Decimaltalssystem

Talsystem i kulturen
indo-arabiska
Arabiska tamilska burmesiska	Khmer Lao Mongoliska Thai
Öst asiat
kinesiska japanska Suzhou koreanska	Vietnamesiska räknepinnar
Alfabetisk
Abjadia Armeniska Aryabhata kyrilliska grekiska	georgiska etiopiska judiska Akshara Sankhya
Övrig
Babyloniska egyptiska etruskiska romerska Donau	Attic Kipu Mayan Egeiska KPPU-symboler
positionella
2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 8 , 10 , 12 , 16 , 20 , 60
Nega-positionell
symmetrisk
blandade system
Fibonacci
icke-positionell
Singular (unär)

Decimaltalssystemet är ett positionstalssystem baserat på heltalsbas 10 . Ett av de vanligaste systemen. Den använder siffrorna 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 , 9 , 0 , kallade arabiska siffror . Bas 10 tros vara relaterad till antalet fingrar en person har.

Definition

En decimal i decimalnotation kallas ibland ett decennium . Inom digital elektronik motsvarar en decimal i decimalsystemet en decimalvippa .

Ett heltal x i decimalnotation representeras som en finit linjär kombination av potenser på 10:

x=\pm \sum _{{k=0}}^{{n-1}}a_{k}10^{k}

, där är heltal, kallade siffror , som uppfyller olikheten

\a_k

0\leq a_{k}\leq 9.

Vanligtvis, för ett nummer som inte är noll, måste den högsta siffran i decimalrepresentationen av x också vara icke-noll. $a_{{n-1}}$

Till exempel representeras talet hundra tre i decimaltalsystemet som:

103=1\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+3\cdot 10^{0}.

Med hjälp av n positioner i decimaltalssystemet kan du skriva heltal från 0 till , det vill säga alla olika tal. $10^{n}-1$ $10^{n}$

Bråktal skrivs som en sträng av siffror separerade med en decimalkomma , kallad decimal :

a_{{n-1}}a_{{n-2}}\dots a_{{1}}a_{{0}},a_{{-1}}a_{{-2}}\dots a_{{ -(m-1)}}a_{{-m}}=\summa _{{k=-m}}^{{n-1}}a_{k}10^{k},

där n är antalet siffror i heltalsdelen av talet, m är antalet siffror i bråkdelen av talet.

Binär decimalkodning

I binära datorer används BCD-kodning av decimalsiffror, med fyra binära siffror (binär tetrad) tilldelade en BCD-siffra. BCD-nummer kräver fler bitar för att lagra dem [1] . Således har fyra binära siffror 16 tillstånd, och i binär-decimalkodning används inte 6 av de 16 tillstånden i den binära tetraden [2] .

Tilläggstabell i decimalnotation

+	0	ett	2	3	fyra	5	6	7	åtta	9
0	0	ett	2	3	fyra	5	6	7	åtta	9
ett	ett	2	3	fyra	5	6	7	åtta	9	tio
2	2	3	fyra	5	6	7	åtta	9	tio	elva
3	3	fyra	5	6	7	åtta	9	tio	elva	12
fyra	fyra	5	6	7	åtta	9	tio	elva	12	13
5	5	6	7	åtta	9	tio	elva	12	13	fjorton
6	6	7	åtta	9	tio	elva	12	13	fjorton	femton
7	7	åtta	9	tio	elva	12	13	fjorton	femton	16
åtta	åtta	9	tio	elva	12	13	fjorton	femton	16	17
9	9	tio	elva	12	13	fjorton	femton	16	17	arton

Multiplikationstabell i decimaltalssystem

×	ett	2	3	fyra	5	6	7	åtta	9
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
ett	ett	2	3	fyra	5	6	7	åtta	9
2	2	fyra	6	åtta	tio	12	fjorton	16	arton
3	3	6	9	12	femton	arton	21	24	27
fyra	fyra	åtta	12	16	tjugo	24	28	32	36
5	5	tio	femton	tjugo	25	trettio	35	40	45
6	6	12	arton	24	trettio	36	42	48	54
7	7	fjorton	21	28	35	42	49	56	63
åtta	åtta	16	24	32	40	48	56	64	72
9	9	arton	27	36	45	54	63	72	81

Historik

Ett decimalt icke-positionellt talsystem med en enda kodning av decimalsiffror (från 1 till 1 000 000) uppstod under andra hälften av det tredje årtusendet f.Kr. e. i det forntida Egypten ( egyptiskt talsystem ).

I en annan stor civilisation - den babyloniska med dess sexagesimala system - två tusen år f.Kr. e. inuti sexagesimala siffror användes ett positionellt decimaltalsystem med en enda kodning av decimalsiffror [3] . Det egyptiska decimalsystemet påverkade ett liknande system i tidiga europeiska skriftsystem som kretensiska hieroglyfer , Linjär A och Linjär B.

Den äldsta kända posten för positionsdecimalsystemet hittades i Indien år 595. Vid den tiden användes noll inte bara i Indien, utan också i Kina. I dessa uråldriga system användes symboler för att spela in samma nummer, bredvid vilka de dessutom markerade i vilken siffra de var. Sedan slutade de att markera siffrorna, men numret går fortfarande att läsa, eftersom varje siffra har sin egen position. Och om positionen är tom ska den markeras med noll. I sena babyloniska texter började ett sådant tecken dyka upp, men det placerades inte i slutet av numret. Bara i Indien tog noll äntligen sin plats, detta rekord spreds sedan över hela världen.

Indiska numrering kom först till arabländerna, sedan till Västeuropa . Den centralasiatiska matematikern al-Khwarizmi talade om henne . Enkla och bekväma regler för att lägga till och subtrahera tal skrivna i positionssystemet gjorde det särskilt populärt. Och eftersom al-Khwarizmis arbete skrevs på arabiska, tilldelades den indiska numreringen i Europa ett annat namn - "arabiska" ( arabiska siffror ).

Quipu of the Incas

Prototypen av databaserna som användes flitigt i centrala Anderna ( Peru , Bolivia ) för statliga och offentliga ändamål under I-II årtusendet e.Kr. t.ex. det fanns en knuten skrift av Incas - kipu , bestående av både numeriska poster i decimalsystemet [4] och icke-numeriska poster i det binära kodningssystemet [5] . Den quipu använde primära och sekundära nycklar, positionsnummer, färgkodning och bildandet av serier av upprepande data [6] . Kipu användes för första gången i mänsklighetens historia för att tillämpa en sådan redovisningsmetod som dubbel bokföring [7] .

Fördelar med decimalpositionssystemet

Det decimala positionsnummersystemet implementerat med hjälp av indo-arabiska siffror ersatte gradvis romerska siffror och andra icke-positionella numreringssystem på grund av många otvivelaktiga fördelar [8] .

Den indiska notationen av tal är mer kompakt än den romerska och låter dig snabbt jämföra olika tal i storlek.
När du räknar på en kulram kan du samtidigt skriva ner siffror och utföra beräkningar.
Det blev möjligt att utföra beräkningar utan kulram, på papper. Nya, enklare metoder för multiplikation och division dök upp, speciellt utformade för indo-arabiska siffror.
Beräkningsmatematik och matematik i allmänhet fick en kraftfull drivkraft för utveckling. Till exempel är det svårt att föreställa sig uppfinningen av logaritmer utan indo-arabiska siffror.
Det blev möjligt att skapa räknemaskiner .

Benämning av tiopotenser

Standardsystemet för decimaltal använder nominella namn för potenser av tusen , såsom en miljon (1 000 000) och en miljard (1 000 000 000), för att nämna stora tal. Mellanpotenser av tio bildas genom att lägga till tio eller hundra , såsom tio miljoner (10 000 000) och hundra miljarder (100 000 000 000); andra mellanstorheter bildas genom att addera potenserna av tusen siffror upp till tusen till nominella namn, till exempel etthundratjugosju miljoner (127.000.000). För en miljard och följande siffror finns det två möjliga värden: i en kort skala innehåller varje nästa namngivna enhet 1000 tidigare, och i en lång - en miljon; så en miljard efter en miljon kan betyda antingen 10 9 eller 10 12 .

Grader av tio i Indien

I Indien används ett alternativt sätt att namnge tiopotenserna, baserat på det föråldrade vediska talsystemet med basen 100, enligt vilket egennamn har 10 3 , 10 5 och nästa potenser tio till en, och mellanliggande är bildas genom att lägga till siffran tio. Systemet godkändes officiellt 1987 och reviderades 2002 [9] .

siffra	Vedisk	indiska	Standard
10 3	Khazar	Khazar	ett tusen
10 4	tio kazarer	tio kazarer	tio tusen
10 5	lakh	lakh	ett hundra tusen
10 6	niyut	tio lakhs	miljon
10 7	crore	crore	tio miljoner
10 8	riburdh	tio crores	hundra miljoner
10 9	vrand	Arab	miljard
10 10	kharab	tio araber	tio miljarder
10 11	ni-kharab	kharab	hundra miljarder
10 12	shankh	tio kharabs	biljoner/miljarder

När man skriver siffror i det indiska systemet placeras separatorerna i enlighet med dessa namn på grader: till exempel kommer ett tal skrivet i standardsystemet som 50 801 592, i det indiska systemet att se ut som 5 08 01 592 [10] . Namnen lakh och crore används på indisk dialekt av engelska ( lakh, crore ), hindi ( लाख lākh , करोड़ karod ) och andra sydasiatiska språk .

Applikation

Rysk kulram

Se även

Anteckningar

↑ "AS-Level Computing" 5:e upplagan - PM (Pat M.) Heathcote, S. Langfield - 2004-224 sidor - Sida 18: "En nackdel med att använda BSD är att det krävs fler bitar för att lagra ett nummer än när man använder ren binär." [1] Arkiverad 22 april 2022 på Wayback Machine ISBN 1-904467-71-7
↑ Schaums översikt över teori och problem med väsentlig datormatematik av Seymour Lipschutz, McGraw-Hill. 1987. “Anmärkning: Vilken 4-bitars kod som helst tillåter 2^4 = 16 kombinationer. Eftersom 4-bitars BCD-koderna bara behöver 10 av kombinationerna ... kvarstår 6 kombinationer tillgängliga” [2] Arkiverad 22 april 2022 på Wayback Machine ISBN 0-07-037990-4
↑ Bekantskap med nummersystem (otillgänglig länk) . Hämtad 8 november 2009. Arkiverad från originalet 1 juni 2017. (obestämd)
↑ Ordish George, Hyams, Edward. Inkans sista: ett amerikanskt imperiums uppgång och fall. - New York: Barnes & Noble, 1996. - S. 80. - ISBN 0-88029-595-3 .
↑ Experter "dechiffrerar" Inkasträngar . Arkiverad från originalet den 18 augusti 2011. (obestämd)
↑ Carlos Radicati di Primeglio, Gary Urton. Estudios sobre los quipus. - s.49 . Hämtad 5 september 2018. Arkiverad från originalet 9 juli 2021. (obestämd)
↑ Dale Buckmaster. The Incan Quipu and the Jacobsen Hypothesis // Journal of Accounting Research : journal. - 1974. - Vol. 12 , nr. 1 . - S. 178-181 .
↑ Menninger, 2011 , sid. 508-515.
↑ SV Gupta. Måttenheter: dåtid, nutid och framtid. Internationellt enhetssystem . - Springer Science & Business Media, 2009. - S. 12-13. — 158 sid.
↑ Att känna till våra siffror . Institutionen för skolundervisning och läskunnighet . Nationellt arkiv för öppna utbildningsresurser. Hämtad 13 februari 2016. Arkiverad från originalet 16 februari 2016. (obestämd)

Litteratur

Vygodsky M. Ya. Handbok i elementär matematik. - M. : AST, 2006. - S. 57-59. — 509 sid. — ISBN 5-17-009554-6 .
Menninger K. Siffrornas historia. Siffror, symboler, ord. - M. : ZAO Tsentrpoligraf, 2011. - 543 sid. — ISBN 9785952449787 .

Länkar

Weisstein, Eric W. Decimal (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .