Ricci sönderdelning

Ricci-nedbrytningen är nedbrytningen av Riemann-kurvaturtensorn till tensordelar som är irreducerbara med avseende på den ortogonala gruppen . Denna nedbrytning spelar en viktig roll i Riemannsk och pseudo-Riemannsk geometri.

Komponenter i Riemann-tensorn

Uppdelningen ser ut så här:

R_{abcd}=\,S_{abcd}+E_{abcd}+C_{abcd}.

Dess element är:

skalär del , ${\displaystyle S_{abcd))$
halvspårdel , ${\displaystyle E_{abcd))$
den helt spårlösa delen , som bär det speciella namnet Weyl-tensor , . $C_{{abcd}}$

Varje element har samma symmetri som krökningstensorn, men har också specifika algebraiska egenskaper.

Skalär del

{\displaystyle S_{abcd}={\frac {R}{(n-1)\,(n-2)))\,H_{abcd))

beror bara på den skalära krökningen (var är Ricci-tensorn ), och den metriska tensorn , som kombineras på ett sådant sätt att det ger en tensor med krökningstensorsymmetri: $R={R^{m}}_{m}$ $R_{ab}={R^{c}}_{acb}$ $pladdra}}$ ${\displaystyle H_{abcd))$

H_{abcd}=g_{ad}\,g_{cb}-g_{ac}\,g_{db}=2g_{a[d}\,g_{c]b}.

Halvspårdel

E_{abcd}={\frac {1}{n-2}}\,\left(g_{ac}\,R_{bd}-g_{ad}\,R_{bc}+g_{bd }\,R_{ac}-g_{bc}\,R_{ad}\right)={\frac {2}{n-2}}\,\left(g_{a[c}\,R_{d ]b}-g_{b[c}\,R_{d]a}\right)

erhålls på liknande sätt från den spårlösa delen av Ricci-tensorn

S_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{n}}\,g_{ab}\,R

och den metriska tensorn . $pladdra}}$

Weil-tensorn är helt spårlös i den meningen att dess sammandragning över vilket par av index som helst ger noll. Hermann Weyl visade att denna tensor mäter avvikelsen för ett pseudo-riemannskt grenrör från ett konformt platt: i dimensionerna 4 och uppåt innebär att vrida den till noll att grenröret är lokalt konformt ekvivalent med ett platt grenrör.

Denna nedbrytning är rent algebraisk och inkluderar inga härledningar.

I fallet med ett Lorentzian 4-dimensionellt grenrör (t.ex. rumtid ) har Einstein-tensorn ett spår som är lika med den inversa skalära krökningen, så att de spårlösa delarna av Einstein-tensorn och Ricci-tensorn är desamma $G_{ab}=R_{ab}-1/2\,g_{ab}R$

S_{ab}=R_{ab}-{\frac {1}{4}}\,g_{ab}\,R=G_{ab}-{\frac {1}{4}}\, g_{ab}\,G.

En notering om terminologi: notationen är standard, den används ofta men inte allmänt accepterad, och tensorer har inte etablerade notationer. ${\displaystyle R_{abcd},\,C_{abcd))$ ${\displaystyle S_{ab},\,E_{abcd))$ ${\displaystyle S_{abcd))$ ${\displaystyle H_{abcd))$

Som en irreducerbar representation

Ricci-expansionen är en nedbrytning av utrymmet för alla tensorer med krökningstensor-symmetri till irreducerbara representationer av den ortogonala gruppen [1] . Låt V vara ett n - dimensionellt vektorrum med en metrik införd på den (möjligen med blandad signatur). Om det är ett tangentrum vid en punkt i grenröret, så är krökningstensor R med kovarianta index ett element av tensorprodukten V ⊗ V ⊗ V ⊗ V så att den är antisymmetrisk i paret av första och sista element:

R(x,y,z,w)=-R(y,x,z,w)=-R(x,y,w,z)

och är symmetrisk med avseende på deras permutation

R(x,y,z,w)=R(z,w,x,y),

för alla x , y , z , w ∈ V ∗ . Då hör R till delrummet av kvadratiska former på bivektorerna i rummet V . Bortsett från detta måste krökningstensorn också uppfylla Bianchi-identiteten , vilket innebär att den tillhör kärnan i den antisymmetriserande linjära kartläggningen $S^{2}\Lambda ^{2}V$ $b\colon S^{2}\Lambda ^{2}V\to \Lambda ^{4}V$

b\colon R(x,y,z,w)\mapsto {\tfrac {1}{3))\cdot [R(x,y,z,w)+R(y,z,x, w)+R(z,x,y,w)].

Kärnan är utrymmet för algebraiska krökningstensorer. Ricci-nedbrytningen är nedbrytningen av detta utrymme till irreducerbara komponenter. Ricci convolution display $\mathop {\rm {Ker)) b\subset S^{2}\Lambda ^{2}V$

c:S^{2}\Lambda ^{2}V\to S^{2}V

definieras av jämlikheten

c(R)(x,y)=\operatörsnamn {tr} R(x,\cdot ,y,\cdot ).

Denna mappning tillåter oss att associera varje algebraisk krökningstensor med en symmetrisk 2-form. Omvänt, för alla symmetriska 2-former , Kulkarni-Nomizu-produkten $h$ $k$

h{~\wedge \!\!\!\!\!\!\bigcirc ~}k(x,y,z,w)=h(x,z)k(y,w)+h( y,w)k(x,z)-h(x,w)k(y,z)-h(y,z)k(x,w)

definierar den algebraiska krökningstensorn.

För , det finns en (unik) ortogonal nedbrytning till irreducerbara delrum: $n\geq 4$

R V = SV ⊕ E V ⊕ C V , _

var

\mathbf {S} V=\mathbb {R} g\circ g;

\mathbf {E} V=g\circ S_{0}^{2}V,

där S20
_V är utrymmet för symmetriska 2-former med noll spår ;

\mathbf {C} V=\ker c\cap \ker b.

S- , E- och C - komponenterna i Ricci-nedbrytningen av en given Riemann-tensor R är ortogonala projektioner av R på invarianta delrum. Särskilt,

R=S+E+C

och

|R|^{2}=|S|^{2}+|E|^{2}+|C|^{2}.

Ricci-expansionen uttrycker utrymmet för tensorer med Riemann-tensorsymmetri som en direkt summa av en skalär submodul, en Ricci-submodul och en Weil-submodul. Var och en av dessa moduler är en irreducerbar representation av den ortogonala gruppen , och därför är denna sönderdelning ett specialfall av sönderdelningen av modulen av en semisenkel Lie-grupp till irreducerbara faktorer.

I det 4-dimensionella fallet sönderdelas Weil-modulen ytterligare i ett par irreducerbara faktorer i en speciell ortogonal grupp : de själv-duala och anti -själv-duala delarna W + och W − .

Fysisk tolkning

Ricci-expansionen har fysisk betydelse inom allmän relativitetsteori och andra metriska teorier om gravitation, där den ibland kallas Géhéniau-Debever-expansionen . I denna teori , Einsteins ekvationer

G^{ab}=8\pi \,T^{ab},

var är energimoment-tensorn , som innehåller energi- och momentumdensiteter och flöden av all icke-gravitationell materia, det hävdas att Ritchie-tensoren (eller, ekvivalent, Einstein-tensorn) beskriver den del av gravitationsfältet som är direkt genereras av icke-gravitationsenergi och momentum. Weyl-tensoren är en del av gravitationsfältet som fortplantar sig även genom områden i rymden som inte innehåller materia eller fält av icke-gravitationell natur - till exempel i form av gravitationsvågor eller tidvattenkrafter [2] . De områden av rum-tid där Weyl-tensorn försvinner innehåller inte gravitationsvågor och är konformt platta, vilket till exempel innebär frånvaron av gravitationsavböjning av ljus i sådana områden. $T^{ab}$

Anteckningar

↑ Besse, 1987 , kapitel 1, §G.
↑ John Baez. Ricci och Weyl-tensorerna . Allmän relativitetsteori . Tillträdesdatum: 4 juni 2016. Arkiverad från originalet 19 mars 2016.

Länkar

Besse, Arthur L. (1987), Einstein manifolds , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], vol. 10, Berlin, New York: Springer-Verlag , sid. xii+510, ISBN 978-3-540-15279-8 .

Hawking, SW; och Ellis, G.F.R. The Large Scale Structure of Space-Time (obestämd) . - Cambridge: Cambridge University Press, 1973. - ISBN 0-521-09906-4 . Se avsnitt 2.6 för sönderdelning. Den här boken använder motsatt signatur men samma Landau-Lifshitz rymdliknande teckenkonvention som används i Wikipedia.

Weinberg, Steven. Gravitation och kosmologi: principer och tillämpningar av den allmänna relativitetsteorin (engelska) . - New York: John Wiley & Sons, 1972. - ISBN 0-471-92567-5 . Se avsnitt 6.7 för en diskussion om nedbrytningen (men notera olika teckenkonventioner).

Wald, Robert M. Allmän relativitet (neopr.) . - The University of Chicago Press , 1984. - ISBN 0-226-87033-2 . Se avsnitt 3.2 för en diskussion om nedbrytningen.

Sharpe, R.W. (1997), Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program , Springer-Verlag, New York, ISBN 0-387-94732-9 . I avsnitt 6.1 diskuteras nedbrytningen. Versioner av nedbrytningen ingår också i diskussionen om konforma och projektiva geometrier, i kapitel 7 och 8.

Singer, I.M. & Thorpe, JA (1969), The curvature of 4-dimensional Einstein spaces, Global Analysis (Papers in Honor of K. Kodaira) , Univ. Tokyo Press, sid. 355–365 .