Nedbrytning av främsta ideal i Galois-förlängningar

Nedbrytningen av primtalsideal i Galois-tillägg är sönderdelningen av primtalsideal för ringen av heltal i fältet av algebraiska tal i ringen av heltal i en Galois-förlängning med en Galois-grupp . Studiet av denna nedbrytning är en av de rikaste delarna av algebraisk talteorin . Denna teori tillskrivs ibland Hilbert och visas därför under namnet Hilberts teori . $P$ $O_{K}$ $K$ $O_{L}$ $L/K$ $G$

Definitioner

Låta vara en ändlig förlängning av talfältet , och låt och vara ringarna av heltal och, respektive. $L/K$ $O_{K}$ $O_{L}$ $K$ $L$

{\begin{array}{ccc}O_{K}&\hookrightarrow &O_{L}\\\downarrow &&\downarrow \\K&\hookrightarrow &L\end{array))

Slutligen, låt vara ett icke-noll primideal i eller, motsvarande, ett maximalt ideal , så att kvotringen är ett fält . $P$ $O_{K}$ $O_{K}/P$

Från grunden för teorin om en endimensionell ring följer förekomsten av en unik nedbrytning av idealet : $P$

P=\prod \limits _{j=1}^{g}P_{j}^{e_{j)),

var finns olika maximala ideal och är deras mångfald. $P_{j}$ $e_{j}\geqslant 1$

Fältet bäddar naturligt in för varje , graden av denna expansion av restfältet kallas graden av tröghet över . $F=O_{K}/P$ ${\displaystyle F_{j}=O_{L}/P_{j))$ $j$ $f_{j}=[O_{L}/P_{j}:O_{K}/P]$ $P_{j}$ $P$

Exponenten kallas grenindex över . Om för vissa , så kallas förlängningen förgrenad vid (eller vi säger att den förgrenar sig vid ). Kallas annars ogrenad i . Om så är fallet, är faktorn enligt den kinesiska restsatsen produkten av fälten . är förgrenad om och endast om den delar den relativa diskriminanten , då är endast ett ändligt antal prime ideal oframifierade. $e_j$ $P_{j}$ $P$ $e_{j}>1$ $j$ $L/K$ $P$ $P$ $L$ $L/K$ $P$ $O_{L}/P$ $F_{j}$ $P$

Multiplikativiteten hos normen för ett ideal innebär

[L:K]=\sum \limits _{j=1}^{g}e_{j}f_{j}.

Om för alla (och därför ), så säger vi att det helt sönderfaller till . Om och (och därför ), säger vi att den helt förgrenar sig till . Slutligen, om och (och därför ), säger vi att det är inert i . ${\displaystyle f_{j}=e_{j))$ $j$ $g=[L:K]$ $P$ $L$ $g=1$ $f_{1}=1$ $e_{1}=[L:K]$ $P$ $L$ $g=1$ $e_{1}=1$ $f_{1}=[L:K]$ $P$ $L$

Nedbrytning i Galois-tillägg

Låt vara en Galois-förlängning . Sedan agerar Galois-gruppen transitivt på . Det vill säga de främsta ideala faktorerna i expansionen av i form av en enda bana under inverkan av en automorfism över . Det följer av detta och faktoriseringens unikhetsteoremet att och inte beror på . Sedan tar de resulterande relationerna formen $L/K$ $G=\operatörsnamn {Gal} (L/K)$ $P_{j}$ $P$ $L$ $L$ $K$ ${\displaystyle f=f_{j))$ ${\displaystyle e=e_{j))$ $j$

P=\left(\prod \limits _{j=1}^{g}P_{j}\right)^{e}

och

[L:K]=efg.

Det följer att är antalet primtalskoefficienter i . Enligt formeln för antalet element i omloppsbanan för alla , var är stabilisatorn , kallad nedbrytningsgruppen av idealet . Eftersom, enligt den grundläggande Galois-teorin, ordningen för nedbrytningsgruppen för alla . $[L:K]/ef=g$ $P$ $O_{L}$ $g=|G|/|D_{P_{j}}|$ $j$ $D_{P_{j}}=\{\sigma \in G:\sigma (P_{j})=P_{j}\}$ $P_{j}$ $P_{j}$ $[L:K]=|G|$ $|D_{P_{j}}|=ef$ $j$

Nedbrytningsgruppen innehåller en normal undergrupp , kallad tröghetsgruppen , bestående av automorfismer som inducerar identiteten automorfism på . Med andra ord är kärnan i reduktionskartläggningen . Det kan visas att denna kartläggning är surjektiv, och det följer av detta att och . $I_{P_{j))$ $P_{j}$ $L/K$ ${\displaystyle F_{j}=O_{L}/P_{j))$ $I_{P_{j))$ $D_{P_{j}}\to \operatorname {Gal} (F_{j}/F)$ $\operatorname {Gal} (F_{j}/F)\cong D_{P_{j}}/I_{P_{j}}$ $|I_{P_{j}}|=e$

Frobenius elementteorin går vidare för att identifiera ett element för en given , vilket motsvarar en Frobenius automorfism i Galois-gruppen av en finit fältförlängning . I det oförgrenade fallet är ordningen och trivial. Dessutom är Frobenius-elementet i detta fall ett element (och därmed också ett element från ). $D_{P_{j}}/I_{P_{j}}$ $j$ $F_{j}/F$ $|D_{P_{j}}|=f$ $I_{P_{j))$ $D_{P_{j))$ $G$

Nedbrytningen av primärideal i fält som inte är Galois-förlängningar kan studeras med ett nedbrytningsfält , det vill säga med en Galois-förlängning som innehåller det ursprungliga fältet, men som är något större än det. Till exempel bäddar ett kubiskt fält vanligtvis in i en Galois-expansion på grad 6.

Ett exempel är Gaussiska heltal

Det här avsnittet beskriver uppdelningen av främsta ideal i fältförlängning . Det vill säga, vi tar och , så och är ringen av Gaussiska heltal . Även om detta fall är långt ifrån representativt, eftersom - En faktoriell ring och ett ändligt litet antal kvadratiska fält med en unik faktorisering - visar det många av teorins särdrag. $\mathbb {Q} (i)/\mathbb {Q}$ $K=\mathbb {Q}$ $L=\mathbb {Q} (i)$ $O_{K}=\mathbb {Z}$ $O_{L}=\mathbb {Z} [i]$ ${\mathbb {Z}}[i]$

Låt oss beteckna Galois-gruppen , , där är den komplexa konjugerade automorfismen. Låt oss överväga tre fall. $G$ $\mathbb {Q} (i)/\mathbb {Q}$ ${\displaystyle G=\{1,\sigma \))$ $\sigma$

Prime p = 2

Enkel 2 i gafflar : $\mathbb {Z}$ ${\mathbb {Z}}[i]$

(2)=((1+i)^{2})

Branschindex . Restfältet här är $e=2$

{\displaystyle O_{L}/(1+i)O_{L}\cong \mathbb {F} _{2))

är ett sista fält med 2 element. Expansionsgrupp , eftersom det bara finns ett av siffrorna över 2. Tröghetsgrupp , sedan $D_{(1+i)}=G$ ${\mathbb {Z}}[i]$ $I_{1+i}=G$

a+bi\equiv a-bi{\bmod {1+i))

för alla heltal $a,b$

Faktum är att 2 är det enda primtal som förgrenar sig vid , eftersom varje primtal måste dela diskriminanten , vilket är . ${\mathbb {Z}}[i]$ ${\mathbb {Z}}[i]$ $-4$

Enkel p ≡ 1 mod 4

Varje primtal sönderfaller till en produkt av två olika prime ideal i ; detta är faktiskt Fermats summa av två kvadraters sats . Till exempel: $p\equiv 1{\pmod {4}}$ ${\mathbb {Z}}[i]$

{\displaystyle 13=(2+3i)(2-3i)=2^{2}+3^{2))

Båda nedbrytningsgrupperna är triviala i detta fall: , eftersom automorfismen permuterar och därför . Tröghetsgruppen är också en trivial grupp som en undergrupp till nedbrytningsgruppen. Det finns två restfält, ett för varje primtal: ${\displaystyle G_{2\pm 3i}\{1\))$ $\sigma$ $(2+3i)$ $(2-3i)$ ${\displaystyle \sigma \inte \in G_{2\pm 3i))$

O_{L}/(2\pm 3i)O_{L}\,

som är isomorfa . Frobenius-elementet kommer att vara en trivial automorfism, vilket betyder att $\mathbb {F} _{13}$

(a+bi)^{13}\equiv a+bi{\pmod {2\pm 3i))

för alla $a,b\in \mathbb {Z}$

Enkel p ≡ 3 mod 4

Varje enkel , till exempel , förblir enkel, inert , i , det vill säga sönderdelas inte. I denna situation beror nedbrytningsgruppen på att . Denna situation skiljer sig dock från fallet eftersom den nu inte verkar trivialt på restfältet . Till exempel . Därför är tröghetsgruppen trivial: . Galois-gruppen över underfältet har ordning 2 och genereras av bilden av Frobenius-elementet. Frobenius är inget annat än vad det betyder att $p:p\equiv 3{\pmod {4}}$ $7$ ${\mathbb {Z}}[i]$ $G_{7}=G$ $\sigma (7)=7$ $p=2$ $\sigma$ $O_{L}/(7)O_{L}\cong \mathbb {F} _{7^{2))$ $1+i\not \equiv 1-i{\pmod {7}}$ $I_{7}=\{1\}$ ${\displaystyle O_{L}/(7)O_{L))$ $\mathbb {Z} /7\mathbb {Z}$ $\sigma$

(a+bi)^{7}\equiv a-bi{\bmod {7))

för alla $a,b\in \mathbb {Z}$

Sammanfattning

Lätt att $\mathbb {Z}$	Hur sönderfaller det till ${\mathbb {Z}}[i]$	Grupp av tröghet	nedbrytningsgrupp
$p=2$	Gafflar med index 2	$G$	$G$
$p\equiv 1{\pmod {4}}$	Bryts ner i 2 olika primfaktorer	$\{ett\}$	$\{ett\}$
$p\equiv 3{\pmod {4}}$	Inert, förblir enkelt	$\{ett\}$	$G$

Beräkna faktoriseringen av ett ideal

Anta att vi vill dekomponera ett primideal av en ring till primideal av en ring . Följande procedur (Neukirch, s. 47) löser detta problem i många fall. Strategin är att välja ett heltal så att (sådant existerar av den primitiva elementsatsen ), och sedan undersöka det minimala elementpolynomet över . Genom att reducera koefficienterna modulo får vi ett polynom med koefficienter från ett ändligt fält . Antag att faktoriseras i en polynomring som $P$ $O_{K}$ $O_{L}$ $\theta \in O_{L}$ $L=K(\theta )$ $\theta$ $H(X)$ $\theta$ $K$ $H(X)$ $P$ $h(X)$ $F=O_{K}/P$ $h(X)$ $F[X]$

h(X)=h_{1}(X)^{e_{1}}\cdots h_{n}(X)^{e_{n)),

där finns olika irreducerbara polynom i . Sedan, om inte är ett av ett ändligt antal exceptionella primtal (det exakta tillståndet beskrivs nedan), är nedbrytningen som följer: ${\displaystyle h_{j))$ $F[X]$ $P$ $P$

PO_{L}=Q_{1}^{e_{1}}\cdots Q_{n}^{e_{n)),

var finns olika främsta ideal . Dessutom är tröghetsgraden för var och en lika med graden av motsvarande polynom , och det finns en explicit formel för : $Q_{j}$ $O_{L}$ $Q_{j}$ ${\displaystyle h_{j))$ $Q_{j}$

Q_{j}=PO_{L}+h_{j}(\theta )O_{L},

där betecknar här lyftet av ett polynom i . ${\displaystyle h_{j))$ ${\displaystyle h_{j))$ $K[X]$

I fallet med en Galois-förlängning är tröghetsgraderna lika, och förgreningsindexen är . ${\displaystyle e_{1}=...=e_{n))$

De exceptionella primtal som ovanstående resultat inte alltid gäller är de som inte är coprime med avseende på ringens ledare . Konduktören definieras som ett ideal $O_{K}[\theta ]$

\{y\in O_{L}:yO_{L}\subseteq O_{K}[\theta ]\};

det mäter hur mycket ordning som är hela ringen av heltal (maximal ordning) . $O_{K}[\theta ]$ $O_{L}$

Ett betydande hinder är att det finns sådana och , för vilka det inte finns någon , som uppfyller ovanstående hypoteser (se t.ex. [1] ). Därför kan algoritmen ovan inte användas för att bestämma en sådan och mer sofistikerade tillvägagångssätt som de som beskrivs i. [2] $L/K$ $P$ $\theta$ $P$

Beräkningsexempel

Betrakta igen fallet med Gaussiska heltal. Vi tar den imaginära enheten . Eftersom ringen av heltal är ledaren en enhetsideal, så det finns inga exceptionella primtal. $\theta =i$ $H(X)=X^{2}+1$ ${\mathbb {Z}}[i]$ $\mathbb {Q} (i)$

För vi måste arbeta i fältet , vilket handlar om att expandera polynomet modulo 2: $P=(2)$ ${\mathbb Z}/2{\mathbb Z}$ $X^{2}+1$

X^{2}+1=(X+1)^{2}{\pmod {2)).

Därför finns det bara en primfaktor med en tröghetsgrad på 1 och ett förgreningsindex på 2, och den ges av formeln

Q=(2)\mathbb {Z} [i]+(i+1)\mathbb {Z} [i]=(1+i)\mathbb {Z} [i].

Nästa fall är för en enkel . Låt oss till exempel ta . Polynomet är irreducible modulo 7. Därför finns det bara en primfaktor med en tröghetsgrad på 2 och ett förgreningsindex på 1, och den ges av formeln $P=(p)$ $p\equiv 3{\pmod {4}}$ $P=(7)$ $X^{2}+1$

Q=(7)\mathbb {Z} [i]+(i^{2}+1)\mathbb {Z} [i]=7\mathbb {Z} [i].

Det sista fallet är för en enkel ; vi tar igen . Den här gången har vi en nedbrytning $P=(p)$ $p\equiv 1{\pmod {4}}$ $P=(13)$

X^{2}+1=(X+5)(X-5){\pmod {13)).

Därför finns det två huvudmultiplikatorer, både med en tröghetsgrad och med ett förgreningsindex lika med 1. De ges av uttrycket

Q_{1}=(13)\mathbb {Z} [i]+(i+5)\mathbb {Z} [i]=\cdots =(2+3i)\mathbb {Z} [i]

och

Q_{2}=(13)\mathbb {Z} [i]+(i-5)\mathbb {Z} [i]=\cdots =(2-3i)\mathbb {Z} [i] .

Geometrisk analogi

Anteckningar

↑ {titel} (nedlänk) . Hämtad 2 juni 2018. Arkiverad från originalet 12 september 2006. (obestämd)
↑ {titel} (nedlänk) . Hämtad 2 juni 2018. Arkiverad från originalet 12 september 2006. (obestämd)

Länkar

PlanetMath, Splitting och förgrening i nummerfält och Galois-tillägg , < http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=6818 >
William Stein, En kort introduktion till klassisk och adelisk algebraisk talteori , < http://www.williamstein.org/papers/ant/ >

Litteratur

Ireland K., Rosen M. En klassisk introduktion till modern talteori. — M .: Mir, 1987. — 428 sid.