Jämförbara mängder

Kommensurerbara kvantiteter är en historisk term som betecknar kvantiteter för vilka det finns ett gemensamt mått . Ett vanligt mått på kvantiteter är en kvantitet som är ett heltal antal gånger som ingår i var och en av dem [1] . Om ett sådant mått inte finns, kallas sådana kvantiteter inkommensurable .

Låt oss anta att det gemensamma måttet finns i kvantiteterna a och b m respektive n gånger. Antalet m / n kallas förhållandet mellan dessa jämförbara storheter. Förhållandet mellan två kommensurerbara storheter uttrycks med ett rationellt tal och inkommensurabelt- irrationellt . Därför säger vi också att talet a är en rationell multipel av talet b .

Ett exempel på inkommensurabla storheter är diagonalen för en kvadrat och dess sida, eftersom deras förhållande ( ) inte kan representeras exakt av något rationellt tal. ${\sqrt {2}}$

Vilket par som helst (och vilken ändlig uppsättning som helst) av rationella tal är kommensurerbara. Irrationella tal kan vara jämförbara (till exempel och , vars förhållande är 3), men de kan också vara inkommensurerbara. $12{\sqrt {20}}$ $8{\sqrt {5}}$

Historik

Pythagoréerna (6:e århundradet f.Kr.) var säkra på att " talens beståndsdelar är beståndsdelarna i allt ... och att hela världen som helhet är harmoni och tal " [2] . Samtidigt kände de bara igen naturliga tal som tal ; och de betraktade bråktal som förhållanden mellan naturliga tal ( proportioner ) och beaktade inte tal, eftersom enheten ansågs vara odelbar.

Den första sprickan i den pythagoriska modellen av världen var deras eget bevis på irrationalitet , formulerat geometriskt som inkommensurabiliteten av diagonalen av en kvadrat med dess sida (5:e århundradet f.Kr.). Omöjligheten att uttrycka längden på ett segment antingen med ett naturligt tal eller med förhållandet mellan naturliga tal ifrågasatte Pythagoras huvudprincip. Till och med Aristoteles, som inte delade deras åsikter, uttryckte sin förvåning över att det finns saker som "inte kan mätas med minsta mått" [3] . ${\sqrt {2}}$

Den begåvade Pythagoras Theaetetus försökte rädda situationen . Han (och senare Eudoxus ) föreslog ett nytt begrepp om "geometrisk kvantitet", som nu formulerades i geometriskt språk, och det fanns inga problem med jämförbarhet. Teorin om Eudoxus anges i bok V av Euklids element . Förutom att en kvadrats diagonal är ojämförbar med dess sida, fastställde Euklids inkommensurbarheten för många andra par av storheter:

sidorna av en vanlig femhörning och radien av den omskrivna cirkeln runt den;
sidorna av en regelbunden dekagon och radien av den omskrivna cirkeln runt den;
kanterna på en vanlig polyeder ( tetraeder , kub , oktaeder , icosahedron , dodekaeder ) och radien på sfären som beskrivs runt denna polyeder [4] .

Anhängarna av forntida vetenskapsmän - indiska och islamiska matematiker - kasserade pythagoras fördomar och betraktade varje mätbar storhet som ett tal. I Europa proklamerades detta tillvägagångssätt av Newton i " Universal Arithmetic " (1707):

Med antal förstår vi inte så mycket en uppsättning enheter som ett abstrakt förhållande av någon kvantitet till en annan kvantitet av samma slag, taget som en enhet.

Detta tillvägagångssätt utjämnar fullständigt rättigheterna för proportionerbara och inkommensurabla kvantiteter (det vill säga rationella och irrationella tal ).

Se även

Anteckningar

↑ Kommensurerbara och inkommenserbara kvantiteter // Mathematical Encyclopedia (i 5 volymer). - M .: Soviet Encyclopedia , 1985. - T. 5. - S. 73.
↑ Aristoteles . Metafysik. Översättning och anteckningar av A. V. Kubitsky. M.-L., 1934, s. 26-27.
↑ Aristoteles . Metafysik. Översättning och anteckningar av A. V. Kubitsky. M.-L., 1934, s. 22.
↑ Andronov I. K. Matematik för reella och komplexa tal. - Upplysningen, 1975. - S. 9-10. — 158 sid.