Hermitisk konjugatmatris

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 15 december 2021; verifiering kräver 1 redigering .

En hermitisk konjugatmatris eller en konjugattransponerad matris är en matris * med komplexa element erhållna från den ursprungliga matrisen genom att transponera och ersätta varje element med dess komplexa konjugat . $A$ $A$

Hermitiska konjugerade matriser spelar ungefär samma roll i studiet av komplexa vektorrum som transponerade matriser i fallet med verkliga rum.

Definition och notation

Om den ursprungliga matrisen har storlek , kommer det hermitiska konjugatet av k att ha storlek och dess e element kommer att vara lika med: $A$ $m\ gånger n$ $A$ $A^{*}$ $n \ gånger m,$ $(I j)$

\left(A^*\right)_{ij} = \overline{A_{ji}},

där betecknar det komplexa konjugerade talet k (det konjugerade talet k är , där och är reella tal ). $\overline{z}$ $z$ $a+bi$ $a-bi$ $a$ $b$

Annars kan denna definition skrivas om enligt följande:

$A^{*}=\left({\overline {A}}\right)^{\text{T}}={\overline {{A}^{\text{T}}}}.$

Den hermitiska konjugerade matrisen betecknas vanligtvis som eller ( H från engelska Hermitian - Hermitian), men andra notationer används ibland: $A^{*}$ $A^H$

$A^{\dolk}$ - inom kvantmekanik ;
$A^+$ - men denna notation kan förväxlas med notationen för en pseudoinvers matris .

Exempel

Om en

A = \begin{bmatrix} 3 + i & 5 \\ 2-2i & i \end{bmatrix}

sedan

A^* = \begin{bmatrix} 3-i & 2+2i \\ 5 & -i \end{bmatrix}.

Relaterade definitioner

Om en matris består av reella tal , är dess konjugerade hermitiska matris bara en transponerad matris : $A$

A^* = A^T,

a_{ij} \in \mathbb{R}.

Den kvadratiska matrisen heter: $A$

Hermitian om ; $A^*=A$
anti- hermitisk eller skev-hermitisk om ; $A^* = -A$
normalt om ; $A^*A = AA^*$
enhetlig om , var är identitetsmatrisen . $A^*A = AA^* = I$ $jag$

Egenskaper

$(A + B)^* = A^* + B^*$ för två valfria matriser och samma dimensioner. $A$ $B$
$(cA)^* = \overline{c} A^*$ för alla komplexa skalärer . $c \in \mathbb{C}$
$(AB)^* = B^* A^*$ för alla matriser och , så att deras produkt definieras . Observera att på höger sida av likheten är ordningen för matrismultiplikation omvänd. $A$ $B$ $AB$
$(A^*)^* = A$ för vilken matris som helst . $A$
Egenvärdena , determinant och spår ändras till konjugat av den hermitiska konjugatmatrisen, jämfört med originalet.
$A$ är inverterbar om och endast om matrisen är inverterbar . Vart i: $A^{*}$ $(A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}$
$\langle Axe, y\rangle = \langle x,A^* y \rangle$ för valfri matris av storlek och alla vektorer och . Notationen betecknar standardprickprodukten av vektorer i ett komplext vektorrum. $A$ $m\ gånger n$ $x \in \mathbb{C}^n$ $y \in \mathbb{C}^m$ $\langle\cdot,\cdot\rangle$
Matriserna och är hermitiska och positiva halvdefinita för vilken matris som helst (inte nödvändigtvis kvadratisk). Om kvadratisk och icke-degenererad kommer dessa två matriser att vara positiva-definita. $AA^*$ $A^*A$ $A$ $A$

Se även

Adjointoperatorn är en generalisering av konceptet med en hermitisk konjugatmatris för oändliga dimensionella utrymmen.

Länkar

Weisstein, Eric W. Conjugate Transpose (engelska) på Wolfram MathWorld- webbplatsen .

Vektorer och matriser

Vektorer

Grundläggande koncept	Vektor i geometri Grund Ortogonal grund Vektorkoordinater Kolinearitet Ortogonalitet Linjärt beroende Kolumnutrymme
Typer av vektorer	Enhet vektor Axiell vektor isotrop vektor Vanligt Kolinearitet Noll vektor Radie vektor Egenvektor
Operationer på vektorer	Skalär produkt vektor produkt blandad produkt Pseudoskalär produkt Dubbelkorsprodukt
Utrymmestyper	vektor utrymme affint utrymme Euklidiskt utrymme Pseudo-euklidiskt utrymme Normerat utrymme Minkowski utrymme

matriser

Grundläggande koncept	Matrismultiplikation Transponerad matris Hermitisk konjugatmatris Symmetrisk matris invers matris Eget värde Karakteristiskt polynom för en matris
Specialmatriser	Identitetsmatris Noll matris Diagonal matris lambda matris
Matrisnedbrytningar	LU-nedbrytning Cholesky nedbrytning QR-sönderdelning LUP-nedbrytning singulärvärdesfaktorisering Spektral nedbrytning av en matris

Övrig