Decimal

En decimal är en typ av bråk som är ett sätt att representera reella tal i formen

\pm d_m \ldots d_1 d_0{,} d_{-1} d_{-2} \ldots

var

\pm

- bråktecken : antingen , eller ,

+

-

,

- decimalkomma , som fungerar som en separator mellan heltals- och bråkdelar av talet ( standard för OSS-länderna ) [1] ,

d_{k}

- decimalsiffror . Dessutom är siffrorna före kommatecknet (till vänster om det) ändligt (minst en siffra), och efter kommatecknet (till höger om det) kan det vara antingen ändligt (i synnerhet siffrorna efter kommatecken) kan vara frånvarande helt) eller oändlig.

Exempel:

$123{,}45$ (slut decimal)
Att representera ett tal $\pi$ som en oändlig decimal: $3{,}1415926535897...$

Decimalens värde är ett reellt tal $\pm d_{m}\ldots d_{1}d_{0},d_{{-1}}d_{{-2}}\ldots$

\pm \left(d_{m}\cdot 10^{m}+\ldots +d_{1}\cdot 10^{1}+d_{0}\cdot 10^{0}+d_{{-1} }\cdot 10^{{-1}}+d_{{-2}}\cdot 10^{{-2}}+\ldots \right),

lika med summan av ett ändligt eller oändligt antal termer.

Att representera reella tal med decimaler är en generalisering av att skriva heltal i decimalnotation . Decimalrepresentationen av ett heltal saknar siffror efter decimalkomma, och därför är representationen

\pm d_{m}\ldots d_{1}d_{0},

som sammanfaller med noteringen av detta tal i decimaltalssystemet.

Finita och oändliga decimaler

Finita bråk

En decimal kallas ändlig om den innehåller ett ändligt antal siffror efter decimalkomma (i synnerhet ingen), det vill säga den har formen

\pm a_0{,}a_1 a_2 \ldots a_n

Per definition representerar denna bråkdel ett tal

\pm \sum _{{k=0}}^{{n}}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

Det är lätt att se att detta tal kan representeras som en vanlig bråkdel av formen , vars nämnare är en potens av tio. Omvänt kan vilket tal som helst av formen , där är ett heltal och är ett icke-negativt heltal, skrivas som ett ändligt decimaltal. $p/10^{{s}}$ $p/10^{{s}}$ $sid$ $s$

Om ett vanligt bråk reduceras till en irreducerbar form kommer dess nämnare att se ut som . Följande sats om representabiliteten av reella tal som ändliga decimalbråk gäller alltså. $p/10^{{s}}$ $2^{{m}}5^{{n}}$

Sats. Ett reellt tal kan representeras som ett ändligt decimalbråk om och bara om det är rationellt och när det skrivs som ett irreducerbart bråktal , nämnaren inte har andra primtalare än och . $p/q$ $q$ $2$ $5$

Oändliga bråk

Oändlig decimal

\pm a_0{,}a_1 a_2 \ldots

representerar per definition ett reellt tal

\pm \sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

Denna serie konvergerar , oavsett de icke-negativa heltal och decimalsiffror . Denna proposition följer av det faktum att sekvensen av dess partiella summor (om bråkets tecken släpps) begränsas ovanför av ett tal (se kriteriet för konvergens av serier med positiva tecken ). $a_{0}$ $a_{1},a_{2},\ldots$ $a_{0}+1$

Representation av reella tal som decimaler

Sålunda representerar varje ändlig eller oändlig decimalbråk ett väldefinierat reellt tal. Följande frågor kvarstår:

Kan vilket reellt tal som helst representeras som en decimal?
Är detta den enda representationen?
Vad är algoritmen för att dekomponera ett tal till en decimal?

Dessa frågor belyses nedan.

Algoritm för att expandera ett tal till ett decimaltal

Algoritmen för att konstruera ett decimalbråk, som är dess representation, beskrivs nedan. $\alfa$

Låt oss överväga fallet först . Dela hela tallinjen med heltalspunkter i segment av enhetslängd. Betrakta segmentet som innehåller punkten ; i det speciella fallet när punkten är slutet av två intilliggande segment väljer vi rätt segment som . $\alpha \geqslant 0$ $I_0$ $\alfa$ $\alfa$ $I_0$

Om vi betecknar ett icke-negativt heltal, som är den vänstra änden av segmentet , genom , så kan vi skriva: $I_0$ $a_{0}$

I_{0}=[a_{0}\,;\,a_{0}+1]

I nästa steg delar vi upp segmentet i tio lika delar med punkter $I_0$

a_{0}+b/10,\;b=1,\ldots ,9

och beakta det av längdsegmenten på vilka spetsen ligger ; i fallet när denna punkt är slutet av två intilliggande segment väljer vi återigen det rätta från dessa två segment . $1/10$ $\alfa$

Låt oss kalla detta segment . Det ser ut som: $I_1$

I_{1}=\left[a_{0}+{\frac {a_{1}}{10}}\,;\,a_{0}+{\frac {a_{1}+1}{10} }\höger]

Vi kommer att fortsätta på liknande sätt processen att förfina tallinjen och successivt förfina punktens position . $\alfa$

I nästa steg, med ett segment som innehåller punkten , delar vi upp det i tio lika stora segment och väljer från dem det segment som punkten ligger på ; i fallet när denna punkt är slutet av två intilliggande segment väljer vi det rätta från dessa två segment . $I 1}}$ $\alfa$ $I}}$ $\alfa$

Om vi fortsätter med denna process får vi en sekvens av segment av formuläret $I_{0},I_{1},\ldots$

I_{n}=\left[a_{0}+{\frac {a_{1}}{10^{1}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{10^{n}} }\,;\,a_{0}+{\frac {a_{1}}{10^{1}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}+ {\frac {1}{10^{n}}}\right]

där är ett icke-negativt heltal och är heltal som uppfyller olikheten . $a_{0}$ $a_{1},a_{2},\ldots$ $0\leqslant a_{k}\leqslant 9$

Den konstruerade sekvensen av segment har följande egenskaper: $I_{0},I_{1},\ldots$

Segmenten är sekventiellt kapslade i varandra: $I_{0}\supset I_{1}\supset I_{2}\supset \ldots$
Längd på segment $|I_{n}|=10^{{-n}},\;n=0,1,2,\ldots$
Punkten tillhör alla segment i sekvensen $\alfa$

Av dessa villkor följer att det finns ett system av kapslade segment , vars längder tenderar till noll som , och punkten är en gemensam punkt för alla segment i systemet. Detta innebär att sekvensen av vänstra ändar av segmenten konvergerar till en punkt (ett analogt påstående är också sant för sekvensen av högra ändar), dvs. $I_{0},I_{1},\ldots$ $n\till\infty$ $\alfa$ $\alfa$

a_{0}+{\frac {a_{1}}{10^{1}}}+\ldots +{\frac {a_{n}}{10^{n}}}\till \alpha

på

n\till\infty

Detta innebär att raden

\sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

konvergerar till , och därmed decimalen $\alfa$

a_0{,}a_{1} a_{2} \ldots

är en representation av ett tal . Således hittas expansionen av ett icke-negativt tal till ett decimaltal. $\alfa$ $\alfa$

Den resulterande decimalfraktionen är oändlig genom konstruktion. I det här fallet kan det visa sig att från ett visst tal är alla decimaler efter decimalkomma nollor, det vill säga bråket har formen

a_0{,}a_1 \ldots a_n 000 \ldots

Det är lätt att se att denna möjlighet äger rum i det fall då punkten i något steg sammanfaller med en av delningspunkterna för den reella linjen. I det här fallet, kassering totalt $\alfa$

\sum _{{k=0}}^{{\infty }}a_{k}\cdot 10^{{-k}}

noll termer får vi att talet också kan representeras av ett ändligt decimalbråk $\alfa$

a_0{,} a_1 \ldots a_n

I allmänhet är det tydligt att om vi lägger till valfritt antal nollor (inklusive oändligt) till slutet av decimalbråket efter decimalkomma, ändrar vi inte bråktalets värde. Således, i det här fallet, kan talet representeras av både en ändlig och en oändlig decimalbråk (erhållen från den första genom att tilldela ett oändligt antal nollor). $\alfa$

Således är fallet med icke-negativ . I fallet med negativ , som en decimalrepresentation av detta tal, kan du ta representationen av dess motsatta positiva tal, taget med ett minustecken. $\alfa$ $\alfa$

Ovanstående algoritm ger ett sätt att expandera ett godtyckligt reellt tal till ett decimaltal. Detta bevisar följande

Sats. Vilket reellt tal som helst kan representeras som en decimal.

Om rollen som Arkimedes axiom

Den givna algoritmen för att sönderdela ett reellt tal till ett decimaltal bygger i huvudsak på en egenskap hos systemet av reella tal som kallas Arkimedes axiom .

Den här egenskapen användes två gånger i algoritmen. I början av konstruktionen valdes ett heltal så att det reella talet är mellan och nästa heltal : $a_{0}$ $\alfa$ $a_{0}$ $a_{0}+1$

a_{0}\leqslant \alpha <a_{0}+1,\;a_{0}\i {\mathbb {Z))

Dock måste existensen av ett sådant heltal fortfarande bevisas: man kan till exempel inte utesluta möjligheten att, oavsett heltal , olikheten alltid äger rum . Om det här fallet hade ägt rum, så skulle uppenbarligen det erforderliga antalet inte ha hittats. $a_{0}$ $n$ $n\leqslant \alfa$ $a_{0}$

Denna möjlighet är exakt utesluten av Arkimedes axiom, enligt vilket, oavsett antalet , finns det alltid ett heltal så att . Nu bland siffrorna tar vi den minsta som har fastigheten . Sedan $\alfa$ $n$ $n>\alfa$ $k=1,\ldots ,n$ $k>\alfa$

k-1\leqslant \alfa<k

Det önskade numret hittas: . $a_{0}=k-1$

Andra gången användes Arkimedes axiom implicit i beviset för att längden på segmenten i sekvensen tenderar mot noll : $I_{0},I_{1},I_{2},\ldots$

\lim _{{n\to \infty }}10^{{-n}}=0

Ett rigoröst bevis för detta påstående är baserat på Arkimedes axiom. Låt oss bevisa motsvarande förhållande

\lim _{{n\to \infty }}10^{{n}}=\infty

I enlighet med Arkimedes axiom, vilket det reella talet än är, kommer sekvensen av naturliga tal att överträffa det, med utgångspunkt från något tal. Och eftersom det finns en ojämlikhet för alla $E>0$ $1,2,\ldots$ $n$

10^{n}>n

då kommer sekvensen också att överträffa , med början från samma nummer. I enlighet med definitionen av gränsen för en numerisk sekvens betyder detta att . $10^{n}$ $E$ $\lim _{{n\to \infty }}10^{{n}}=\infty$

Tvetydighet i decimalrepresentation

Med hjälp av ovanstående algoritm, för vilket reellt tal som helst, kan vi konstruera ett decimaltal som representerar detta tal. Det kan dock hända att samma tal kan representeras som en decimal på annat sätt. $\alfa$ $\alfa$

Det icke-unika med representationen av tal i form av decimalbråk följer redan av det triviala faktum att genom att tilldela nollor till höger efter decimalkomma till det sista bråket, kommer vi att erhålla formellt olika decimalbråk som representerar samma tal.

Men även om vi betraktar bråken som erhålls genom att tilldela ett ändligt eller oändligt antal nollor till varandra som identiska, förblir representationen av vissa reella tal fortfarande icke-unika.

Tänk till exempel på decimalen

0{,}99\ldots

Per definition är detta bråk en representation av ett tal . Detta tal kan dock också representeras som en decimal . Faktum är att reella tal är olika om och bara om ytterligare ett reellt tal kan infogas mellan dem, vilket inte sammanfaller med dem själva . Men inget tredje tal kan infogas mellan och . $0+9/10+9/100+\ldots=1$ $1{,}00\ldots$ $a,b$ $a,b.$ $0{,}99\ldots$ $1{,}00\ldots$

Detta exempel kan generaliseras. Det kan visas att bråken

\pm a_0{,}a_1 \ldots a_{n-1} a_n 999 \ldots

och

\pm a_0{,}a_1 \ldots a_{n-1} (a_n+1) 000

där , representerar samma reella tal. $a_{n}\neq 9$

Det visar sig att detta generella exempel uttömmer alla fall av tvetydighet i representationen av reella tal som decimalbråk. Samtidigt tar vi naturligtvis inte hänsyn till de triviala fallen av bråk som erhålls genom att tilldela varandra nollor i slutet, samt ett par bråk och . $+ 0{,}00 \ldots$ $- 0{,}00 \ldots$

Dessa resultat kan sammanfattas i följande teorem.

Sats. Varje reellt tal som inte kan representeras i formen , där är ett heltal, är ett icke-negativt heltal, tillåter en unik representation i form av ett decimaltal; denna bråkdel är oändlig. $\alfa$ $p/10^{s}$ $sid$ $s$

Vilket reellt tal som helst i formen kan representeras som en decimal på mer än ett sätt. Om , då kan det representeras både som en ändlig decimalbråkdel, såväl som en oändlig bråkdel som erhålls genom att tilldela nollor till slutet efter decimalkomma, och som en oändlig bråkdel som slutar på . Ett tal kan representeras av bråkdelar av formen , såväl som bråkdelar av formen . $\alpha =p/10^{s}$ $\alpha \neq 0$ $999\ldots$ $\alfa = 0$ $+0{,}00 \ldots$ $-0{,}00 \ldots$

Kommentar. Oändliga bråk som slutar på erhålls genom att alltid välja det vänstra segmentet istället för det högra i ovanstående algoritm. $999\ldots$

Extra nollor och fel

Det bör noteras att ur ungefärliga beräkningssynpunkt är att skriva ett decimalbråk med nollor i slutet inte helt identiskt med att skriva utan dessa nollor.

Det är allmänt accepterat att om felet inte indikeras, så är det absoluta felet för decimalfraktionen lika med halva enheten för den sista urladdade siffran, dvs. numret erhålls i enlighet med avrundningsreglerna [2] . Till exempel betyder posten "3,7" att det absoluta felet är 0,05. Och i posten "3.700" är det absoluta felet 0.0005. Andra exempel:

"25" - det absoluta felet är 0,5 (även en sådan post kan betyda det exakta värdet på 25: till exempel 25 stycken);
"2.50∙10⁴" - det absoluta felet är 50;
"25.00" - det absoluta felet är 0.005.

Periodiska decimaler

Definition och egenskaper

Ett oändligt decimalbråk kallas periodiskt om dess siffersekvens efter decimalkomma, med början från någon plats, är en periodiskt upprepad grupp av siffror. Med andra ord är ett periodiskt bråktal ett decimalbråk som ser ut

\pm a_{0},a_{1}\ldots a_{m}\underbrace {b_{1}\ldots b_{l}}\underbrace {b_{1}\ldots b_{l}}\ldots

En sådan bråkdel skrivs vanligtvis i formen

\pm a_{0},a_{1}\ldots a_{m}(b_{1}\ldots b_{l})

Den upprepade siffrornas grupp kallas bråkdelens period , antalet siffror i denna grupp är periodens längd. $b_{1}\ldots b_{l}$

Om punkten i ett periodiskt bråk följer omedelbart efter decimalkomma, så kallas bråket rent periodiskt . Om det finns siffror mellan decimalkomma och första punkt, kallas bråkdelen blandad periodisk , och gruppen av siffror efter decimalkomma till första tecknet i perioden kallas bråkets förperiod . Till exempel är en fraktion ren periodisk, medan en fraktion är blandad periodisk. $1{,}(23) = 1{,}2323 \ldots$ $0{,}1(23)=0{,}12323 \ldots$

Den huvudsakliga egenskapen hos periodiska bråk, på grund av vilken de skiljer sig från hela uppsättningen decimalbråk, är att periodiska bråk och endast de representerar rationella tal . Mer exakt gäller följande förslag.

Sats. Varje oändligt periodiskt decimalbråk representerar ett rationellt tal. Omvänt, om ett rationellt tal expanderar till ett oändligt decimaltal, är detta bråktal periodiskt.

Det kan visas att rent periodiska bråk motsvarar rationella tal, där nämnaren inte har några primtalare och , samt rationella tal , där nämnaren endast har primtalare och . Följaktligen, blandade periodiska fraktioner motsvarar irreducible fraktioner , vars nämnare har både enkla divisorer eller , och skiljer sig från dem. $p/q$ $q$ $2$ $5$ $p/q$ $q$ $2$ $5$ $p/q$ $q$ $2$ $5$

Konvertera en periodisk decimal till en vanlig bråkdel

Låt oss anta att det ges ett periodiskt decimalbråk med perioden 4. Observera att multiplicerar vi det med , får vi ett stort bråk med samma siffror efter decimalkomma. Om vi subtraherar heltalsdelen ( ), med vilken bråket ökade efter dess multiplikation, får vi det ursprungliga bråket ( ) [3] : $x=0{,}(1998)$ $10^{4}=10 000$ $10000x=1998{,}(1998)$ $1998$ $x$
$10000x-1998=x$
$\Höger pil$
$10000x-x=1998$
$\Höger pil$
$x={\frac {1998}{9999}}={\frac {222}{1111}}$

Uttal av decimaler

På ryska läses decimalbråk så här: först uttalas hela delen, sedan ordet "hel" (eller "hel"), sedan bråkdelen som om hela talet endast bestod av denna del, det vill säga täljaren av bråket är ett kvantitativt feminint tal (ett, två, åtta, etc.), och nämnaren är ett ordningstal (tiondel, hundradel, tusendel, tiotusendel, etc.).

Till exempel: 5,45 - fem hela, fyrtiofem hundradelar.

För längre tal bryts ibland decimaldelen upp i potenser av tusen . Till exempel: 0,123 456 - nollpunkt, hundra tjugotre tusendelar, fyrahundrafemtiosex miljondelar.

Men i praktiken, ofta mer rationellt, råder ett sådant uttal: hela delen, föreningen "och" (ofta utelämnad), bråkdelen.

Till exempel: 5,45 - fem och fyrtiofem; (Fem fyrtio fem).

För återkommande decimaler, säg delen av talet före perioden (uttryckt som ett heltal i fallet med ett rent återkommande bråktal, eller som en sista decimal i fallet med ett blandat återkommande bråktal), och lägg sedan till talet i perioden . Till exempel: 0,1(23) - noll heltal, en tiondel och tjugotre i perioden; 2,(6) är två heltal och sex i perioden.

Historik

Decimalbråk påträffas först i Kina från omkring 300-talet e.Kr. e. när man räknar på räknebrädan ( suanpan ). I skriftliga källor avbildades decimalbråk i det traditionella (icke-positionella) formatet under en tid, men gradvis ersatte positionssystemet det traditionella [4] .

Timurid - matematikern och astronomen Jamshid Ghiyas-ad-din al-Kashi (1380-1429) förklarade sig i sin avhandling "The Key of Arithmetic" som uppfinnaren av decimalbråk, även om de hittades i verk av Al-Uklidisi , som levde . 5 århundraden tidigare [5] .

I Europa skrevs decimalbråk ursprungligen som heltal på någon överenskommen skala; till exempel innehöll de trigonometriska tabellerna i Regiomontanus (1467) värden ökade med en faktor på 100 000 och sedan avrundade till närmaste heltal. De första decimalbråken i Europa introducerades av Immanuel Bonfils runt 1350, 1579 försökte Viet främja deras användning . Men de blev utbredda först efter uppkomsten av Simon Stevins verk "Den tionde" (1585) [6] .

Se även

Anteckningar

↑ Kommatecknet " " - decimalkomma - som en separator av heltals- och bråkdelen av ett decimalbråk används i Ryssland, europeiska länder (förutom Storbritannien och Irland) och många andra länder som de hade ett kulturellt inflytande på. I engelsktalande länder och länder som de hade inflytande på, används punkttecknet " " för detta - en decimalkomma ( engelsk decimalpunkt ), och kommatecknet används för att gruppera siffrorna i talets heltalsdel efter tre decimaler (den så kallade separatorn för grupper av siffror , i Ryssland, det icke- brytande mellanslagstecknet "") används för detta. Till exempel kommer en bråkdel i decimalnotation i den ryska standarden att se ut så här: , och i den engelska standarden så här: . Se Decimalavgränsare för mer information . $,$ $.$ ${\frac {1~000~000}{3))$ ${333~333{,}333333}(3)$ ${~333 333.333333(3)}$
↑ Vygodsky M. Ya. Handbok i elementär matematik. - M . : Statens förlag för teknisk och teoretisk litteratur, 1954. - 412 sid.
↑ Uppslagsverk för barn . - M . : Avanta +, 2001. - T. 11. Matematik. — ISBN 5-8483-0015-1 . , sida 179
↑ Jean-Claude Martzloff . En historia av kinesisk matematik. Springer. 1997. ISBN 3-540-33782-2 .
↑ Berggren J. Lennart. Matematik i medeltida islam // Matematik i Egypten, Mesopotamien, Kina, Indien och Islam: En källbok . - Princeton: Princeton University Press, 2007. - s . 518 . - ISBN 978-0-691-11485-9 .
↑ Guter R. S., Polunov Yu. L. John Napier, 1550-1617. - M . : Nauka, 1980. - S. 197-204. — 226 sid. — (Vetenskaplig och biografisk litteratur).