I ringteori är en enkel modul (även kallad "irreducible modul") över en ring R en modul över R som inte har några korrekta submoduler som inte är noll . På motsvarande sätt är en modul enkel om och endast om någon cyklisk modul som genereras av ett av dess element (ett element som inte är noll) sammanfaller med hela modulen. Enkla moduler tjänar till att konstruera moduler av ändlig längd , i denna mening liknar de enkla grupper .
Varje primmodul är oupplöslig , det omvända är inte sant i allmänhet. Också en enkel modul är cyklisk .
Låt M och N vara moduler över samma ring och f : M → N vara en modulhomomorfism. Om M är enkel är f antingen noll eller injektiv . I själva verket måste kärnan i en homomorfism vara en undermodul. Om N också är enkel, så är f antingen noll eller är en isomorfism. Därför är endomorfismringen i en primmodul en divisionsring . Detta resultat är känt som Schurs lemma .
En viktig prestation i teorin om enkla moduler är Jacobsons densitetssats (1945). Det hävdar hon
Låt U vara en enkel R-modul och beteckna D = End R (U). Låt A vara en godtycklig D-linjär operator på U och X vara en finit D-linjärt oberoende delmängd av U. Då finns det ett element r i ringen R så att x A = x r för alla x i X. [2]Med andra ord, vilken enkel ring som helst som inte är noll med minimala rättsideal är isomorf till en tät ring av linjära transformationer av ändlig rang av något vektorrum över någon kropp [3] .
Speciellt kan vilken primitiv ring som helst betraktas som en ring av D- linjära operatorer på något utrymme.
Densitetssatsen antyder Wedderburns sats att en enkel artinisk ring är isomorf till en n by n matrisring över en divisionsring . Det är också en konsekvens av Artin-Wedderburn-satsen att halvenkla ringar är isomorfa till produkten av matrisringar.