerna , där är en godtycklig konstant. ${\frac {de^{x}}{dx}}=e^{x}.$
${\frac {df(x)}{dx}}=f(x)$ ${\displaystyle f(x)=ce^{x))$ $c$
Siffran är irrationell . Beviset för irrationalitet är elementärt. $e$

Bevis på irrationalitet
Låt oss anta att det är rationellt. Sedan , där är ett heltal och är ett naturligt tal. $e$ $e=p/q$ $sid$ $q$ Följaktligen $p=eq$ Multiplicera båda sidor av ekvationen med , får vi $(q-1)!$ $p(q-1)!=eq!=q!\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}=\summa _{n=0}^{\infty }{q! \över n!}=\summa _{n=0}^{q}{q! \över n!}+\summa _{n=q+1}^{\infty }{q! \över n!}$ Flytta till vänster sida: $\sum _{n=0}^{q}{q! \över n!}$ $\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \över n!}=p(q-1)!-\summa _{n=0}^{q}{q! \över n!}$ Alla termer på höger sida är heltal, så summan på vänster sida är också heltal. Men denna summa är också positiv, så den är inte mindre än 1. Å andra sidan, $\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \över n!}=\summa _{m=1}^{\infty }{q! \över (q+m)!}=\summa _{m=1}^{\infty }{1 \över (q+1)...(q+m)}<\summa _{m=1} ^{\infty }{1 \över (q+1)^{m))$ När vi summerar den geometriska utvecklingen på höger sida får vi: $\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \över n!}<{1 \over q}$ Sedan , $q\geq 1$ $\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \över n!}<1$ Vi får en motsägelse.

Bevis på irrationalitet

Låt oss anta att det är rationellt. Sedan , där är ett heltal och är ett naturligt tal.

e

e=p/q

sid

q

Följaktligen

p=eq

Multiplicera båda sidor av ekvationen med , får vi $(q-1)!$

p(q-1)!=eq!=q!\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}=\summa _{n=0}^{\infty }{q! \över n!}=\summa _{n=0}^{q}{q! \över n!}+\summa _{n=q+1}^{\infty }{q! \över n!}

Flytta till vänster sida: $\sum _{n=0}^{q}{q! \över n!}$

\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \över n!}=p(q-1)!-\summa _{n=0}^{q}{q! \över n!}

Alla termer på höger sida är heltal, så summan på vänster sida är också heltal. Men denna summa är också positiv, så den är inte mindre än 1.

Å andra sidan,

\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \över n!}=\summa _{m=1}^{\infty }{q! \över (q+m)!}=\summa _{m=1}^{\infty }{1 \över (q+1)...(q+m)}<\summa _{m=1} ^{\infty }{1 \över (q+1)^{m))

När vi summerar den geometriska utvecklingen på höger sida får vi:

\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \över n!}<{1 \over q}

Sedan , $q\geq 1$

\sum _{n=q+1}^{\infty }{q! \över n!}<1

Vi får en motsägelse.

Antalet är transcendent . Detta bevisades första gången 1873 av Charles Hermite [2] . Transcendensen av ett tal följer av Lindemanns sats . $e$ $e$
Det antas att det är ett normalt tal , det vill säga frekvensen av förekomsten av olika siffror i dess post är densamma. För närvarande (2017) har denna hypotes inte bevisats. $e$
Ett tal är ett beräkningsbart (och därför också ett aritmetiskt ) tal. $e$
$e^{ix}=\cos(x)+i\cdot \sin(x)$ , se särskilt Eulers formel
- $e^{i\pi }+1=0.$
- $e=\cos(i)-i\sin(i)=\sinh(1)+\cosh(1)$
Formeln som förbinder siffrorna och , den så kallade. Poisson- integral eller Gauss-integral $e$ $\pi$ $\int \limits _{-\infty }^{\infty }\ e^{-x^{2}}{dx}={\sqrt {\pi }}$
För alla komplexa tal z gäller följande likheter: $e^{z}=\summa _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!)}}z^{n}=\lim _{n\to \infty }\left( 1 +{\frac {z}{n}}\right)^{n}.$
Talet expanderar till en oändlig fortsatt bråkdel enligt följande (ett enkelt bevis på denna expansion, relaterat till Padé approximants, ges i [3] ): $e$ $e=[2;\;1,2,1,\;1,4,1,\;1,6,1,\;1,8,1,\;1,10,1,\ldots ]$ , det är $e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{4+{ \cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1} {8+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{1+\ldots ))))))))))) } }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}$ eller i motsvarande notation: $e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {2}{3+{\cfrac {3}{4+{\cfrac {4}{\ldots } }}}}}}}}}$
För att snabbt beräkna ett stort antal tecken är det bekvämare att använda följande expansion: ${\frac {e+1}{e-1}}=2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1} {\ldots )))))))))$
$e=\lim _{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!)}}}.$
Representation av katalanska : $e=2\cdot {\sqrt {\frac {4}{3}}}\cdot {\sqrt[{4}]{\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}}\cdot {\ sqrt[{8}]{\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15))}\cdot {\sqrt[{16}]{\frac {18 \cdot 20\cdot 22\cdot 24\cdot 26\cdot 28\cdot 30\cdot 32}{17\cdot 19\cdot 21\cdot 23\cdot 25\cdot 27\cdot 29\c}}$
Representation genom arbetet : $e={\sqrt {3}}\cdot \prod \limits _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(2k+3\right)^{k+{\frac {1}{2 ))}\left(2k-1\right)^{k-{\frac {1}{2)))){\left(2k+1\right)^{2k))}$
Representation via klocknummer : $e={\frac {1}{B_{n}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k^{n}}{k!)}}$
Måttet på ett tals irrationalitet är ( vilket är det minsta möjliga värdet för irrationella tal) [4] . $e$ $2$

Historik

Detta nummer brukade ibland kallas Neperov för att hedra den skotske vetenskapsmannen Napier , författare till verket "Description of the amazing table of logarithms" ( 1614 ). Detta namn är dock inte helt korrekt, eftersom dess logaritm var lika med . $x$ $10^{7}\cdot \,\log _{1/e}\left({\frac {x}{10^{7))}\right)$

För första gången är konstanten tyst närvarande i bilagan till översättningen till engelska (från latin) av det tidigare nämnda verket av Napier, publicerat 1618 . Bakom kulisserna, eftersom den endast innehåller en tabell med naturliga logaritmer bestämt från kinematiska överväganden, är konstanten själv inte närvarande.

Det antas att den engelske matematikern Oughtred var författaren till tabellen .

Samma konstant beräknades först av den schweiziske matematikern Jacob Bernoulli i samband med att lösa problemet med ränteintäkternas gränsvärde . Han fann att om det ursprungliga beloppet och ackumulerade per år en gång i slutet av året, då det slutliga beloppet kommer att vara . Men om samma ränta beräknas två gånger om året, multipliceras den med två gånger och får . Beräkna ränta kvartalsvis resultat i , och så vidare. Bernoulli visade att om ränteberäkningsfrekvensen ökas oändligt, så har ränteinkomsten vid sammansatt ränta en gräns : , och denna gräns är lika med antalet . $\$1$ $100\%$ $\$2$ $\$1$ $1{,}5$ $\$1{,}00\cdot 1{,}5^{2}=\$2{,}25$ $\$1{,}00\cdot 1{,}25^{4}=\$2{,}44140625$ $\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$ $e~(\approx 2{,}71828)$

$\$1{,}00\cdot \left(1+{\frac {1}{12}}\right)^{12}=\$2{,}613035...$

$\$1{,}00\cdot \left(1+{\frac {1}{365}}\right)^{365}=\$2{,}714567...$

Konstanten betyder alltså maximalt möjliga årsvinst med årlig och maximal räntekapitaliseringsfrekvens [ 5] . $e$ $100\%$

Den första kända användningen av denna konstant, där den betecknades med bokstaven , förekommer i Leibniz brev till Huygens , 1690-1691 . $b$

Brevet började användas av Euler 1727 , för första gången förekommer det i ett brev från Euler till den tyske matematikern Goldbach daterat den 25 november 1731 [6] [7] , och den första publikationen med detta brev var hans verk " Mechanics, eller Science of Motion, uttalade analytiskt", 1736 . Följaktligen kallas det vanligtvis för Euler-numret . Även om några senare forskare använde brevet , har brevet använts oftare och är standardbeteckningen idag. $e$ $e$ $c$ $e$

I programmeringsspråk motsvarar symbolen i exponentiell notation talet 10, inte Eulertalet. Detta beror på historien om skapandet och användningen av FORTRAN-språket för matematiska beräkningar [8] . $e$

Mnemonic

Siffran kan komma ihåg som 2, 7 och upprepande 18, 28, 18, 28. Mnemonisk regel: två och sju, sedan två gånger Leo Tolstojs födelseår (1828), sedan vinklarna för en likbent rätvinklig triangel (45 ) , 90 och 45 grader), efter de tre första primtalen (2, 3 och 5) och antalet grader i ett helt varv (360).

En poetisk minnesbok som illustrerar en del av denna regel: "Det finns ett enkelt sätt för en utställare att komma ihåg: två och sju tiondelar, två gånger Leo Tolstoy"

En minnesdikt som låter dig komma ihåg de första 12 decimalerna (ordlängder kodar siffrorna i siffran e): Vi fladdrade och lyste, / Men fastnade i passet: / Vår stol blev inte igenkänd / Autorally .[ betydelsen av faktum? ]

Approximationer

$e\approx (1+{\frac {1}{10^{6}}})^{10^{6}}$ , med en noggrannhet på 0,000001;

I enlighet med teorin om fortsatta bråk , är de bästa rationella approximationerna av ett tal konvergenterna av expansionen av numret till en fortsatt bråkdel. $e$ $e$

Antalet 19/7 överträffar antalet med mindre än 0,004;

e

Siffran 87/32 överträffar antalet med mindre än 0,0005;

e

Antalet 193/71 överstiger antalet med mindre än 0,00003;

e

Antalet 1264/465 överträffar antalet med mindre än 0,000003;

e

Antalet 2721/1001 överträffar antalet med mindre än 0,0000002;

e

Ytarea av en fyrkantig pyramid , där sidoytorna är regelbundna trianglar med en kantlängd på 1 (noggrannhet 0,014).[ betydelsen av faktum? ]

Öppna nummer

Det är inte känt om numret är ett element i punktringen . $e$
Måttet på irrationalitet är inte känt för något av följande tal: Det är inte ens känt för något av dem om det är ett rationellt tal, ett algebraiskt irrationellt tal eller ett transcendentalt tal. Därför är det inte känt om siffrorna och är algebraiskt oberoende [9] [10] [11] [12] [13] [14] . $\pi +e,\pi -e,\pi \cdot e,{\frac {\pi }{e)),\pi ^{e},e^{\pi ^{2)),e^{e },2^{e}.$ $\pi$ $e$
Det är inte känt om det första Skewes-talet är ett heltal. $e^{e^{e^{79}}}$

Se även

Anteckningar

↑ 2 miljoner decimaler . Hämtad 17 april 2009. Arkiverad från originalet 19 januari 2011. (obestämd)
↑ Encyclopedia of Mathematics . - Moskva: Soviet Encyclopedia, 1985. - T. 5. - S. 426.
↑ William Adkins. Ett kort bevis på den enkla fortsatta bråkexpansionen av e . arXiv . arXiv (25 februari 2006). Hämtad 1 mars 2017. Arkiverad från originalet 2 mars 2017. (obestämd)
↑ Weisstein, Eric W. Mått på irrationalitet hos Wolfram MathWorld .
↑ O'Connor, JJ; Robertson, E. F. Antalet e . Mac-lärare i matematikens historia. Hämtad 23 oktober 2014. Arkiverad från originalet 11 februari 2012. (obestämd)
↑ Bokstav XV. Euler à Goldbach, daterad 25 november 1731 i: P. H. Fuss, red., Correspondance Mathématique et Physique de Quelques Célèbres Géomètres du XVIIIeme Siècle , vol. 1, (S:t Petersburg, Ryssland: 1843), s. 56-60; se sidan 58. Arkiverad 31 januari 2017 på Wayback Machine
↑ Remmert, Reinhold Teori om komplexa funktioner (neopr.) . - Springer-Verlag , 1991. - S. 136 . — ISBN 0-387-97195-5 .
↑ B. Eckel, Java Philosophy = Thinking in Java. - 4:e uppl. - St Petersburg. : Peter, 2009. - S. 84. - (Programmerarens bibliotek). — ISBN 978-5-388-00003-3 .
↑ Weisstein, Eric W. Irrationellt tal (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Weisstein, Eric W. Pi på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Sondow, Jonathan och Weisstein, Eric W. e (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ Några olösta problem i talteorin . Hämtad 8 december 2011. Arkiverad från originalet 19 juli 2010. (obestämd)
↑ Weisstein, Eric W. Transcendental nummer (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .
↑ En introduktion till irrationalitet och transcendensmetoder . Hämtad 8 december 2011. Arkiverad från originalet 17 maj 2013. (obestämd)

Länkar

Antalet e - artikel från encyklopedin "Round the World"
Gorobets B.S. Världskonstanter i fysikens och fysiologins grundläggande lagar // Science and Life . - 2004. - Nr 2 . (ryska)(en artikel med exempel på den fysiska betydelsen av konstanternaoch) $\pi$ $e$
JJ O'Connor, E.F. Robertson. Historien om numret e . MacTutor History of Mathematics arkiv . School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews, Skottland (september 2001). (obestämd) (Engelsk)
e för 2,71828... (engelska) (Jacksons historia och regel)
" Exponential Functions & Number e : Plain and Easy " Arkiverad 25 september 2015 på Wayback Machine En intuitiv guide till exponentiella funktioner & Number e | Bättre förklarad _
För ett enkelt bevis på överskridandet av talen e (på skolnivå) och π , se s. 520—535 Veber G., Velshtein I. Encyclopedia of elementary mathematics. Volym 1. Elementär algebra och analys. 1906

Ordböcker och uppslagsverk	Stor ryss runt världen
I bibliografiska kataloger	GND : 4150966-3 J9U : 987007546755505171 LCCN : sh93008168 NKC : ph114413

Siffror med egennamn

Matematiska konstanter

Algebraisk

Transcendental ,
förmodligen transcendental

Tusen grader

Gamla ryska siffror

Övriga tiopotenser

tolv makter

Annan helhet

Andra nummer

imaginär enhet

Irrationella siffror
Apéry konstant ( ζ(3) ) Erdős-Borwein konstant ( E ) Feigenbaums konstanter Sofomorisk dröm Primtalskonstant (ρ) Plastnummer (ρ) Logaritm av två (ln 2) 12:e roten av 2 ( 12 √ 2 ) Kvadratroten ur 2 ( √ 2 ) Kvadratroten ur 3 ( √ 3 ) Kvadratroten ur 5 ( √5 ) Gyllene snittet (φ) Supergyllene snitt (ψ) Silversektion ( δS ) e π Gelfond konstant ( e π ) Gelfond-Schneider konstant ( 2 √ 2 ) Invers Fibonacci-konstant (ψ)
transcendentala Trigonometrisk

Derivater av den latinska bokstaven " E, e "
Brev	Eder ē̃ è̃ Ee Ëé̈ É̤é̤ ē̃ ẽ Kk Le lu Ë̀ë̀ Ë̂ë̂ Ë̌ë̌ Ë̃ë̃ Ēē ē̃ Ē̤ē̤ Ĕĕ ĕ́ ĕ̀ ĕ̇ Ẹ̆ẹ̆ Ĕ̱ĕ̱ Ėė Ė̄ė̄ Ėʹėʹ Ė̃ė̃ Ęę Ęię Ę̀ę̀ Ę̂ę̂ Ę̌ę̌ Ę̄ę̄ Ę̄́ę̄ Ę̄̀ę̄̀ Ę̄̂ę̄̂ Ę̄̌ę̄̌ Ę̃ę̃ E᷎e᷎ Ẹ̃ẹ̃ Ẽ̱ẽ̱ Ę̈ę̈ Ę̈̀ę̈̀ Ę̈̂ę̈̂ Ę̈̌ę̈̌ Ěě Ȇȇ Ȩȩ Ḝḝ Ȩ́ȩ́ Ȩ̀ȩ̀ Ȩ̂ȩ̂ Ȩ̌ȩ̌ Ȩ̛ȩ̛ Ɇɇ Ḕḕ Ḗḗ Ē̂ē̂ Ē̌ē̌ Ḙḙ Ḛḛ Ẹẹ Ẹẹ́ Ẹ̀ẹ̀ Ẹ̄ẹ̄ Ẻẻ Ẽẽ Ẽ́ẽ́ Ẽ̀ẽ̀ Ẽ̂ẽ̂ Ẽ̌ẽ̌ Ẽ̍ẽ̍ Ệệ Ếế Ềề Ểể Ê̆ê̆ Ễễ E̛e̛ E̊e̊ e̋e̋ Ȅȅ E̍e̍ E̱e̱ E̱é̱ È̱è̱ Ê̱ḵ Ě̱ě̱ Ē̱ē̱ Ḗ̱ḗ̱ Ḕ̱ḕ̱ Ē̱̂ē̱̂ Ë̱ë̱ Ĕ̤ĕ̤ E̲e̲ E̤e̤ Ê̤ê̤ E̤̍e̤̍ È̤è̤ Ê̌ê̌ Ê̄ê̄ e᷑ e᷑ e᷑ E᷆e᷆ E᷇e᷇ eͥ Əə / Ǝǝ Ə̃ə̃ / Ǝ̃ǝ̃ Əə́ / Ǝ́ǝ́ Ǝ̋ǝ̋ Ə̀ə̀ / Ǝ̀ǝ̀ Ǝ̏ǝ̏ Ə̂ə̂ / Ǝ̂ǝ̂ Ə̄ə̄ / Ǝ̄ǝ̄ Ə̌ə̌ / Ǝ̌ǝ̌ Ǝ̍ǝ̍ Ə̧ə̧ Ə̧́ə̧́ Ə̧̀ə̧̀ Ə̣ə̣ Ə̣́ə̣́ Ə̣̀ə̣̀ ɘ ɘ̝ ᶒ ᶕ ᴇ ⱻ ⱸ ꬳ ꬴ ɚ Ææ ᴁ ᴂ Ǽǽ Æ̂æ̂ Æ̀æ̀ Ǣǣ Æ̃æ̃ Æ̈æ̈ Æ̨æ̨ æ̞ Œœ ɶ Œœ́ œ́̃ Œ̀œ̀ œ̀̃ Œ̂œ̂ Œ̌œ̌ œ̆ œ̆́ œ̆̀ Œ̄œ̄ œ̄ œ̄̀ Œ̈œ̈ œ̃ œ᷑ œ᷑ œ̀᷑ ᵫ ᴔ ꭀ ꭁ ꭂ ꬱ ꭢ ꬲ ꭡ
Bokstäver ce från ovan	Aͤaͤ aͤ̀ aͤ̆ aͤ̃ Oͤoͤ U u
Symboler	& ℮ ∃/∄ 𝔼 ℇ ℯ/ⅇ ℰ ₠ € 🜀 Ⓔⓔ ⒠