Projektor (matematik)

Den aktuella versionen av sidan har ännu inte granskats av erfarna bidragsgivare och kan skilja sig väsentligt från versionen som granskades den 27 april 2022; verifiering kräver 1 redigering .

I linjär algebra och funktionsanalys kallas en linjär operator som verkar i ett linjärt utrymme en projektor (och även en projektionsoperator och en projektionsoperator ) om . En sådan operatör kallas idempotent . $P$ $P^{2}=P$

Trots sin abstrakthet generaliserar denna definition idén om att konstruera en geometrisk projektion .

Följande egenskap hos en projektor kan användas som en definition: en linjär operator är en projektor om och endast om det finns sådana delrum och utrymmen som expanderar till deras direkta summa , och dessutom för alla par av element vi har . Underrymden och är respektive bild och kärna i projektorn och betecknas med och . $P:X\till X$ $U$ $V$ $X$ $X$ $u\in U,\ v\in V$ $P(u+v)=u$ $U$ $V$ $P$ $\mathrm {Im} P$ $\mathrm {Ker} P$

I det allmänna fallet är nedbrytningen av ett linjärt utrymme till en direkt summa inte unik. Därför, för ett delutrymme av utrymmet , generellt sett, finns det många projektorer vars bild eller kärna sammanfaller med . $V$ $X$ $V$

Egenskaper för projektionsoperatorer

Låt vara identisk operatör . Om det är en projektor, så är det också en projektor, och . $jag$ $P$ $IP$ ${\mathrm {Ker}}{(IP)}={\mathrm {Im}}{P}$ $\mathrm {Im} {(IP)}=\mathrm {Ker} P$
I ett ändligt dimensionellt normerat utrymme är alla projektionsoperatorer kontinuerliga .
För ett Banach- utrymme kommer projektionsoperatören att vara kontinuerlig om dess bild är stängd , och projektorns kärna kommer också att stängas. Således definierar den kontinuerliga projektorn sönderdelningen av rymden till en direkt summa av slutna delrum: . $X={\mathrm {Ker}}P\oplus {\mathrm {Im}}\,P$
Egenvärdena för en projektor kan bara vara 0 och 1. Motsvarande egenutrymmen för en projektor är dess kärna och bild.

Projektorkombinationer

Låta och vara projektorer definierade på vektorrymden , och projicera på delrum respektive . Sedan $P_1$ $P_2$ $X$ $M_{1}$ $M_{2}$

$P_{1}+P_{2}$ är en projektor på underutrymmet om och endast om . $M_{1}\oplus M_{2}$ $P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=0$
$P_{1}-P_{2}$ är en projektor om och bara om . projekterar på underrummet . $P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=P_{2}$ $P_{1}-P_{2}$ $M_{1}\cap (X\ominus M_{2})$
Om , då är en projektor på underutrymmet . $P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=P$ $P$ $M_{1}\cap M_{2}$

Exempel

Den ortogonala projektionen (se nedan ) av punkter i rymden på ett plan ges av matrisen $(x,y,z)$ $R^{3}$ $Oxy$

P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.

Den fungerar på punkter enligt följande:

P{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}

Den enklaste icke-ortogonala projektorn utför en snedprojektion av planets punkter på en rak linje . Det ges av matrisen:

P={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}.

Det är lätt att visa att det här verkligen är en projektor:

P^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0 \\\alpha &1\end{bmatrix}}=P.

Projektionen som ges av är ortogonal om och endast om . $P$ $\alfa=0$

Ortoprojektor

Om utrymmet är Hilbert , det vill säga det har en inre produkt (och därav begreppet ortogonalitet ), så kan vi introducera begreppet en ortogonal projektor. $X$

En ortogonal projektor är ett specialfall av en projektor när ovan nämnda delrum och är ortogonala mot varandra, med andra ord när , eller , eller . I det här fallet är projektionen av ett element det element av utrymme som ligger närmast det . $U$ $V$ $\forall u\in U,\forall v\in V$ $(u,v)=0$ $u\cdot v=0$ $u\perp v=0$ $x\i X$ $U$

Litteratur

Trenogin V. A. Funktionsanalys. — M .: Nauka , 1980 . — 495 sid.
Halmos P. Finitadimensionella vektorrum = Finitadimensionella vektorrum. — M .: Fizmatgiz , 1963 . — 264 sid.