Positiv bestämd matris

I linjär algebra är en positiv bestämd matris en hermitisk matris , som på många sätt är analog med ett positivt reellt tal . Detta koncept är nära besläktat med den positiva-definita symmetriska bilinjära formen (eller sesquilinjär form i fallet med komplexa tal ).

Formuleringar

Låt vara en hermitisk matris av dimension . Beteckna den transponerade vektorn med , och den konjugattransponerade vektorn med . $M$ $n\ gånger n$ $a$ $a^{T}$ $a^{*}$

En matris är positiv definitiv om den uppfyller något av följande ekvivalenta kriterier: $M$

ett.	För alla komplexa vektorer som inte är noll , $z \in \mathbb{C}^n$ $\textbf{z}^{} M \textbf{z} > 0.$ Observera att kvantiteten alltid är verklig, eftersom den är en hermitisk matris . $z^{} M z$ $M$
2.	Alla egenvärden , , är positiva. Varje Hermitian matris , enligt spektralupplösningssatsen, kan representeras som en verklig diagonal matris , översatt till ett annat koordinatsystem (det vill säga, där är en enhetlig matris , vars rader är ortonormala egenvektorer , som utgör grunden ). Enligt denna definition är en matris positiv-definitiv om alla element i huvuddiagonalen (eller, med andra ord, egenvärden ) är positiva. Det vill säga, i en bas som består av egenvektorer är verkan på vektorn ekvivalent med komponentvis multiplikation med en positiv vektor. $M$ $\lambda_i, i = 1, 2, \prickar, n$ $D$ $M = P^{-1}DP$ $P$ $M$ $M$ $D$ $M$ $M$ $M$ $z \in \mathbb{C}^n$ $z$
3.	En och en halv rad form $\langle \textbf{x},\textbf{y}\rangle = \textbf{x}^{*} M \textbf{y}$ definierar punktprodukten i . Genom att generalisera ovanstående bildas vilken skalär produkt som helst från en hermitisk positiv bestämd matris. $\mathbb{C}^n$ $\mathbb{C}^n$
fyra.	$M$ är Gram-matrisen som bildas av uppsättningen linjärt oberoende vektorer $\textbf{x}_1,\ldots,\textbf{x}_n \in \mathbb{C}^k$ för vissa . Med andra ord definieras elementen enligt följande $k$ $M$ $M_{ij} = \langle \textbf{x}_i, \textbf{x}_j\rangle = \textbf{x}_i^{} \textbf{x}_j.$ Således, , där är ett injektiv , men inte nödvändigtvis en kvadratisk matris . $M = A^{}A$ $A$
5.	Determinanterna för alla vinklade minorer av matriser är positiva ( Sylvesters kriterium ). I enlighet med detta kriterium, för positiva semidefinita matriser , är alla angular minorer icke-negativa, vilket dock inte är ett tillräckligt villkor för att en matris ska vara positiv semidefinite, vilket framgår av följande exempel $\begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{bmatrix}.$

För verkliga symmetriska matriser i ovanstående egenskaper kan utrymmet ersättas med , och konjugera transponerade vektorer med transponerade. $\mathbb{C}^n$ $\mathbb {R} ^{n}$

Kvadratiska former

Det är också möjligt att formulera positiv bestämhet i termer av kvadratiska former . Låt vara ett fält av reella ( ) eller komplexa ( ) tal, och vara ett vektorrum över . Hermitisk form $K$ $\mathbb {R}$ $\mathbb {C}$ $\mathbb{V}$ $K$

B : V \ gånger V \ högerpil K

är en bilinjär mappning , dessutom är konjugatet av . En sådan funktion kallas positiv definit när för vilken som helst icke-noll . $B\vänster(x, y\höger)$ $B\vänster(y, x\höger)$ $B$ $B\vänster(x, x\höger) > 0$ $x \i V$

Negativa bestämda, semidefinita och obestämda matriser

En hermitisk matris av dimension kommer att kallas negativ definit if $M$ $n\ gånger n$

x^{*}Mx<0

för alla som inte är noll (eller, på motsvarande sätt, för alla som inte är noll ). $x \in \mathbb{R}^n$ $x \in \mathbb{C}^n$

$M$ kommer att kallas positiv semidefinite (eller icke-negativ definite ) if

x^{*} M x \geq 0

för alla (eller, på motsvarande sätt, för alla ). $x \in \mathbb{R}^n$ $\mathbb{C}^n$

$M$ kommer att kallas negativ semidefinite (eller nonpositive definite ) if

x^{*} M x \leq 0

för alla (eller, likvärdigt, för alla ) [1] . $x \in \mathbb{R}^n$ $\mathbb{C}^n$

Således kommer en matris att vara negativt definitiv om alla dess egenvärden är negativa, positiva semidefinita om alla dess egenvärden är icke-negativa, och negativa semidefinita om alla dess egenvärden är icke-positiva [2] .

En matris är positiv halvdefinitiv om och bara om den är grammatrisen för någon uppsättning vektorer. Till skillnad från en positiv bestämd matris är dessa vektorer inte nödvändigtvis linjärt oberoende . $M$

För alla matriser gäller följande: är positiv halvdefinitiv och . Det omvända är också sant: vilken positiv semidefinitiv matris som helst kan uttryckas som ( Cholesky nedbrytning ). $A$ $A^{*}A$ $\operatörsnamn{rank}\left(A\right) = \operatörsnamn{rank}\left(A^{*}A\right)$ $M$ $M = A^{*}A$

En hermitisk matris som varken är positivt eller negativt halvdefinitiv kallas obestämd .

Ytterligare egenskaper

Låt oss introducera notationen för positiva semidefinita matriser och för positiva definitiva matriser. $M \succeq 0$ $M\succ 0$

För godtyckliga kvadratmatriser kommer vi att skriva om , det vill säga en positiv semidefinit matris. Relationen definierar alltså en partiell ordning på en uppsättning kvadratmatriser . På liknande sätt kan den totala orderrelationen definieras . $M, N$ $M \succeq N$ $M - N \succeq 0$ $M-N$ $\succeq$ $M \succ N$

ett.	Varje positiv-definitiv matris är inverterbar , och dess inversa matris är också positiv-definitiv. Om , då . $M \succeq N \succ 0$ $N^{-1} \succeq M^{-1} \succe 0$
2.	Om är en positiv-definitiv matris och , då är en positiv-definitiv matris. $M$ $0 < r \in \mathbb{R}$ $r \cdot M$ Om och är positiva definitiva matriser, så är produkterna och också positiva definitiva. Om , då är också positivt definitivt. $M$ $N$ $MNM$ $NMN$ $MN=NM$ $MN$
3.	Om är en positiv bestämd matris, då är elementen i huvuddiagonalen positiva. Därför, . Vidare, $M$ $m_{ii}$ $\operatörsnamn{spår}\left(M\right) > 0$ $\| m_{ij} \| \leq \sqrt{m_{ii} m_{jj}} \leq \frac{m_{ii}+m_{jj}}{2}$ .
fyra.	$M$ är en positiv-definitiv matris om och endast om det finns en positiv-definitiv sådan att . Låt oss beteckna . En sådan matris är unik förutsatt att . Om , då . $B \succ 0$ $B^2 = M$ $B = M^{\frac{1}{2}}$ $B$ $B \succ 0$ $M \succ N \succ 0$ $M^{\frac{1}{2}} > N^{\frac{1}{2}}>0$
5.	Om och är positiva bestämda matriser, då (där betecknar Kronecker-produkten ). $M$ $N$ $M\otimes N \succ 0$ $\ ibland$
6.	Om och är positiva bestämda matriser, då (där betecknar Hadamard-produkten ). När matriserna är reella gäller även följande olikhet ( Oppenheims olikhet ): $M$ $N$ $M\cirkel N \succ 0$ $\cirkel$ $M,N$ $\det(M\circ N) \geq (\det N) \prod_{i} m_{ii}$ .
7.	Om är en positiv bestämd matris, a är en hermitisk matris och , då . $M$ $N$ $MN + NM \succeq 0$ $\left( MN+NM \succ 0 \right)$ $N \succeq 0$ $\left( N \succ 0 \right)$
åtta.	Om och är positiva halvdefinita reella matriser, då . $M$ $N$ $\operatörsnamn{spår}\left(MN\right)\succeq 0$
9.	Om är en positiv bestämd reell matris, så finns det ett antal så att , där är identitetsmatrisen . $M$ $\delta>0$ $M\succeq \delta I$ $jag$

Icke-ermitiska matriser

Verkliga icke-symmetriska matriser kan också uppfylla olikheten för alla reella vektorer som inte är noll . Sådan är till exempel matrisen $x^TM x > 0$ $x$

\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix},

eftersom för alla reala vektorer som inte är noll $x = (x_1, x_2)^T$

\begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = x_1^2 + x_2^2 > 0 .

Mer allmänt, för alla reella vektorer som inte är noll om och endast om den symmetriska delen är positiv definitiv. $x^TM x > 0$ $x$ $\frac{M + M^T}{2}$

För komplexa matriser finns det flera generaliseringar av ojämlikheten . Om för alla icke-noll komplexa vektorer är matrisen hermitisk . Det vill säga om , då är Hermitian . Å andra sidan, för alla icke-nollkomplexa vektorer om och endast om den hermitiska delen är positiv definitiv. $x^{*} M x > 0$ $x^{*} M x > 0$ $x$ $M$ $x^{*} M x > 0$ $M$ $\operatörsnamn{Re}\left(x^{*} M x\right) > 0$ $x$ $\frac{M + M^{*}}{2}$

Se även

Anteckningar

↑ Nikolay Bogolyubov, Anatoly Logunov, Anatoly Oksak, Ivan Todorov. Allmänna principer för kvantfältteorin . - FIZMATLIT, 2006. - S. 20. - 744 sid. — ISBN 9785457966253 .
↑ Vasily Fomichev, Andrey Fursov, Sergey Korovin, Stanislav Emelyanov, Alexander Ilyin. Matematiska metoder för kontrollteori. Problem med stabilitet, kontrollerbarhet och observerbarhet . - FIZMATLIT, 2014. - S. 182. - 200 sid. — ISBN 9785457964747 .

Litteratur

R.A. Horn, C.R. Johnson. Matrix Analysis, Cambridge University Press, Ch. 7, 1985.
R. Bhatia , Positiva definite matrices, Princeton Series in Applied Mathematics, 2007.